Пиотровский

график этой функции (тангенсоида) состоит из ряда отдельных одинаковых бесконечных ветвей, каждая из которых размещается в вертикальной полосе шириной (периодом) в Т = я (рис. 13); область существования основных значений функции лежит в интервале (— я/2, л/2), а область значений функции — в интервале

4. Котангенс-.

•графиком этой функции служит котангенсоида, являющаяся зеркальным отображением тангенсоиды относительно оси Оу (рис. 13). Область существования основных значений функции лежит в интервале (0, я), а область значений функции — в интервале (— оо, оо).

7.Обратные тригонометрические функции. Если рассматривать

вкачестве аргумента значения синуса, косинуса, тангенса или котангенса, а функцией считать соответствующие этим аргументам

значения угла или дуги, то мы получаем обратные тригонометрические функции.

1.Арксинус.

область определения этой функции есть интервал [— 1, 11, а область ее значений лежит в интервале I— я/2, n/2i.

30

2.Арккосинус.

эта функция определена в интервале [— 1, 1], ее значения заключены в интервале [0, л].

3.Арктангенс:

областью существования функции (1.20) является вся числовая ось,

областью определения функции (1.21) также является вся числовая ось, т. е. — оо < х < оо, а основные значения функции лежат в интервале (0, я).

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков соответствующих тригонометрических функций с помощью зеркального отображения последних относительно биссек-

§7. Диахронический скачок и его моделирование

спомощью элементарных функций

Всовременных работах по диахронической лингвистике часто приводятся таблицы, включающие количественные данные об упо-

требительности исследуемого явления на различных этапах его С т °рии. Цель таких таблиц состоит в том, чтобы показать динамику

31

лингвистического процесса. Но, как уже говорилось, таблица обладает слабой наглядностью и может не включать в себя тех значений аргумента и функции, которые представляют наибольший интерес с точки зрения динамики исследуемого процесса. Поэтому для более углубленного анализа лингвистического процесса следует,

1. Развитие нулевых форм родительного падежа множественного числа у существительных—единиц измерения в русском языке XIX—XX в. Рассмотрим в этой связи историю развития форм родительного падежа множественного числа у русских единиц измерения типа вольт, рентген, радиан. В русских научно-технических

текстах XIX в. употреблялись регулярные образования родительного падежа множественного числа: вольтов, рентгенов. Однако, начиная с конца 80-х годов, отмечается нарастающее употребление необычных форм:

вольт(ъ), рентген(ъ), радиан{ъ), совпадающих о именительным падежом единственного числа. Через 20— 30 лет необычные формы

утверждаются не только в профессиональной речи, но и в литературном языке. Так сформировалась новая лексико-грамматическая группа имен существительных, которая, наряду с существительными I склонения типа башкир, гренадер, глаз, имеет в родительном падеже множественного числа нулевое окончание.

Статистический ход этого процесса отражен в табл. 1.1, составленный на основании данных, приводимых в работе [17].

Перенесем данные этой таблицы на график (рис. 15), отмечая на оси абсцисс годы (t), а на оси ординат — относительную частоту

(/) нулевых форм [столбец (7)]. Полученная последовательность экспериментальных точек показывает резкое возрастание нулевых' форм в период между 1886 и 1905 годами. Возникает вопрос: какой из известных нам элементарных функций можно воспользоваться для описания полученной зависимости? Обозначим иско'мую зависимость в виде

рис. 15) здесь применена быть не может, поскольку значения такой функции находятся в интервале от — оо до + оо, в то время как по условию задачи область изменения нашей функции f лежит в интервале между нулем и единицей (относительные частоты не могут быть меньше нуля и больше единицы). Значения же аргумента t могут быть распределены по всему интервалу от — оо до оо. Если

32

провести эмпирическую кривую через отмеченные точки, то ее левая ветвь асимптотически приближается к оси Ot, а правая — к прямой р — 1. Середина кривой показывает резкий подъем вверх. Указанным условиям лучше всего соответствует график обратной тригонометрической функции (1.20). Однако рассматриваемая эмпирическая кривая имеет ряд особенностей по сравнению с теоретической кривой (см. рис. 14). Во-первых, в качестве оси симметрии наша кривая имеет вертикальную прямую, проходящую не через точку t = 0, а через t = 1895. Во-вторых, интервал, в котором изменяется значение функции f,. равен не л, а единице. В-третьих, кривая поднята над осью Ot на половину интервала, в котором заключены значения функции. Все эти особенности кривой могут быть учтены с помощью коэффициентов, которые следует ввести в выражение (1.20). Так, чтобы отразить сдвиг оси симметрии вправо на 1895 ед., мы должны от аргумента t отнять 1895; в этом случае имеем

t — 1895. В целях более компактного и наглядного построения графика величину t — 1895 нужно уменьшить в три раза. Следовательно, аргументом будет служить величина х = {t — 1895)/3. Чтобы учесть различия в размерах интервала, в котором происходит изменение значений функции /, выражение arctg (t — 1895)/3 следует умножить на поправочный коэффициент 1/л. Наконец, чтобы поднять интервал значений функции / над осью Ot, к выражению (1/л) arctg (t — 1895)/3 нужно прибавить 0,5, что равно половине указанного интервала. В итоге получаем равенство

которое является аналитическим выражением, характеризующим рост употребления нулевых форм родительного падежа множественного числа у существительных типа вольт, рентген в русских на- учно-технических текстах конца прошлого и начала нынешнего века.

Кривая, описывающая отступление регулярных форм родительного падежа множественного числа тех же существительных (рис. 16), является зеркальным отображением только что проанализированной кривой. Нетрудно поэтому прийти к заключению, что аналитическое выражение зависимости между временем t и относительной частотой употребления регулярных форм

В только что приведенном примере использование математических методов имеет больше иллюстративный, чем технологический характер.

Однако в некоторых лингвистических задачах моделирование диахронического процесса с помощью элементарных функций служит средством восстановления не засвидетельствованных в памятниках и диалектах этапов исследуемого процесса. Обратимся в этой связи к истории формирования и развития определенного артикля в старофранцузском языке.

2. Формирование определенного артикля во французском языке. Известно, что формирование французского определенного артикля, как и других новых аналитических категорий, осуществлялось в протороманскую эпоху (V—VIII в.) в народно-разговорной речи, которая почти не отражена в дошедших до нас позднелатинских памятниках [27]; 137].

Старофранцузские памятники IX—XIII в. фиксируют уже завершение процесса формирования определенного артикля и установление современных норм его употребления при счисляемых име.

34

нуть только на почве устной народно-разговорной речи, поскольку литературная или деловая письменная традиция в романском языке в этот период практически отсутствовала. Отдельные глоссы и предположительно существовавшие памятники типа «Страсбургских клятв» не могли образовать особого функционального стиля.

Известно, что средневековые письменные памятники с опозданием примерно на 100 лет фиксируют явления, сформировавшиеся и укрепившиеся в устной речи. Предположим, что эту хронологическую поправку можно принять и для топонимики. Чтобы проверить все эти предположения применительно к нашей статистической задаче, сопоставим частости появления артикля в топонимах определенного периода с относительными частотами употребления артикля в разговорных фрагментах памятников, написанных при-

Рис. 17

мерно на сто лет раньше. Если частости артикля в топонимах XII в. соответствовали бы его частостям в разговорных фрагментах XI в., а топонимические частости XIII в. были бы близки к разговорным относительным частотам XII в. и т. д., то это означало бы, что наши хронологические и стилистические поправки взяты правильно. Это в свою очередь дало бы нам возможность использовать статистику артикля по топонимам VIII—XI в., для которых памятники романской разговорной речи отсутствуют. Если же сопоставленные частости давали бы заметные расхождения, то это свидетельствовало бы о том, что наши стилистические и хронологические предположения неверны, и мы не имеем права использовать топонимическую статистику для экстраполяции начального этапа формирования артикля.

Данные табл. 1.2, заимствованной из работы [32 в, с. 370—374], показывают достаточную близость в частостях употребления артикля в соответствующих выборках топонимов и разговорных фрагментах, что дает нам право использовать статистику топонимов для VIII—X веков.

Нанесем на график наши табличные данные и подберем кривую, отражающую динамику роста употребительности артикля в протороманский и старофранцузский периоды (рис. 17). Затем, применяя методику, использованную при моделировании процесса образования нового лексико-морфологического разряда внутри русских су-

36

ществительных (см. п. 1 настоящего параграфа), найдем аналитическое выражение нашей кривой, которое имеет вид

Условные обозначения здесь те же, что и в зависимости (1.23). Математическое описание общей динамики развития определен-

ного артикля имеет здесь не просто иллюстративный характер. Оно может помочь при описании деталей формирования этой категории. Так, например, высказывались предположения о том, что регулярное употребление артикля (или протоартикля) установилось в первую очередь при тех именах существительных, значение которых предусматривало устойчивую ситуативную соотнесенность обозначаемого ими предмета с некоторым количеством однородных предметов, а также при тех существительных, которые обозначают предметы или понятия, находящиеся в центре внимания собеседников [32 в, с. 373]. Предварительное статистическое обследование народ- но-латинских памятников VI—IX в. (Григорий Турский, путешествие Этерии, книга истории Франков, Фредегарий Схоластик, Салическая правда, Клунийские хартии) показывают, что существительные, которые обладают только что указанными признаками и имеют при себе детерминативы, восходящие к ille нлн ipse, составляют от 3% до 5% всех существительных текста. Это хорошо согласуется с реконструированной нами с помощью математической экстраполяции относительной частотой употребления протороманского артикля в эпоху раннего средневековья (рис. 17).

37

3. Диахронический скачок и сдвиги в структуре языка. Только что построенные с помощью обратных тригонометрических функций модели можно использовать при описании структурных сдвигов не только в области лексики и морфологии, но также и в других сферах языка — фонологии, синтаксисе, стилистике. Такие сдвиги обнаруживаются либо в появлении новых элементов, либо в отступлении старых лингвистических единиц, причем структурные изменения языка происходят скачкообразно, что особенно отчетливо прослеживается в диахронической статистике текстов. Действительно, образование новой структурной лингвистической единицы сопровождается обычно быстрым ростом употребительности тех форм (звуков, букв, морфем, суффиксов, слов, конструкций), которые служат средством выражения новой фонемы, лексической или грамматической категории. При этом в сравнительно короткий промежуток времен^ происходит переход от старого, более низкого уровня употребительности соответствующих языковых форм к новому, заметно более высокому уровню использования этих форм. Этот диахронический скачок хорошо моделируется с помощью обратной тригонометрической функции (1.20). Напротив, исчезновение той или иной единицы из системы языка сопровождается обратным перепадом частот, который описывается обычно с помощью функции (1.21).

§8. Моделирование информационного построения речи

1.Измерение синтактической информации в речи. Количественные оценки построения речи опираются на квантитативный анализ распределения в ней синтактической информации. Синтактическая информация характеризует структурную организацию текста, через нее можно количественно оценить и смысловую информацию, содержащуюся в словах, словосочетаниях и предложениях текста

[26].Как синтактическая, так и семантическая информация измеряется в двоичных единицах (битах) [41, с. 70]. Более строгое опре-

деление понятия «синт; ктическая информация» дано ниже (см. гл. 5, §5, п. б), там же описаны приемы ее вычисления. Сейчас наша задача состоит в том, чтобы найти некоторую математическую модель, аппроксимирующую распределение этой информации в слове

исвязном тексте.

2.Распределение информации в слове. Как показывают данные табл. 1.3, описывающей распределение синтактической информации

/в слове, начальные буквы русского письменного слова несут за-

метно больше информации, чем буквы, находящиеся в его середине и на конце. Это предположение подтверждается данными экспериментов, проведенных на материале ряда индоевропейских и тюркских языков [23, с. 80—891. Какой функцией можно было бы воспользоваться для моделирования этого убывания информации при движении по слову слева направо? Если отвлечься от небольших «пиков» и «провалов» информации в середине и конце слова, которые условно можно отнести за счет статистического разброса, а также если считать, что теоретически длина слова в большинстве языков ничем

38

не ограничена (подробнее см. гл. 4, §2, п. 1), то распределение информации в слове можно представить в виде пологой экспоненты, асимптотически приближающейся к оси абсцисс (рис. 18). Аналитическое выражение такой кривой имеет вид

мой языка на неопределенность выбора п-й буквы слова при

* Ниже будет показано (см. гл. 5, § Б, п. 4)," что существующие методы позволяют определять яншь верхнюю (7) в нижнюю (/) границы иитервала, в котором находится истинное значение информации /. Поэтому "при решении информационно-лингвистических вадач иепользуются либо верхние, либо нижние оценки информации.

89