Пиотровский

путем извлечения квадратного корня из дисперсии, в результате чего получается среднее квадратическое отклонение-.

Величина ст имеет ту же размерность, что и математическое ожидание случайной величины. Это дает возможность оценивать степень вариации в данном распределении с помощью коэффициента вариации'.

данию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания, т. е.

ме н т а , т. е. характеристики вида распределения. Существует несколько видов моментов. .

180

Если а = 0, то момент называется начальным и записывается

в общем виде так:

vh=*M(Xh).

Запишем выражения для начальных моментов первых пяти порядков:

Нетрудно заметить, что начальный момент первого порядка есть не что иное, как математическое ожидание случайной величины X.

Если в качестве начала отсчета взято математическое ожидание случайной величины, т. е. если а — М (X), то момент называется центральным. В общем виде центральный момент записывается так:

Отношение центрального момента h-го порядка к h-й степени среднего квадратического отклонения <г называется нормированным моментом. В общем виде нормированный момент записывается следующим образом:

181

Для нормированных моментов первых четырех порядков имеем:

182

в том, чтобы найти среди них такие законы, которые могли бы выступать в качестве наиболее адекватных математических моделей порождения текста и составляющих его языковых единиц.

1. Биномиальное распределение. Исходной схемой при построении многих законов распределений является уже знакомое нам биномиальное распределение

P(x) = CxNp*qN-\

которое характеризуется следующими параметрами:

а) математическим ожиданием (начальным моментом первого

пределена по биномиальному закону, то значения математического ожидания, дисперсии и среднего квадрэтического отклонения таковы:

183

Как уже говорилось, это распределение может быть использовано при описании употребления фонем, графем и их классов, а также грамматических категорий при условии, что величины N ъ х не очень велики. Однако в конкретных лингвистических задачах эти условия обычно не соблюдаются, поэтому вместо биномиального распределения приходится использовать другие аппроксимирующие его распределения.

2. Распределение редких лингвистических единиц (распределение Пуассона). Будем рассматривать последовательные появления интересующей нас языковой единицы А в тексте Т в качестве потока лингвистических событий. Примерами такого потока могут служить последовательные появления в русском связном тексте слова море в различных его формах, или словоформы моря, или словосочетания у самого синего моря и т. п.

Поток лингвистических событий называется простейшим в том случае, когда выполняются следующие условия:

1) если разбить текст Т на N отрезков равной длины, то вероятность появления лингвистических событий в отрезке t = TIN зависит только от длины этого отрезка (но не от начала отсчета). Это условие позволяет оперировать вероятностью Р (х) того, что в лю-

бом отрезке t лингвистическая единица А появится ровно х раз

(х = 0, 1, 2, ...);

2)вероятность появления лингвистической единицы А практически не зависит от того, сколько раз употреблялась единица А до этого в тексте и употреблялась ли она вообще. Такое предположение оказывается вполне корректным для редких лингвистических единиц, поскольку валентности этих единиц распространяются не более чем на семь значащих шагов (обычно словоформ) текста [23, с.58];

3)вероятность наступления двух и более лингвистических событий в бесконечно малом отрезке текста t есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем величина t. Например, разбив текст иа равные отрезки длиной в десять букв каждый, мы можем считать ничтожно малой вероятностью появление в одном отрезке двух словоформ моря-,

4)при дальнейшем уменьшении отрезка t вероятность наступления одного лингвистического события убывает пропорционально длине t. Таким образом, чем меньше интервал, тем меньше, вследствие малости интервала, вероятность появления лингвистической единицы А.

с этим произведение вероятности р и числа отрезков N (объема выборки), представляющее собой математическое ожидание случайной величины, является постоянным:

М (X) = Np = К.

Отсюда р = K/N. Подставляя это значение в формулу биномиальной вероятности [см. соотношение (6.1)], получим

184

для описания употребления редких лингвистических единиц. Единственным параметром этого распределения является величина К,

Аналитическое выражение распределения вероятностей Р (х, К) показано в табл. 6.6.

186 Распределение Пуассона характеризуется следующими параметрами:

а) математическим ожиданием (начальным моментом первого порядка), дисперсией (центральным моментом второго порядка), а также центральным моментом третьего порядка, равными i :

и среднеквадратическим отклонением

х0 «в Ш.

* Символом [А,] обозначена целая часть значения к.

186

Определив таким образом модальное значение х0 = М , найдем его вероятность по формуле

Вычисление остальных вероятностей осуществляется по рекуррентным формулам, вытекающим из (6.65):

при х < х0

Р(х0-1, к) = ^ Р ( х 0 , %),

(6.67»)

Р(х0-2, X)=*L=1/>(*0_1,

при X >

*о+1

(6.676)

Р(* 0 + 2, А,) = *о+2

В лингвистике, как уже говорилось, используется бесповторное статистическое исследование, при котором текст разбивается на S выборок (серий), каждая длиной в N лингвистических элементов. При этом бывает необходимо определить теоретически ожидаемое число серий STX, в которых лингвистический элемент А появится ровно х раз.

Пользуясь рассуждениями, приведенными в п. 3 § 1 относительно биномиального распределения, нетрудно показать, что

где S выступает-в качестве коэффициента пропорциональности, связывающего величины SJ и Р (х, к), а

Рассмотрим в связи с этим следующий пример. В немецких публицистических текстах осуществлена выборка 100 серий по 1000 трехсловных сегментов. Используя данные, приведенные в табл. 6.7, определим теоретическое пуассоновское распределение вероятностей появления сегментов Adap der (начало дополнительного придаточного предложения с существительным в начальной позиции) в одной серии и теоретическое количество серий STX, содержащих поО, 1,2,...

таких сегментов.

137

После этого, используя рекуррентные формулы (6.67), так, как это показано в п. 3 § 1, находим по табл. I остальные значения Р (х, X). Затем, с помощью выражения (6.68) получаем значения S[t которые также приведены в нашей таблице.

Степень близости теоретического и эмпирического распределений, приведенных в табл. 6.7, мы рассмотрим ниже.

В разделе, посвященном биномиальному распределению, уже говорилось о том, что как с прикладной, так и с теоретико-языко- ведческой точки зрения важно уметь определять вероятность появления лингвистического элемента от а до b раз. В этом случае имеем

188

Весь ход решения этой задачи и ее частные случаи аналогичны процессу решения, описанному в п. 7 § 1 с той лишь разницей, что биномиальные вероятности заменяются пуассоновскими.

Таким же способом определяется вероятность появления редкого лингвистического события хотя бы один раз. Она равна

Отсюда по схеме, описанной в п. 8 § 1, рассчитывается объем выборки N, необходимый для того, чтобы обеспечить с заданной ве-

Используя приведенные выше числовые характеристики словоформы напряжение, определим объем текста, необходимый для того, чтобы указанная словоформа с вероятностью в 90% появилась в нем хотя бы один раз (предполагается, что в данном случае имеет место

Заметим, что объем необходимой выборки здесь тот же, что и в том случае, когда мы предполагали, что словоформа напряжение имеет биномиальное распределение (ср. § 1, п. 8).

3. Распределения, описывающие взаимодействие случайных и детерминированных процессов в речи (распределения Чебанова — Фукса и Фукса — Гачечиладзе). Применяя биномиальное и пуассоновское распределение для исследования поведения дискретных лингвистических единице речи, мы исходили из предположения, что речь представляет собой простейший поток лингвистических событий. Однако этот подход, представляющий собой очень грубую и упрощенную аппроксимацию лингвистических явлений, имеет ограниченное применение в лингвистике. Выше уже говорилось (см. гл. 5), что формирование слов, словосочетаний, предложений, высказываний представляет собой взаимодействие как случайных, так и детерминированных процессов. Случайными с лингвистической точки зрения являются описываемые текстом ситуации объективной действительности, детерминированными же представляются некоторые правила системы и нормы языка. Поэтому для описания образования лингвистических единиц и их распределения в тексте следует

189