Пиотровский

Напротив, при информационном измерении устной речи целесообразно исходить из величины накопленной информации, т. е. из интегральной функции, дифференцируя которую, можно определить темп прироста информации в тексте.

§ 4. Основные понятия интегрирования и применение их к лингвистическим задачам

1. Неопределенный интеграл. Мы только что выяснили, что функцию f(x) можно рассматривать в качестве производной некоторой первообразной функции F (х). При этом возникает вопрос: сколько первообразных может иметь функция /(х)?

Так как производная постоянной величины С равна нулю, то функции, отличающиеся друг от друга постоянными слагаемыми, имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал.

Так, например, функции

Обозначим постоянное слагаемое в вышеприведенных равенствах буквой С (С = const). Тогда получаем равенство

IF (х) + СЦ = F'(x) = / (х),

из которого следует, что функция / (х) имеет бесчисленное количество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое С. Это множество всех первообразных функций F (х) + С называется неопределенным интегралом и

обозначается в виде

«неопределенный интеграл эф от икс де икс» и является общим выражением первообразной функции, в то время как правая часть

постоянную, то он может определяться с точностью до этого произвольного слагаемого.

Пусть темп количественного роста терминологии в некоторой отрасли знаний определяется функцией / (х), где х — время существования этой отрасли науки. Тогда общее количество терминов, накопленное к моменту х, выражается неопределенным интегралом:

у = I/ (х) dx = F (х) + С.

100

Величину С можно интерпретировать как некоторое количество терминологических слов и выражений, использованных данной от-

множество ответов, отличающихся друг от друга на постоянное

$dF{x) = F (х) + а

4. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла:

J af (*) dx = a J f (х) dx.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен сумме их интегралов:

J 1/х М + (х) — / , (х)] dx = |/х(х) dx + jy2(x) dx — j'M*) dx.

101

2. Таблица простейших интегралов. Из определения неопределенного интеграла (4.23) следует, что под знаком интеграла стоит производная первообразной функции, т. е.

|Я*> dx = I F'(x) dx = F{x) + С.

Исходя из этого равенства, с помощью известных формул дифференцирования можно найти интегралы некоторых элементарных функций, так называемые табличные интегралы.

Ниже приводится таблица простейших интегралов, наиболее часто используемых в квантитативной лингвистике.

с помощью обратного действия — дифференцирования. При этом оказывается, что дифференциал от правой части формулы равен подынтегральному выражению.

3. Приемы интегрирования и их применение в лингвистических

102

2) путем использования свойств 4 или 5 неопределенный инте-

ной функции и использования свойств неопределенного интеграла данный интеграл приводится к одному из табличных интегралов.

Чаще всего здесь применяются такие преобразования:

dx = — d (тх),' т 4

в) введение под знак дифференциала постоянного множителя и слагаемого:

dx = —d {тх + С).

В лингвистике интегрирование используется обычно при решении диахронических и информационных задач.

Рассмотрим следующий диахронический пример. Пусть скорость прироста новых терминов и терминологических словосочетаний в определенной области знаний для германских, романских и славянских языков характеризуется равенством

/ (х) = Зх2.

Количество новых терминов в момент х можно определить, проинтегрировав правую часть этого равенства. Используя свойство 4 и интеграл II таблицы, находим

Рассмотрим теперь информационный пример. Как известно,

Определим объем информации, извлеченной из текста к моменту п (п — непрерывная величина). Для этого проинтегрируем правую

103

Если заданный интеграл нельзя или трудно привести к табличному с помощью непосредственного интегрирования, то для отыскания этого интеграла применяются специальные приемы.

ная интегрирования заменяется другой переменной и, являющейся

одного из табличных интегралов. После того как новый интеграл взят, следует вернуться к исходной переменной X с помощью равенства и = f(x).

Для иллюстрации этого метода рассмотрим интеграл $ (а + x* fx4x,

который методом непосредственного интегрирования найти нель-

После того как новый интеграл найден, следует вернуться к перво- начальной переменной. Для этого в полученный результат вместо и подставим его значение; окончательно имеем

Если интеграл нельзя найти ни путем непосредственного инте- грирования, Ни с помощью замены переменной, то применяется метод интегрирования по частям. Пусть и и v — функции от х, т. е. и т* <р (х), a v = Ф (х). Согласно общим правилам дифферен- цирования (СМ. гл. 3, § 2, п. 1) дифференциал произведения этих

функций равен

d (uv) = udv + vdu.

Интегрируя обе части этого соотношения, получаем равенство fd (uv) = J udv + J vdu,

которое, в силу свойств 3 и 5 интеграла принимает вид uv+C = ludv-\- jvdu.

104

рал, подынтегральное выражение которого должно быть представ-

за счет дифференцирования множителя и. Поэтому ту часть подынтегрального выражения, которая упрощается при дифференциро-

4. Определенный интеграл и его свойства. Выше было показано, что неопределенный интеграл представляет собой бесчисленное множество тервообразных функций, отличающихся друг от друга произвольным постоянным слагаемым:

J / (x)dx = F (х) + С

{см. равенство (4.23)1. Поэтому неопределенный интеграл не может быть выражен определенным числом: он всегда вычисляется с точностью до произвольного слагаемого С.

Однако при решении конкретных задач бывает необходимо точно фиксировать величину С и таким образом определить начало того интервала, в котором находится переменная х и в котором осуществляется интегрирование. Предположим, что нам известен такой хронологический момент х — а, когда число терминов данной области знаний (как исходных, так и вновь образованных) равно нулю (этот момент существовал, очевидно, до возникновения интересующей нас отрасли знаний). Это положение можно выразить так:

F (а) + С = 0.

Следовательно, фиксированное значение С составляет

С — —F (а).

105

Подставив найденное значение величины С в правую часть равенства (4.23), получаем первообразную функцию в виде F (х)—

— F (а). Тогда равенство (4.23) можно записать таким образом:

В том случае, когда верхний предел интеграла есть постоянное число

и называется формулой Ньютона—Лейбница (или определенным интегралом с постоянными пределами). Это читается так: «определенный интеграл от а до b эф от икс де икс».

Если неопределенный интеграл является функцией, вычисляемой с точностью до произвольного слагаемого С, то определенный интеграл есть число, указывающее на приращение первообразной функции F (х) + С (т. е. неопределенного интеграла) при изменении аргумента х в интервале от а до Ь. Эта связь определенного и неопределенного интегралов выражена в самой формуле Ньюто- на—Лейбница.

Для нас в дальнейшем будут важны следующие четыре свойства определенного интеграла.

1. При перемене местами пределов интегрирования определенный

.интеграл меняет свой знак на противоположный:

ьа

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

ьь

^cf(x)dx — c^f(x)dx.

аа

3.Определенный интеграл от алгебраической суммы двух или

нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

4. Промежуток интегрирования (a, b) можно разбить на несколько частичных промежутков; в этом случае интеграл, вычислен•

106

ный по целому промежутку, равен сумме интегралов, вычисленных по частичным промежуткам, т. е.

накопления новых терминов. Основным способом вычисления определенных интегралов является применение формулы (4.26). При этом здесь используются те приемы, которые применялись для вычисления неопределенных интегралов — в частности, непосредственное интегрирование и интегрирование по частям. Следует иметь

ввиду также, что равенство (4.26) применимо только тогда, когда промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция

вэтом промежутке непрерывна.

Выше (см, п. 3) мы рассматривали вопрос об определении в некоторый момент времени х количества новых терминов, скорость прироста которых характеризуется равенством / (х) = Зх2. Оценим с помощью формулы Ньютона—Лейбница число новых терминов во втором десятилетии существования интересующей нас отрасли

знания.

2d

Для этого нужно найти определенный интеграл f3j?dx. Так как

Таким образом, за второе десятилетие существования некоторой области знаний в европейских языках может появиться оком 7 тыс. новых терминов.

6. Несобственный интеграл. До сих пор мы имели дело с опре-

деленным интегралом от непрерывной функции, причем пределы интегрирования представляли собой конечные величины. Однако

107

могут встретиться такие определенные интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, или же такие, у которых подынтегральная функция имеет точки разрыва в промежутке интегрирования. Эти интегралы называются несобственными.

В дальнейшем нам придется иметь дело только с несобственными интегралами, имеющими бесконечные пределы интегрирования. Поэтому мы ограничимся рассмотрением именно этих интегралов, выделяя здесь три случая:

а) областью задания подынтегральной функции служит ин-

(рис. 35, a);

Рис. 35

б) областью задания подынтегральной функции служит интервал (—оо, Ь\, тогда

(рис. 35, б); в) областью задания подынтегральной функции является вся

(рис. 35, в).

В том случае, если существует предел соответствующего определенного интеграла, несобственный интеграл называется сходящимся, если же этот предел не существует, — расходящимся.

Можно показать [28], что основные свойства определенных интегралов обобщаются и на несобственные интегралы.

7. Неберущиеся интегралы. Интеграл вероятностей. Не всякий неопределенный интеграл может быть выражен через элементарные функции описанными выше способами. Среди этих неберущихся интегралов особый интерес для нас представляет интеграл вероят-

108