Материалы лекции 14

Лекция 14. Гомотетия и подобие, их свойства.

Литература. [1] § 46.

Доказательство. Пусть . Тогда . Из определения гомотетии, что .

Свойство 1. Гомотетия - подобие с коэффициентом .

Доказательство. Возьмем две произвольные точки А и В. Пусть . Из леммы следует, что . Поэтому . Свойство доказано.

Свойство 2. Множество всех гомотетий с фиксированным центром образует группу преобразований.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что произведение двух гомотетий и обратное преобразование к гомотетии с центром в данной точке также является гомотетией с тем же центром. Пусть и - две гомотетии с центром в точке O, A ‑ произвольная точка плоскости. Введем обозначения: , . Из определения 2 следует, что поэтому . Таким образом, произведение совпадает с гомотетией с центром в точке О и коэффициентом mn:

. (1)

Пусть дана гомотетия . Рассмотрим гомотетию с центром в той же точек О и коэффициентом . Тогда из доказанного соотношения (1) получим, что произведение этих гомотетий совпадает с гомотетией с центром в точке О и коэффициентом 1, т.е., как отмечалось выше, является тождественным преобразованием. Отсюда получим: . Свойство доказано.

Рассмотрим некоторую гомотетию с центром в точке О и коэффициентом m. Выберем на плоскости аффинную систему координат так, чтобы её начало совпадало с центром O. Пусть точка A в этой системе имеет координаты x и y, а её образ - x и y. В силу выбора начала системы координаты векторов и равны: , . Так как, , то

(2)

Полученные равенства представляют собой аналитическое выражение гомотетии.

Выясним, чем являются образы прямых, отрезков, лучей и углов при гомотетии.

Свойство 3. Если прямая содержит центр гомотетии, то при этой гомотетии она преобразуется сама в себя, если прямая не содержит ее центра, то она переходит в прямую, ей параллельную.

Доказательство. Пусть дана гомотетия с центром в точке О и коэффициентом m. Выберем аффинную систему координат так, чтобы её начало совпало с центром О. Тогда аналитическое выражение гомотетии имеет вид (2). Рассмотрим прямую l, пусть ‑ ее уравнение в этой системе координат. Определим уравнение ее образа . Для этого воспользуемся формулами (2), выразим x и у через x и y и подставим полученные выражения в уравнение прямой l: , или . Если , то прямые l и l совпадают друг с другом, они проходят через центр гомотетии О. Если , то точка О не лежит на l и в этом случае, как нетрудно видеть, прямые l и l' параллельны между собой. Свойство доказано.

Из этого свойства можно сделать следующий вывод: при гомотетии коллинеарные точки преобразуются в коллинеарные.

Свойство 4. При гомотетии сохраняется простое отношение трех точек.

Доказательство. Пусть дана гомотетия . Рассмотрим три точки А, В и C, принадлежащие одной прямой. Обозначим их простое отношение (АВ,С) через . Это означает, что . Пусть . Точки A, B, и С также лежат на одной прямой и, как следует из леммы, и . Поэтому и простое отношение также равно . Свойство доказано.

Из доказанного утверждения вытекает следующее следствие.

Свойство 5. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок, a луч - в луч.

При доказательстве этого свойства следует провести те же рассуждения, что и при доказательстве свойств 4 и 5 движений.

Свойство 6. При гомотетии угол преобразуется в равный ему угол.

Доказательство. При гомотетии луч преобразуется в луч, а коллинеарные точки – в коллинеарные. Поэтому угол как фигура плоскости преобразуется в угол. Следует доказать, что образ угла по величине совпадает с самим углом. Для этого достаточно проверить, что их косинусы равны между собой. Рассмотрим произвольный угол MQN. Пусть он при гомотетии преобразуется в угол MQN. Выберем на сторонах угла MQN точки А и В. Пусть , и , тогда, как следует из следствия свойства 1, и . Так как и , то . Свойство доказано.

Применим свойства гомотетии к изучению свойств подобий общего вида.

Теорема 1. Любое подобие p можно представить как произведение , где d - движение плоскости, a H - некоторая гомотетия.

Доказательство. Пусть k - коэффициент подобия p. Рассмотрим гомотетию с произвольным центром О и коэффициентом . Легко видеть, что произведение является движением. Действительно, если A и В - две произвольны точки, то: и . Отсюда следует, что . Преобразование сохраняет расстояния между точками. При доказательстве свойства 2 гомотетии мы получили, что , поэтому . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что в качестве центра гомотетии О можно выбрать любую точку плоскости, а её коэффициент равен коэффициенту подобия. Легко показать, что любое подобие можно представить также в виде произведения , где H гомотетия с коэффициентом, равным коэффициенту подобия, а d - некоторое движение.

С помощью теоремы 1 нетрудно выяснить, как при подобии преобразуются прямые, лучи, отрезки и углы. Действительно, как следует из свойств движения и гомотетии, при этих преобразованиях прямая, луч и отрезок преобразуются соответственно в прямую, луч и отрезок, а угол - в равный ему угол. Этому же свойству удовлетворяют образы прямых, лучей, отрезков и углов при их произведении. Таким образом, справедливо следствие теоремы 1.

Следствие. При подобии прямая преобразуется в прямую, луч ‑ в луч, отрезок ‑ в отрезок, a угол ‑ в равный ему угол.