задачи проективная геома

Задачи к зачету (3 семестр) по проективной геометрии

1.

Доказать следующие утверждения о взаимном расположении прямых и плоскостей в расширенном аффинном пространстве:

а) любые две прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку;

б) любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку;

в) любые две плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую;

г)Доказать, что в расширенном аффинном пространстве через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

2.

а) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, E). Построить точки М(1, –1), N(–2, 1), L(–2, 2) по их координатам в этом репере.

б) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂,). Построить точки М(–1, 1), N(1, –2), L(–2, 3) по их координатам в этом репере.

3.

а)На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, E), A₁, A₂ – собственные точки прямой , E – середина отрезка A₁A₂. Найти координаты несобственной точки прямой в репере R.

б) На расширенной прямой задан проективный репер R = (A₁, A₂, E¹), D – середина отрезка A₁A₂. Найти координаты точки D в репере R.

4.

а) На расширенной плоскости задан проективный репер R = (A₁, A₂, A₃, E), вершины и единичная точка которого – собственные точки. Построить следующие точки по их координатам в репере R: M(1, 2, 0), В(– 1, 3, 2), N(–1, 1, 2), K(–2, 1, 3), L(0, –2, 1), Q(0, –4, 0).

б) На расширенной плоскости задан проективный репер R = (A₁, A₂, A₃, ) с собственными вершинами и несобственной единичной точкой . Построить точки М(1, 1, 2) и N(–1, 0, 2) по их координатам в репере R.

в) На расширенной плоскости построить прямую по ее координатам относительно заданного проективного репера R = (, , A₃, E): а) m(0, 1, 2); б) n(2, 3, 1).

5.

а) Сформулировать предложение, двойственное данному утверждению, в проективном пространстве:

а₁) через любую прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость;

а₂) через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость;

а₃) две прямые, проходящие через одну точку, принадлежат одной плоскости;

а₄) если три прямые попарно пересекаются и не лежат в одной плоскости, то они имеют единственную общую точку;

a₅) существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

б) Пользуясь принципом двойственности, доказать, что на проективной плоскости:

б₁) через каждую точку проходит не менее трех прямых;

б₂) существуют по крайней мере три прямые, не проходящие через одну точку.

6.

На расширенной плоскости построить дезарговы трехвершинники таким образом, что:

а) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром – собственная точка;

б) дезарговой осью является несобственная прямая, а дезарговым центром – несобственная точка; в) дезарговой осью является собственная прямая, а дезарговым центром – несобственная точка.

7.

Длина имеющейся линейки меньше, чем расстояние между данными точками А и В. Построить прямую, проходящую через точки А и В.

8.

Найти значения сложных отношений всех четверок точек, которые можно составить из точек А, В, С, D, если (АВ, СD) = .

9.

На расширенной прямой даны три точки A, B и C. Построить на этой прямой такую точку D, такую, что

а) (АВ, СD) = 2;

б) (АВ, СD) = – 3;

в) (АВ, СD) = ;

г) (AC, BD) = – 1;

д) (BD, CA) = – 3;

е) (CB, AD) = 2.

10.

Доказать, что если С – середина отрезка АВ расширенной прямой, то (АВ, С) = – 1.

11.

Гиперболическая гомология f задана центром в собственной точке S, собственной осью g, и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить:

а) прообраз некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии;

б) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в собственной точке;

в) образ некоторой собственной прямой, пересекающей ось гомологии в несобственной точке;

г) образ несобственной прямой.

12.

Гиперболическая гомология f задана центром в несобственной точке , собственной осью g, и парой соответственных собственных точек А и А'. Построить:

а) образ некоторой собственной точки, не принадлежащей оси гомологии;

б) образ некоторой собственной прямой, отличной от оси гомологии.

13.

На расширенной прямой даны точки А, В и С. Используя свойства полного четырехвершинника, построить с помощью одной линейки точку D такую, что:

а) (АВ, СD) = – 1;

б) (АС, ВD) = – 1;

в) (АD, BC) = – 1.

14.

Дан отрезок АВ и его середина. Через данную точку М, не принадлежащую прямой АВ, с помощью одной линейки провести прямую параллельно данному отрезку.

15.

На расширенной плоскости проективное, но не перспективное отображение прямой g на прямую g' задано тремя парами соответственных точек: A и A', B и B', C и C'. Построить:

а) прообраз собственной точки N' прямой g';

б) образ несобственной точки К прямой g;

в) прообраз несобственной точки L' прямой g';

г) образ точки S пересечения этих прямых;

д) прообраз точки S пересечения этих прямых.

16.

На расширенной плоскости проективное, но не перспективное отображение пучка [О] на пучок [О'] задано тремя парами соответственныхпрямых: a и a', b и b', c и c'. Построить:

а) образ собственной прямой пучка [О];

б) прообраз собственной прямой пучка [О'].

17.

Проективное преобразование f прямой g задано тремя парами А и А', В и В', С и С' соответственных точек. Построить:

а) образ;

б) прообраз некоторой точки М этой прямой;

в) образ несобственной точки.

18.

а) Инволюция прямой задана инвариантной точкой А и парой соответственных точек М и М'. Построить вторую инвариантную точку инволюции.

б) Инволюция прямой задана инвариантной точкой А и парой соответственных точек М и М'. Построить прообраз любой точки N этой прямой в заданной инволюции.