ГЛАВА 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРИТЯЖЕНИЯ

§ 1. Притяжение

Согласно закону всемирного тяготения, сформулирован­ ному И. Ньютоном (1643-1727), все тела притягиваются

друг к другу с силой, пропорциональной произведению масс

взаимодействующих тел и обратно пропорциональной квад­

рату расстояния между массами. Для двух точечных масс

зг~кон всемирного тяготения можно записать в следующем

виде:

пропорциональности, называемый гравитационной постоян­ ной.

Сила F является векторной величиной. Если поместить

начало координат в центр притягивающей массы, то вектор силы F, действующей на притягиваемую массу, направлен

противоположно ее радиусу-вектору р, поэтому перед си­

лой ставят знак минус.

В векторной форме сила притяжения F для точечных

масс М и т запишется в следующем виде:

тМ

F= - Gр3- р. (1.1 ')

В случае притяжения единичной массы массой, состоя­

щей из отде.'lьных точек, выражение для· F следует запи­

сатL в внде сршы притяженнli единичной массы всеми то­

чечны~ш массаыи

11

В случае непрерывного распределения масс сумма долж­

на быть заменена интегралом по всему объему масс

где g - ускорение, развиваемое инерционной массой т под

действием силы F. Если масса инерционная эквивалентна

массе гравитирующей, т. е. значение массы т в выраже­

ниях (1.1 ')и (1.5) одно и то же, то

тр р

Каждой точке пространства в окрестности гравитирую·

щей массы М можно приписать значение векторной функ­

ции пространствеиных координат вида (1.6). Такое прост­

ранство назовем гравитационным силовым полем, а сам

вектор g - напряженностью поля в этой точке. Численно

напряженность поля равна силе, действующей на единич­

ную массу, помещенную в эту точку.

В приведеиных выше рассуждениях мы предположили,

что масса, входящая в закон всемирного тяготения, экви­

валентна массе второго закона Ньютона или, иными слова­ ми, масса тяжелая равна массе инертной. Строго говоря, это ниоткуда не следует. Определения той и другой масс независимы. Сам Ньютон это понимал и даже пытался экс­

периментально подтвердить эквивалентность этих масс. Од­

нако его опыты имели низкую точность. Только через 200 лет после Ньютона венгерский физик Р. Этвеш (1848- 1919) поставил опыт с крутильны\ш вrса:.ш, доказывающий постоянство G независимо от химического состава масс, ис­

пользовавшихся в эксперименте, а значит, н эквивалент­

ность гравитирующей 11 инертной масс, с точностью 1·10- 9 • Еще через 50 лет, в 1963 г. Р. Дике в своем эксперименте повысил эту точность до l·l0- 11 •

12

Размерность гравитационной постоянной G получим из (1.1 '), введя выражение силы притяжения через ускорение по второму закону Ньютона

mM р

F=mg= ·-G- --

р2 р

11 представив величину ускорения g через время и путь из

формулы

gt2

s=т·

Тогда размерность ускорения

[g]= [1;1]

иразмерность гравитационной постоянной

(LЗ]

[G]= [М][Т2],

где L -длина, Т- время, М -- масса.

В системе СИ, в которой за единицу длины принят метр,

за единицу массы - килограмм и за единицу времени - секунда, гравитационная постоянная принимает значение

0=6,674· 1О-11м3/кг· с2•

В следующем параграфе будет рассказано о методе опре­ деления гравитационной постоянной G и приведен перечень основных определений этой константы.

§ 2. Гравитационная постоя иная G

Коэффициент G является одной из фундаментальных по­

стоянных физики и астрономии. В частности, он задает масштаб масс Солнечной системы. По законам Кеплера можно выразить массы всех планет Солнечной системы через массу Солнца, но только зная гравитационную постоянную,

можно установить массу, принятую за единицу, т. е. массу

Солнца, в абсолютной мере и тем самым выразить в абсо­ лютной ~!ере массы всех планет. Вообще выразить в абсо­

.ТJютной мере си.ТJу прнтяженнн между двумя масса~ш можно

то.Тiько зная велнчиву G: Знанне G позволяет также вычис­

лить среднюю плотность планет. Однако определение гра­ витационной постоянной является довольно сложным фи­

зическим экспериментом, и поэтому в ней до сих пор на­

дежно определены только три знака после запятой.

13

В табл. 1 лрнведена сводка швестных опрС':'..еленнii этого Еоэффшщента, а таюке соответствующнх :таченнi't величи­

ны средней плотностн Земли.

Гравитациоmшя постоянная G в tюдавляющем большин­

стве случаев онределялась с rюмощью крутильных весов­

одного из самых чувствительных механических приборов. Крутильные весы nредставляют собой подвешенное на тон­

кой упругой нити коро~rысло с равными грузами т на кон­

пах. Это колебателы1ая система, воз;о.tущаемая подносимы­

:-.ш к ней массами М, те:-.1 более чувствительная, чем мень­

ше коэффициент крутильной жесткости нити

:~L>d4

Т=32/•

где D - модуль сдвига материала, из которого сделана

где 1 - момент инерции крутильной системы относительно вертикальной оси подвеса, Mg- момент возмущающих

гравитационных сил, <р - угол закручивания системы от

невозмущенного положения равновесия.

Раскладывая Mg(IP) в ряд по степеням малого угла <р

иудерживая члены первого порядка малости, лолучим

Mg(IP) ,.._, Mg(O)+<rM~(O).

Для малого )ТЛа <р выполняется закон Гука, и упругий мо­

мент пропорционален углу закручивания:

М't(~)=т<р.

Внося значения :о.юментов в дифференциальное уравнение

15

Решение уравнения (1.8) распадается на nостоянную н

периодическую части н и:-.tеет внд

где с1 и с2 - постоянные интегрирования.

Отсюда следует возможность двух методов измерения

гравитащюнной rюстошшой: статического, когда исполь­

зуется решен не

(1. 12)

идинамического, когда используется второе решение

дейстаие:-.1 поднесенных к груза:\t т масс М. Обычно эти

массы подносятся последовательно с двух сторон симмет­

Моменты сил притяжения содержат множителем гравита­

ционную постоянную G,

измеряются.

При динамическом методе определяется частота кру­

тильных колебаний n1 и n2 при двух положениях притяги­ вающих масс. Соответствующие им производные моментов

силы притяжения будут IM1(0)]' и IM1' (0)]'. Используя

равенство (1.9), nолучим

ные величины вычисляются по известным геометрическим

размерам.

16

анаправляющие косинусы снлы F- соопюmенiiЯ\111

Имея это в виду, получим в соответствии с определеннем

(1.16) IIJЮI!зводные иотешщала rю осям координат

( 1.19)

Обобщением этого определяющего свойства nотенциала

является равенство его nроизводной ио .1юбому наnравле­

нию 8 нроекции силы на это же направ.rrение, отнесенной

1

к единичной массе. Имея это в виду, множитель тв дальнейшем будем оnускать. Тогда

где 8 - единичный вектор выбранного наnравления. Эта формула легко получается, если взять полный дифферен-

ивнести в него значения

18

Находим

(LV=Fds[cos(F, x)cos(s, х) j-cos(f, y)cos(s, у)+ +cos(f, z)cos(s, z)]=Fdscos(F, s). (1.21)

Фор~ула (1.21) разъясняет физнческую сущность потен циала как работы. Она указывает, что приращение потенци­

ала равно работе, совершенной силой F на перемещении ds.

Потенциальная функция обладает некоторыми замеча­ тельными свойствами. Основные из них мы здесь рассмотрим, имея в виду, что они будут А полезны нам в дальнейше:-.1 изло­

жении.

!.Непрерывность и

р е г у л я р н о с т ь. Потенциал

Это равенство легко доказать, если написать значения по­

тенциала, возбуждаемого в точке А (рис. 2) каким-либо те­

лом, и потенциалов, возбуждаемых массами, равными мас­

се рассматриваемого тела, но сосредоточенными в точках,

ближайшей к А и самой удаленной. Тогда можем написать

неравенство

где р1 - расстояние от А до ближайшей точки тела, р2 - расстояние от А до наибоме далекой точки тела.

Умножая это неравенство на р и переходя к пределу при

р-+оо, получаем искомое соотношение, поскольку

которых действуют силы, называются силовыми линиями.

Поверхности, всюду перпендикулярные силовым линиям,

наз.ываются·уровенными.повердюстями (рис. 3). На этих no-

1~

верхностях, по определению, отсутствуют тангенциальные составляющие сил, и массы, расположенные на них, нахо­

дятся в состоянии устойчивого равновесия, в частности, не

происходит перетекания жидкости. Уравнение семейства

уравенных поверхностей получим приравниванием потен­

циала константе:

Это семейство обладает тем свойством, что изменение по­ тенциала V при перемещении dS по поверхности раено О,

а значит, cos (F, S)=O и сила F перпендикулярна dS. Эле­ ментарная работа dV при перемещении по поверхности тоже

равна нулю.

Рис. 3. Уравенные поверхности. Рис. 4. К теореме Брунса.

3. Р а с с т о я н и е м е ж д у у р о в е н н ы м и п о­ в е р х н о с т я м и. Если элементарное перемещение еди­ ничной массы происходит вдоль силовых линий (рис. 4),

то

cos (F, S) = 1 или dV = F dS,

т. е. элементарное приращение потенциала равно полной

работе силы F на элементарном перемещении dS единичной

массы, и

Для того чтобы совершить одну и ту же работу dV, эле­ ментарное перемещение dS должно быть тем больше, чем

меньше напряженность поля F, т. е. расстояние между ура­

венными поверхностями обратно пропорционально напря-

20

жениости поля. Это положение носит название теоремы

Брунса.

Из этого свойства вытекает также теорема о том, что

уравенные поверхности никогда не пересекаются и не со­

прикасаются друг с другом. В самом деле, совпадение та­

JШХ поверхностей в одной точке неизбежно приводит к их

полному совпадению.

4. О б ъ е м н ы й п о т е н ц и а л и п о т е н ц и а л

пр о с т о г о с л о я. В выражении для потенциала (1.16)

элемент массы можно представить как

dm=adт,

где dтэлемент объема, а- объемная плотность рас­ пределения масс по объему т, причем

1. бт

а= 1m т

бт-+0 ul:

величина конечная. Тогда получим объемный потенциал

( 1.25)

Рассмотрим далее случай, когда притягивающие массы

сосредоточены на поверхности s в виде слоя малой толщины lt. Если ds - элемент поверхности, то элемент объема dт

можно представить как

dт=hds.

Тогда объемный интеграл приобретет вид

V =G 5ohpds.

s

Переходя к пределу при условии lim ah =а', получаем по­ h-+ о

тенциал простого слоя

( 1.26)

где а' - поверхностная плотность распределения масс на

поверхности, s - величина конечная.

5. П о т е н ц и а л ш а р а н а в н е ш н ю ю т о ч­

к у. Во многих задачах гравиметрии, тем более астроно­

мии, приходится иметь дело с телами сферической или

21

близкой к сферической формы. Поэтому представляет ин­

терес рассмотреть nотенциал таких тел.

Потенциал материального шара на внешнюю точку по­

лучим интегрированием по радиусу потенциала простого сфе­

рического слоя, который, в свою очередь, получается ин­

тегрированием потенциала по сферической поверхности.

Представляя элемент поверхности в сферических коор­

динатах R, 'ljJ, Л

ds=R 2 sin'ljJd'ljJdЛ,

где 'ljJ - полярное расстояние, Л -долгота, находим

n 2n

V= G55 а'Ю sinp-фdфdЛ.

оо

Полагая поверхностную плотность постоянной, вынесем а'

за знак интеграла и, интегрируя это выражение по долготе,

получим

о

Подынтегральное выражение преобразуем с по~ющью ра­ венства (см. рис. 5) p2 =R 2 +r2-2Rr cos'ljJ. Дифференцируя

левую и правую часть последнего, получим

pdp= Rr siп фdф.

Отсюда непосредственно получается подынтегральное вы­

ражение в виде

Подставляя его в формулу (1.27) и заменяя пределы ин­

r-R

Пределы интегрирования определяются положением са­

мой близкой и самой далекой от А точками поверхности, соответственно точка~ш В и В' (рис. 5). Вынося за знак

R

интеграла постоянную величину -, и интегрируя, получим

22.

T[IK как 4лR2 - nлощадь сферы, а 4лR 2а' -масса М ша-

Последняя фоrн1ула показывает, что потенциал притя­ жения бесконечно тонкого сферического с.rюя на внешнюю точку равен потенциалу притяжения центра сферы со скон­ денсированной в нем всей массой сферического слоя.

dm (c.;r;, L.)

Чтобы получить nотенциал слоя конечной толщины и r.;ссй сферы, надо выражение (1.29) проинтегрировать пора­ диусу от R до некоторого (рис. 6). Заменив в подын­ тегральном выражении поверхностную nлотность а' через

объемную nлотность а,

a'=adR,

приходи~I к выражению

\-'= -- 4~G R,saR2dR.

н.

Знак минус взят, nоскольку интегрирование ведется внутрь сферы.

Выполняя интегрирование при nостоянной плотности а, получим для сферического с.тюя

Поскольку 1лR3 есть объем ш.ара, а ~ :л(R3-R~)-объем

сферического слоя, можно объединить формулы (1.30) и

23

(1.31), заnисав

\'=G~

г '

где М - масса однородного сферического слоя или целого

однородного шара.

Таким образом доказана теорема, что однородный сфе­

рический слой так же, как и однородный шар, развивают

потенциал, равный потенциалу точки, расположенной в центре шара и содержащей всю массу шара.

б. П о т е н ц и а л ш а р а н а в н у т р е н н ю ю т о ч к у. Формула (1.28) позволяет найти потенциал бес­

конечно тонкого внутреннего шарового слоя поверхност­

ной плотности и'. Для этого в ней надо только заменить пределы 11 интегировать по радиусу от самой близкой к А точки поверхности В, где р=R-г, до ca:vroй далекой В',

где р=R-1-г,

Чтобы распространить эту формулу на слой конечной тол-

Потенциал полной сферы на внутреннюю точку А сла­

гается из потенциала внешнего по отношению к точке сфе­

рического слоя, задаваемого формулой (1.33) при R 1 =г,

и потенциала, внутреннего по отношению к точке шара ра­

диуса г, задаваемого формулой (1.31). Итак, при R >г

V=Vвнyrv: Vвнешн=2:rtGи ( R2-Г2 -1- ~ г2) =

лучить силу притяжения сферическим слое:-.1 и полной сфе­

рой внешней и внутренней точек, нужно продифференци­

ровать соответствующие значения потенциала по направле­

нию г. Приводим все эти значения в табл. 2.

24

Заметим, что 4лR2а' есть масса бесконечно тонкого ша­

ровогослоя, ~ ла (R 3 - R~)- масса шаровогослоя конечной

4

толщины, а 3 лR:~а- масса шара. Поэтому все формулы для nнешней точки nриводятся к виду: для nотенциала V=

гг

8.У р а в н е н и е Л а n л а с а. Потенциал nритяже­

ния во внешнем nространстве удовлетворяет уравнению

.Тlаnласа

ровав выражение для nотенциала однородного шара

v'=G~

г

25

дважды по координатам х, у, z с учетоы (1.17) и (1.18), по­

лучим

Складывая все три вторые производные, убеждае~IСя в ска­

занном:

Уравнение Лаш1аса инвариантно относительно системы ко­

ординат и распределения nлотности; иными словами, оно

справедливо в любой ортогональной системе координат nри

любом расnределении масс и любой

форме тела.

9. У р а в н е н и е П у а с с о н а.

Потенциал притяжения в точках внут­ ри масс удовлетворяет уравнению Пу­

ассона

/). V=-4лGа.

Рис. 7. К теореме Пу­ Для доказательства этого предло­

находится точi<а А, разделить на две части, обнеся точку А сферой малого радиуса R (рис. 7). То­

гда для всех масс вне сферы радиуса R точка А будет внеш­

ней и nотенциал V1 , развиваемый этюш массами, будет удовлетворять уравнению Лап.r1аса

дVlС-0.

Для сферы радиуса R точка А будет внутренней, 11 в ней массы, заключенные внутр11 сферы, согласно формуле

(1.34) будут развивать nотенциал

V 8 = ; л.Gа(3R 2 - r 2).

Примешш оnератор Лarmaca к этому выраженню, nо.1уч11м

26

Уравнение Пуассона также инвариантно относительно сне­

темы координат и распределения масс.

rюдынтегральную функцию -1 в выражении для потенциала

р

(1.16). Напомним, что р = V-:::R:":"2-:+-г-=2:---;:;-2-;;R:-r-c-os-ф-=-.

Для простоты положим, что мы имее~ дело со сферой сднrrичного радиуса R= 1. Тогда

Коэффициенты при степенях r - это так называемые поли­

!1():\!Ы Лежанл.ра, обозначаемые обычно через Pi (cos'ljJ). Вво­

;\н эти обозначения в (1.38), получим

u(г)=P.. (cos~·): rP1 (cos'I\J)+r2P2 (cosф)+ ...

""

... =~r"P11 (cosф). (1.39)

ll=O

27

Для сферы nроизвольнога радиуса R =а, a=F 1 функ-

цию -1 ыожно заnисать так:

Внеся это выражение в фор'.!улу (1.16) для nотенциала, nо­

лучим

Это nредстав.11енис nотенциала в виде бесконечного ряда полино~юв Лежандра.

Раскрывая су~шу в (1.41) и удерживая три nервых чле­

на, nолучим выражение nотенциала в виде суммы трех ин­ тегралов

5 "' an

V=G L г"+l P11 (cosф)dm=

Мn=O

=GJ('-dmг-+ 7iG а 5cos фdm +Gта,2з 5(3 cos 2 ф-1) dm -;- ...

(1.42)

Рассмотрим все интегралы отдельно.

Первый интеграл nредставляет собой nотенциал сфери­ ческой Земли:

G5dm = G_!_ 5dm = G!:!._ .

мм

Второй интеграл

G г12 5а cos 1j: dm

м

обращается в нуль nри выборе начала координат в центре масс. В само~! деле,

cos 1j:'= x~+Y'lтZ~.

га '

28

Г,Т(е значениях, у, z, ~.У], ~очевидны из рис. 5, и тогда

~ аcos Ч:dm = х ~ 6dm ту~ чdm + z ~ ~dm.

Интегралы в правой части равенствакоординаты центра

~tacc, которые должны обращаться в нуль согласно нашему

выбору начала координат.

Третий интеграл содержит вторую зональную гармони­

ку. Раскроем в нем значение cos 'ljJ:

G2~" Sа2 (3 cos2 ф- 1) dm =

м

=- G2~,~ \ [ ~ (xs -!- Y'l-+ z~)2 -а2Jdm =

л.,

= G2~:, S[(3x2s2 + Зу2,12+3z2~2)-a2r21 clm =

м

= G2~"S[3x2 'g 2 +3y2 1J2 + 3z2~2 -а2 (х2 +у2 ; z2 ) Jdm. ( 1.43)

м

которые являются произведениями моментов инерции и об­

ращаются в нуль в случае выбора координатных осей со­

впадающими с главными осями инерции.

Внося в подынтегральное выражение a2 =s2+YJ2+~2 и

группируя члены с х2, у2 и z2, запишем третий интеграл

Если обозначить моменты инерции тела относительно осей

х, у, z

~ (•12+ ~2)dm=A, ~ (~2+62) dm =В,

мм

~ (6 2 +112 ) dm =С,

Лf

29

то можно записать

~ (2S,2-ч2-~2}dm=B+C-2A,

м

~ (2ТJ2 -62-s2)dm=C+A-2B,

м

~ (262-S,2 -ТJ2)dm=A+B-2C.

м

Тогда (1.43) примет вид

2~:.[х2 (В+С-2А) + у2 (С-1- А- 2В) +z2 (А+В-2С)].

Переходя к сферическим координатам и имея в виду, что

прямоугольные координаты выбраны так, что ось z на­

правлена по оси вращения Земли, а х и у лежат в нлоско­

сти экватора, получим:

где IP- широта, Л- долгота точки. Искомый член тогда

принимает вид

2~3 Sa 2 (3cos2 '1jJ-1)dm=

(1.45)

Внеся по.'lученные значения интегралов в (1.42) и до­

бавляя общиl1 член, получим выражение для nотенциала:

,.",з

30

Пt'рвые трн члена разложевин (1.46) нредставляют Jютсн­ uнал трехосной Зе:-.1ли:

Ilocлeдшii'l член содержит долготу, а значит, указывает на

отклоневин фшуры Землн от двухосного эллипсоида. При­ НIIЛ.IЗЯ Зел.1лю за тело вращения (А =В), получиУI

дннамическое сжатие Земли через ее ~ю~1енты инерции. Вне­

В этой формуле si11 21p можно нредставить через полиномы

Формула (1.50) выведена с точностью до первой степени

сжатия, т. е. в бесконечном ряде, в который разложен по­ тенниал прнтяжения, удержан только второй член. Если ниписать ряд полностью, то он, очевидно, будет иметь вид

(1.51)

Этоформула для нотенциала притяжения в виде беско­

нечного ряда с коэффициентами, содержащими динамичес­ кие характеристики Земли.

В формуле (1.51) полиномы Лежандра Р110 написаны относительно полюса Земли, и аргументом в них является широта ер или дополнение до широты 8=90°-ер в отличие

от формулы (1.41), где полярное расстояние ·ф отсчнтыва­

.,_