7. Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы,и— столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице:

Так как , получаем. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) являетсяневырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор , действительно обратное правило: системаимеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит названиеальтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ[править | править вики-текст]

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

8. Системы координат на плоскости: декартовы и полярные координаты

Декартова система координат на плоскости определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора) (см. рис. 1).

Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

На плоскости часто употребляется также полярная система координат (рис. 2).

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами ρ и  точки M называются расстояние ρ от полюса до точки M ( ρ = |OM|) и угол  между полярной осью и вектором OM (рис. 2). Угол  называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: ρ = 0, угол  не определен. У остальных точек ρ > 0 и угол  определен с точностью до 2π. Обычно полагают 0 ≤  < 2 π или − π <  ≤ π.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты ρ и  формулами

x = ρcos      y = ρsin .

Полярные координаты ρ и  точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами

ρ

=

√

x2 + y2

cos =   x √ x2 + y2

sin =   y √ x2 + y2

Замечание. Если не указано положение полюса и полярной оси относительно декартовой системы координат, то считаем, что полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс.

14. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом a между осью Ох и прямой  (см. рис. 41).

Под углом а (0<a< ) наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Ох против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой. Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 41). Проведем через точку N ось Nx', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Nx' и прямой равен a. В системе Nx'y точка Μ имеет координаты x и у-b.

Из определения тангенса угла следует равенство

, т. е..

Введем обозначение tga=k, получаем уравнение

(10.2)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Мож­но убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число k = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следова­тельно, уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx.

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, k = tga = 0 и уравнение (10.2) примет вид у = b.

Если прямая параллельна оси Оу, то , уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициентне существует.

В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

(10.3)

где a— абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой.

Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде

(10.4)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одно­временно.

Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возмож­ны два случая.

Если  В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид  Ах + С = О, причем А ¹ 0 т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку·

Если B ¹ 0, то из уравнения (10.4) получаем . Это есть  уравнение прямой с угловым коэффициентом|.

Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется  общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1)  если А = 0, то уравнение приводится к виду. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2)  если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3)  если С = 0, то получаем . Уравнению удовлетворяют  координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку и ее направление определяется  угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде, где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку, то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой:. Отсюда. Подставляя значение b в уравнение, получим искомое уравнение прямой:, т. е.

         (10.5)

Уравнение (10.5) с различными значениями k называют также уравнениями  пучка прямых с центром в точкеИз этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки и. Уравнения прямой, проходящей через точку M₁, имеет вид

(10.6)

где k — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6):. Οтсюда находим. Подставляя найденное значение k в уравнение (10.6), получим  уравнение прямой, проходящей через точкиM₁ и M₂.

(10.7)

Предполагается, что в этом уравнении ·

Если x₂= x₁прямая, проходящая через точкиипараллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид.

Если y₂ = y₁то уравнение прямой может быть записано в виде, прямаяM₁M₂параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая пересекает ось Ох в точке , а ось Оу – в точке(см. рис. 42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид

 

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа α и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем   уравнение   прямой,   проходящей   через   заданную   точку перпендикулярно данному ненулевому вектору.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор (см. рис. 43). Поскольку векторыиперпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:, то есть

Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор , перпендикулярный прямой, на­зывается нормальным вектором этой прямой. Уравнение (10.8) можно переписать в виде

   (10.9)

где А и B— координаты нормального вектора, — сво­бодный член. Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).