10 (математика)

Задача 1. Вычислить двойной интеграл по указанной области

,

Решение

Область является стандартной относительно оси .

Сводим двойной интеграл к повторному по формуле :

Поменяем пределы интегрирования:

Ответ:

Задача 2. Вычислить объем указанной области с помощью двойного интеграла, переходя к полярным координатам.

Решение

Введем полярные координаты . Требуется вычислить двойной интеграл по проекции на плоскость , переходя к полярным координатам.

Ответ: 15

Задача 3. Вычислить массу тела с заданной плотностью с помощью тройного интеграла

Решение

Согласно физическому смыслу тройного интеграла масса тела равна

Ответ:

Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл для заданного векторного поля вдоль замкнутой ломанной с вершинами . Вычислить этот же интеграл с помощью формулы Грина.

Решение

Пусть векторное поле задано в виде

Замкнутая ломаная задана своими вершинами .

Формула Грина

Последний интеграл по геометрическому смыслу двойного интеграла численно равен площади треугольника с вершинами :

Таким образом,

Для вычисления криволинейного интеграла произведем параметризацию отрезков :

Далее, используя аддитивность криволинейного интеграла, получаем:

_{Складывая полученные значения, находим:}

Ответ:

Задача 5. Вычислить криволинейные интеграл по кривой от точки до от заданного векторного поля .

Решение

В данном случае удобнее представить в параметрической форме:

В таком случае криволинейный интеграл по выведется к определенному интегралу:

Ответ:

Задача 6. Вычислить все значения величины

Решение

Прежде всего, вычислим

Вычислим .

При

При

При

При

При

При

При

При

При

При

Задача 7. Найти модуль и аргумент производной от заданной функции

Решение

Производную от этой функции вычисляем по обычным правилам:

Разложим на линейные множители знаменатель этой дроби. Для этого найдем корни уравнения.

Найдем модуль :

Для определения найдем аргументы каждого линейного множителя в :

Следовательно, аргумент производной равен:

Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Решение

Задача 10. Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения

Решение

Задача 11. Решить задачу Коши для линейного уравнения первого порядка

Решение

Найдем решение задачи Коши:

Решение задачи Коши найдено:

Задача 12. Проинтегрировать уравнение в полных дифференциалах

Решение

В этом уравнении

Поскольку , левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой функции .

Определим это функцию. Из равенства следует, что

Чтобы определить неизвестную функцию , воспользуемся другим равенством и получаем

Отсюда

Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения в виде , то есть

Задача 14. Найти общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Решение

Характеристическое уравнение:

В соответствии с этим получаем общее решение заданного уравнения:

Задача 15. Решить задачу Коши для линейного уравнения второго порядка

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

В этом случае общее решение однородного уравнения представляется в виде:

Найдем частное решение неоднородного уравнения.

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Итак, частное решение

Задача 18. Исследовать на устойчивость систему ОДУ

Решение

Найдем корни характеристического уравнения:

Корни комплексно-сопряженные, причем . Устойчивый фокус.