3.2.1. Средняя квадратическая погрешность единичного измерения

Средняя квадратическая погрешность единичного измерения вычисляется по результатам n измерений x1 , x2 , … , x_n :

, (6)

где <x> — среднее значение измеряемой n-раз величины.

Значение σ является основной характеристикой для определения точности данного способа измерений, оно характеризует ширину гистограммы распределения результатов измерения.

σ может быть определена только из результатов достаточно большого числа измерений и тем точнее, чем больше n (на практике можно ограничиться значением n = 10…50).

Вычислим σ для примера с определением периода колебания маятника. Для n = 300 σ = 0.10 с (см. рис. 2в).

Теперь посчитаем частоту попадания результатов измерения в интервал:

X − σ < x_i < X + σ (7)

Для гистограммы, приведенной на рис. 3в, неравенство (7) приобретет следующий вид:

1.90 < x_i < 2.10 (7’)

В интервал (7’) попадает m = 190 измерений. Следовательно, частота попадания равна:

Увеличивая число измерений, мы всё более уточняем значения σ и частоты. В пределе при n → ∞ теория даёт вероятность P = m/n = 0.68 того, что результат единичного измерения окажется в интервале (7). Другими словами, имеется 68 шансов из 100 за то, что результат какого-либо одного измерения отклонится от истинного значения не более чем на σ, и 32 шанса из 100 за то, что отклонение будет больше.

Для полноты описания случайной погрешности необходимо уметь указывать вероятность P(k) попадания результата измерения xi в интервал любой заданной полуширины ∆x

X − ∆x < x_i < X + ∆x, (8)

где ∆x удобно выражать через σ и некоторый множитель k:

∆x = kσ (9)

На рис. 5 приведены вычисленные теоретически значения P(k). Вероятность P(k) изменяется от 0 до 1 при изменении k от 0 до ∞.

Рис. 5. P(k).

Однако уже при k = 2 вероятность P(2) = 0.95, а при k = 3 вероятность P(3) = 0.997. Вероятность 0.997 означает, что из 1000 измерений в среднем 997 попадут в интервал от X−3σ до X+3σ и только три измерения будут иметь отклонение больше 3σ. Поэтому с некоторой долей условности величину ∆x = 3σ называют предельной погрешностью измерения.

Перепишем неравенство (8) следующим образом:

X = x_i ± ∆x

Эта запись имеет следующую важную интерпретацию. Произведя одно измерение некоторой величины и получив её значение x_i , можно утверждать, что искомое значение величины X находится в интервале от x_i − ∆x до x_i + ∆x с вероятностью P(k). Интервал, в котором с заданной вероятностью P находится истинное значение измеряемой величины, называется доверительным интервалом. Соответствующая вероятность P — доверительная вероятность этого интервала. Полуширина доверительного интервала есть оценка погрешности результата измерения.

Возвращаясь, к нашему примеру (рис. 2в) можно указать погрешность ∆x = kσ единичного измерения для любой заданной вероятности: ∆x = 0.10 с для P = 0.68 или ∆x = 2σ = 0.20 для P = 0.95 и т.д. Результат однократного измерения (например первого в табл. 2) представим в виде:

X = x₁ ± 2σ = 1.87 ± 0.20c, для P = 0.95 .

У читателя может возникнуть вопрос: раз мы провели много измерений, чтобы оценить σ, зачем же указывать результат какого-либо единичного измерения когда среднее значение <x>, рассчитанное из многих измерений, ближе к истинному? Чтобы понять, зачем нужно знать σ, рассмотрим следующую ситуацию.

Пусть после того как измерили период маятника и получили x = 2.00 с и σ = 0.10 с (рис. 2в), мы выполним всего лишь одно измерение периода другого маятника и получим, например значение 2.52 с. Можно ли указать погрешность этого результата? Да, можно. Это измерение имеет ту же среднюю квадратическую погрешность σ = 0.10 с, поскольку оно произведено тем же методом, с помощью того же самого секундомера, и период второго маятника не слишком сильно отличается от периода первого. Итак, результат измерения периода второго маятника равен 2.52 ± 0.10 с для P = 0.68. Такие случаи, когда неизвестная величина измеряется всего лишь один раз, а случайные погрешности подобных измерений хорошо изучены (т.е. известно σ), часто встречаются на практике.

Приведём математическое выражение для распределения Гаусса (нормального распределения):

, (10)

где X — истинное значение измеряемой величины; — средняя квадратическая погрешность, рассмотренная выше (— дисперсия).

Функция f(x), называемая плотностью распределения результатов измерения, имеет следующий смысл: f(x)dx есть вероятность того, что отдельное случайно выбранное значение многократно измеряемой величины окажется в интервале от x до x + dx.

В качестве примера на рис. 6 показаны две кривые нормального распределения для X = 4 при различных значениях параметра σ. Из рис. 6 видно, что при уменьшении σ кривая нормального распределения сжимается вдоль оси Ox и вытягивается вдоль оси f(x).

Рис. 6. Распределение Гаусса.

Выше мы говорили о теоретическом определении вероятности P(k). Теперь мы можем записать формулу, для расчета вероятности того, что результат измерения попадёт в доверительный интервал (X − ∆x, X + ∆x):

По вышепредставленной формулу на рис. 5 построен график зависимости вероятности P от k.

Рис. ?. P(k).

Важно заметить, что, исходя из свойств нормального распределения, график зависимости, представленный на рис. 5, идентичен для любой гауссовой кривой при n>10.

Следовательно вероятность попадания результата измерения в интервал (X − kσ, X + kσ) для разных k приобретает значения, представленные в таблице 3, для любой серии измерений, при n>10.

Таблица 3. Вероятность P(k).

k	P(k)
1	0.68
2	0.95
2.6	0.99
3	0.997