4.4. Течение в круглой трубе среды Бингама.

Уравнение равновесия элемента жидкости (2.34), подученное выше, остается в силе:

 = -

Из условий течения среды Бингама следует, что при перепаде давления меньше критического

p < _т

где R - радиус трубы, L- - длина отрезка, на котором измеряется перепад p, течение в трубе не будет иметь места.

Запишем уравнение состояния среды Бингама, подставив вместо  равное ему значение градиента скорости течения - :

 = _т - _пл

Подставляя в левую часть последнего соотношения значение  получим дифференциальное уравнение среды Бингама:

_пл=+_т

Разделяя переменные и интегрируя, получим

_плv = +_тr + C

Постоянную интегрирования С определим из граничного условия:

при r = R v = 0. Тогда

C = - -_тR

Окончательно закон изменения скорости жидкости по радиусу трубы примет вид:

v = [--_т(R – r)]

Распределение скоростей по сечению трубы показано на рис.4.13,

В средней части трубы при r  r₀ = жидкость ведет себя как жесткое тело ( = 0). Такое распределение возникает, например, при выдавливании пасты из тюбика, движении густых расплавов по трубам и т.п.

4.5, Применение математических моделей вязко-упругости

в расчетах на изгиб, кручение и устойчивость стержней.

Изгиб стержней из вязко-упругих материалов. Рассмотрим деформации стержня при изгибе, материал которого отвечает уравнении Максвелла-Томсона (4.14). Деформации волокон такого стержня на расстоянии y от нейтральной оси будут равны

 = y = ky;=y, где k =– кривизна стержня.

Подставим эти выражения в формулу (4.14), умножим все его члены на y и проинтегрируем по площади сечения:

+=+

или, что тоже самое

M_x + _p= EkI_x + _pHI_x

где I_x = , M_x =

Считая прогибы стержня малыми по сравнению с длиной, заменим кривизну k через вторую производную по z (W``), тогда

M_x + _p= EkW`` +_pHI_x

Штрихами здесь обозначено дифференцирование по координате z. Обычно внешние нагрузки постоянны во времени, тогда уравнение упрощается

M_x = EkW`` + _pHI_x

Решение этого уравнения относительно имеет вид

W`` = + C exp()

Постоянную интегрирования С найдем из начального условия:

При t = 0 W`` = , тогда С =-и далее

W`` = + (-) exp()

Дальнейшее интегрирование по абсциссе должно быть проведено с учетом схемы нагружения и опирания стержня, которые определяют зависимость M_x от абсциссы, т.е. эпюру изгибающих моментов:

W = (1-exp()

Как видно из полученной формулы, при изгибающих моментах, неизменяющихся во времени, продолжительность нагружения вызывает пропорциональный рост прогибов во всех точках балки. Учитывая, что перед скобками стоит множитель, имеющий смысл W_, последнее выражение можно переписать следующим образом:

= exp()

Из этой формулы следует важный вывод: если известно упругое решение задачи о прогибах балки W, вязкоупругое решение может быть получено простым умножением прогибов на коэффициент, зависящий только от времени. Фактически изменение податливости материала и развитие деформаций может быть описано изменением во времени модуля упругости материала, что наблюдается при ползучести образца. Зависимость прогиба стержня от времени имеет такой же вид, как и кривая ползучести материала, см.рис.4.14.

Устойчивость сжатого стержня. Рассмотрим сжатый силой P стержень, закрепленный на шарнирах, как показано на рис. 4.15.

Поскольку на практике нет идеально прямолинейных стержней, и имеется некоторое начальное искривление, характеризуемое прогибами W, изгибающий момент в любом сечении такого стержня равен

M = -PW

Скорость изменения такого момента = -P

Подставляя значения М и в уравнение изгиба стержня из вязкоупругого материала, подчиняющегося уравнению Максвелла-Томсона, получим

-PW - _pP= EIW + HI_p(4.17)

Зададимся кривой начального прогиба стержня в виде синусоиды

W = Asin

Тогда, очевидно,

= sin

Подставляя значения W и в уравнение (4.17), после сокращения на sinполучим дифференциальное уравнение

-PA - _pP= -EIA - HI_p(4.17)

Введем обозначения:

P_д = EI- критическая сила при длительном нагружении,

P_м = HI- критическая сила при мгновенном нагружении, так как H > E, очевидно, что Р_м > Р_д

Тогда

(Р_д – P)A = - (Р_м – Р)

Если для краткости обозначить

 =

получим простое уравнение вида = -A

Решением полученного дифференциального уравнения является

A = C exp(-t)

Обозначая А₀ начальное искривление, т.е. амплитуду A при t = 0, получим

A = А₀exp(-t)

Полученное решение является устойчивым, т.е. прогибы во времени не возрастают, а наоборот, стремятся убывать при положительном , (включая и  равное бесконечности). Равновесие неустойчиво при отрицательных значениях . Критическое состояние наступает при  = 0. Значение  = 0 соответствует Р=Р_д, а значению  =  соответствует P = Р_м.

Кручение упруго-вязкого стержня. Аналогично предыдущим задачам решается вопрос о кручении стержня круглого сечения под действием постоянного во времени крутящего момента. Относительный угол закручивания такого стержня определяется выражением

 = -(-) exp()

где G - длительный модуль сдвига, H* - мгновенный модуль сдвига. Это решение можно представить в виде

= exp()

который соответствует решению задачи об изгибе. Здесь _м - мгновенное, _ равновесное значение относительного угла закручивания стержня.

Обобщая полученные решения можно отметить, что если известно упругое решение задачи сопротивления материалов, на его базе можно всегда построить решение вязко-упругой задачи. Для этого необходимо знать упругие и вязко-упругие характеристики и уравнение состояния среды.

4.6. Связь компонентов напряжений с компонентами скоростей деформаций для вязко-упругих сред.

Для решения задач о напряженно-деформированном состоянии при наличии пространственного нагружения необходимо установить связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций. Рассмотрим сначала вязкую жидкость, подчиняющуюся закону Ньютона. Следует различать линейную и сдвиговую вязкости такой жидкости. Для состояния одноосного растяжения-сжатия закон Ньютона запишем в следующим обозначениях:

 = 

где  - коэффициент, аналогичный модулю упругости Е для идеально упругой среды. Коэффициент  называют линейной вязкостью среды. Этот коэффициент находится в связи с коэффициентом сдвиговой вязкости , который был использован ранее, аналогичной зависимости между модулем продольной упругости Е и модулем сдвига G:

G = , =

где * - коэффициент поперечной деформации, аналогичный коэффициенту Пуассона, но связывающий скорости деформации.

В реальных жидкостях объемная деформация зависит от гидростатического давления, но практически не зависит от скорости деформации, т.е. не обладает объемной вязкостью. Поэтому коэффициент *, как и коэффициент Пуассона для состояния текучести, можно положить равным 0,5. Поэтому

 = 3

Последнее соотношение позволяет вычислять сдвиговую вязкость по данным испытаний на растяжение и наоборот - линейную вязкость по результатам испытаний образцов на сдвиг (иди кручение).

Так как для одноосной деформации закон Ньютона идентичен по форме обычному закону Гука при растяжении-сжатии, то, очевидно, что в общем случае зависимость между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора скоростей деформаций выражается аналогично рассмотренным ранее соотношениям для упругих тел, но с заменой деформации на скорость деформации и модуля сдвига на вязкость Таким образом, получаем следующие соотношения:

_x - = 2()

_y - = 2()

_z - = 2()

_xy = 

_yz = 

_zx = 

Для среды Максвелла-Томсона соответственно получаем для оси x:

_x - +_p()= 2G() + 2()

Аналогично выражаются и другие уравнения относительно осей y и z. К ним следует добавить закон объемной упругости (3.49).

Пользуясь обозначениями девиаторов напряжений и деформаций можно представить закон изменения формы среда Максвелла-Томсона в краткой записи:

D_н + _p= 2G D_д + 2

т.е. девиаторы напряжений, деформаций и девиаторы скоростей напряжений и деформаций находятся в определенной зависимости.

Уравнение среды Максвелла-Томсона можно представить в следующем виде, пользуясь линейностью составляющих его членов:

 = Е(1 + -)

Обозначая

E(t) = Е(1 + -)

уравнение состояния среды Максвелла-Томсона можно представить в форме закона Гука при одноосном растяжении-сжатии:

 = E(t)

где E(t) функция времени, зависящая от скорости роста напряжения и скорости деформации. Эта функция зависит не только от свойств материала, но и от характера(предыстории) нагружения. В задачах релаксации напряжений имеем = 0, наоборот при постоянных во времени усилиях на границах тела имеем= 0.

4.7. Наследственно-упругие среды.

Наряду с описанием вязко-упругих свойств сред в дифференциальной форме получило распространение описание их с помощью интегральных уравнений - теория наследственности, форма уравнений теории наследственности была введена математиком Вольтерра на основании следующих простых соображений. Полная деформация тела согласно Вольтерра складывается из мгновенной деформации, которая определяется только напряжением, действующим в данный момент времени:  = (t)/H и наследуемой деформации. Допустим, в момент времени s было приложено напряжение (s), которое действовало в течение времени ds. Материал как бы сохраняет воспоминание о действии этого напряжения в виде некоторой малой деформации d. Последняя пропорциональна напряжению (s), продолжительности его действия ds и зависит от времени, прошедшего от момента s когда было приложено напряжение, до настоящего момента, то есть от (t-s). Чтобы учесть эту зависимость, предполагается, что d пропорционально некоторой функции К(t-s) Таким образом

d = (s)K(t-s)ds (4.18)

Интегрируя это выражение от -  до t и добавляя упругую мгновенную деформацию, получим

(t) = [(t) + (4.19)

Заметим, что функция К(t-s), называемая ядром интегрального уравнения, должна быть убывающей, т.е. "воспоминания" материала о нагружении стремятся изгладиться со временем. Аналогичным образом может быть получено другое уравнение для описания напряжений по задаваемым деформациям:

(t) = H[(t) - (4.19)

Выражение (4.20) можно рассматривать как решение интегрального уравнения (4.19) относительно напряжений . При этом K(t-s) является ядром интегрального уравнения, а R(t-s) его резольвентой. Можно показать, что интегральные соотношения могут быть получены из дифференциальных уравнений среды Максвелла-Томсона, при этом функции K(t-s)) и R(t-s) будут экспоненциальными. Однако в общем случае ядра уравнений теории наследственности могут быть и не экспоненциальными. Отметим, что при добавлении к t и s одной и той же величины значения К(t-s) и R(t-s) не изменяются. Это означает, что свойства материала не изменяются во времени, т.е. являются инвариантными. У многих материалов происходит изменение свойств с течением времени - т.н. старение или упрочнение. Типичными примерами стареющих материалов являются пластмассы, механические характеристики которых с течением времени ухудшаются. Наоборот, некоторые материалы с течением времени набирают прочность - бетоны и те же пластмассы в режиме отверждения. В таком случае следует считать ядра К и R зависящими от аргументов t и s произвольным образом, тогда

(t) = [(t) + ] (4.21)

Уравнение (4.19) наилучшим образом описывает явление ползучести при ₀=const. Тогда величину напряжения можно вынести из-под знака интеграла и положить начало отсчета времени t=t₀. Тогда получим

(t) = [1 +];=t-s (4.22)

При t=t₀ в момент приложения напряжения (t)=, следовательно Н представляет собой мгновенный модуль упругости. Уравнение (4.20) наилучшим образом описывает релаксацию напряжений. Приведем наиболее распространение на практике ядра интегральных уравнений:

K(t-s)= - функция Больцмана.

Недостатком функции Больцмана является ее сильная особенность при t=s, интеграл от нее расходится. Чтобы избежать этого были предприняты попытки видоизменить ядро Больцмана, положив

K(t-s)=

где s₀ - постоянная, имеющая размерность времени.

В случае ползучести, когда  постоянно, в результате интегрирования получается (при t₀=0)

(t) = [1 + c ln].

Как видно, положить s₀ равным нулю в этой формуле нельзя. Используют также модификацию ядра Больцмана в следующем виде

K(t-s)=(0 < < 1)

Уравнение кривой ползучести при постоянной нагрузке записывается при этом следующим образом:

(t) = [1 +t^1-].

Полученное уравнение хорошо описывает ползучесть различных материалов, по крайней мере начальные участки кривых. Однако затухание деформаций иногда происходит быстрее, чем это следует из последнего уравнения. Поэтому применяют более сложные ядра, например, вида

K(t-s) = C(t-s)^-exp[-(t-s)]

Символически уравнения (4.19) и (4.20) можно записать короче, введя обозначение интегральных операторов через Г и G:

 = H(1-Г);  = (1 + G)

Полагая также H(1 - Г) = , закон наследственной упругости можно записать в виде закона Гука

 =  или  = ^-1

Отсюда следует, что любую статическую задачу теории наследственной упругости следует решать как соответствующую задачу теории упругости или сопротивления материалов, лишь в окончательном результате нужно заменить упругие постоянные упругими операторами.

СОДЕРЖАНИЕ