3.8. Описание полей напряжений и деформаций в твердом теле
Основной задачей механики сплошных сред является описание деформаций и изменения формы тел под действием заданных нагрузок, а также установление полей напряжений в них для оценки прочности. Для жидких средл такая задача решается с помощью уравнений типа Навье-Стокса и уравнений непрерывности. Твердые сплошные среды имеют свою специфику.В отличие от жидкостей напряженное состояние нежидких сред (твердых, пластичных, вязко-упругих и др.) характеризуется тензором нарпяжений, в котором имеются компоненты тезоров в виде нормальных напряжений, не равные между собой ( в жидкостях x = y = z = - р ) Поэтому уравнения равновесия и уравнения непрерывности оказываются более сложными, чем в жидких средах.
Ранее были рассмотрены характеристики напряженного состояния в отдельных точках среды. Для описания полей наапряжений и деформаций, возникающих в теле под действием заданных- нагрузок неободимо установить взаимосваязь напряжений в соседних точках объенма всего тела, удовлетворяющих условиям на границах.
Дифференциальные уравнения равновесия. Исследуем условия равновесия элементарного объема среды со сторонами dx, dy, dz, см. рис. .
МЕСТО ДЛЯ РИСУНКА
Суммируя все силы, действующие на этот объем вдоль оси х. В результате получим следующее уравнение равновесия:
(ч + (x/x))dydx - xdydz +
+ (xy + (xy/y))dxdz -xydxdz +
+ (xz + (xz/z))dxdy -xzdxdy + Xdxdydz = 0
где X - проекция силы X на ось x.
Аналогично можно записать уравнения равновесия в направлнии других координатных осей. После упрощения полученные уравнения равновесия будут иметь слоедующий вид:
(3.57)
В частном случае при x=y=z=р и отсутствии касательных напряжений эти уравнения переходят в уравнения гидростатики (1.37 )-(1.39)
Система уравнений (5.7),симметричная относительно диагонали, представляет собой дифференциальные ураввнения равновепсия в напряжениях. Для расчета ваходящих в эти уравнения напряжений трех уравнений, очевидно, недостаточно. Чтобы система уравнений стала определимой, необходимо добавить к ней уравнение совместности деформаций, которое является ордновременно и уравнением непрерывности, поскольку выражает собой условие отсутствия и возникновения полостей в сплошной среде.
Уравнения совместности деформаций. Геометрическая связь относительных деформаций с перемещениями выражается следующими соотношениями
ч = u/x
y = v/y (3.58)
z = w/z
xy = u/y + v/x
yz
=
v/z
+ w/y
(3.59)
zx = w/x + u/z
Такие соотношения вытекают из рассмотрения изменения прямого угла АВС, помещенного в произвольную точку тела О, см. рис .
МЕСТО ДЛЯ РИСУНКА
В результате деформирования угол АВС превращается в угол А’‘ё, а перемещения точки О в точку О‘ дает проекции u и v. Отрезок ОА равный dx, станет равным dx + (u/x)dx = dx(1 +u/x). Отноcительная деформация составить величину ч = u/x. Аналогично вдоль оси у и оси z: y = v/y, z = w/z.
Изменение прямого угла, как видно из проекций, xy = А’О’В’ -АОВ = u/y + v/x. Соответствующим образом подсчитываются угловые деформации и в других плоскостях.
Наконец, в дополнение к приведенным уравнениям следует учесть физические уравнения, выражающие связь напряджений и деформаций данной среды. Для упругих сред этими уравнениями являются уравнения (3.46) – (3.48). Для вязкоупругих сред это уравнения (4.25).
В приведенных уравнениях неизвестными являются напряжения, деформации и перемещения и число неизвестных равно числу уравнений. Примером решения этих уравнений для упругих тел заданной конфигурации являются соотношения, полученные в теории упругости и сопротивлении материалов, на основе которых строятся решения задач вязко-упругости, некоторые из которых рассмотрены ниже. Наибольшую сложность имеют решения приведенных уравнений в теории пласти чности и теории ползучести. Для решения таких уравнений широко используются численные методы с привлечениенм ЭВМ ( методы конечных элементов, конечных разностей вариационные и другие методы).