3.6. Обобщенный закон Гука

При одноосном напряженном состоянии при действии только напряжений _x элементарный параллелепипед получит в направлении оси x согласно первому закону Гука относительное удлинение:

_x = (3.36)

а в направлении осей y и z, являющихся поперечными по отношению к направлению действующего усилия, согласно закону Пуассона:

_y = _z = - (3.37)

где E - модуль упругости первого рода и  - коэффициент Пуассона.

Аналогично напряжения _y дадут продольное удлинение вдоль оси y и поперечные - вдоль осей x и z:

_y = ,_x = _z = - (3.38)

Наконец, действие напряжения _z дает следующие удлинения:

_z = ,_x = _y = - (3.39)

При одновременном действии напряжений _x, _y и _z относительные удлинения будут иметь вид:

_x = [_x – (_y + _z)] (3.40)

_y = [_y – (_z + _x)] (3.41)

_z = [_z – (_x + _y)] (3.42)

Касательные напряжения _xy = _yx будут вызывать сдвиг в плоскости xy. Согласно второму закону Гука имеем:

_ху = (3.43)

где G - модуль упругости второго рода, связанный с двумя другими упругими константами соотношением:

G = (3.44)

Второй закон Гука, записанный для плоскостей yz и xz, будет иметь вид:

_уz = ;_zx = (3.45)

Выражения (3.40)-(3.42), (3.43) и (3.45) вместе представляют обобщенный закон Гука для изотропного тела.

Разрешая уравнения (3.40)-(3.42) относительно напряжений, получим соотношения:

_x = 2G(_x + ) (3.46)

_y = 2G(_y + ) (3.47)

_z = 2G(_z + ) (3.48)

Сложив последние три выражения, можно подучить простое уравнение:

= = (3.49)

Таким образом, среднее напряжение пропорционально средней линейной деформации и объемной деформации в окрестности данной точки.

На основании формулы (3.49) можно получить простую связь между шаровыми тензорами напряжений и деформации

= (3.50)

или

Т_н° = Т_Д° (3.51)

Формулу (3.46) с учетом (3.49) и (3.44) преобразуем к виду:

_x - = 2G(_x + ) -= 2G(_x - ) (3.52)

Аналогично поступим с формулами (3.47) и (3.48), что приведет к результату:

_y - = 2G(_y - ) (3.53)

_z - = 2G(_z - ) (3.54)

Совокупность соотношений (3.52)-(3.54), (3.43) и (3.45) можно записать в виде одного тензорного равенства:

= 2G(3.55)

что означает равенство девиаторов напряжений и деформации:

D_н = 2G D_д (3.56)

Это соотношение и представляет собой обобщенный закон Гука, который гласит: девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформаций.

Выражения (3.55), а также (3.56) носят название закона изменения формы, в то время как соотношения (3.50), а также (3.51) - закона изменения объема.

3.7. Упруго-пластические деформации твердых тел. Ползучесть. Релаксация напряжений.

В природе существует много веществ и материалов, обладающих свойствами и пластичности и ползучести.

Пластичностью называют способность тел сохранять остаточные деформации после снятия нагрузок.

Ползучестью называют способность тел изменять свои размеры под действием нагрузок с течением времени.

Свойствами пластичности и ползучести обладают органические и неорганические соединения и материалы на их основе: высокомолекулярные соединения, пластмассы, резины, стекла, керамики, бетоны и др. В особенности указанные свойства проявляются при нагреве. Свойством ползучести обладают и металлы, в особенности цветные, при действии высоких температур (так называемое явление "крипа"). Например, развитие деформаций лопаток авиационных турбин в потоке нагретого газа существенно ограничивает срок службы авиационных двигателей. Свойство пластичности широко используют при формовании различных изделий из металла, керамики и пластмасс (штамповка, вакуум-формование и т.п.). Одним из проявлений ползучести является релаксация напряжений, которая выражается в постепенном уменьшении напряжений в среде при заданной деформации с течением времени. Примером могут служить различного рода прокладки, усилие затяга которых постепенно ослабевает, что может привести к разгерметизации соединений.

В механике сплошных сред обычно не рассматривают физическую природу ползучести и пластичности, а решают проблемы описания этих свойств методами математического моделирования. В основе такого описания лежат рассмотренные выше математические модели твердых (упругих) тел и вязких сред (жидкостей). Такой математизированный подход, называемый феноменологическим, положен в основу теории пластичности и теории ползучести. Если остаточные деформации невелики, и постепенно восстанавливаются первоначальные размеры тела после полного снятия нагрузки, то такие деформации называют вязко-упругими. Теория вязко-упругости, как и теория пластичности и ползучести, ставит задачей описание свойств материалов и изделий из них под действием заданных нагрузок, которые в общем случае могут зависеть от времени. Все указанные теории являются важными разделами, составляющими механику сплошных сред.

Для определения упругопластичных свойств материалов, характеристик ползучести и релаксации напряжений проводят соответствующие механические испытания. Рассмотрим далее принцип проведения испытаний образцов материалов на ползучесть.

Схема испытания на ползучесть представлена на рис.3.14.

Образец рабочей длины L укрепляется в двух зажимах и подвешивается к неподвижной опоре. К нижнему зажиму подвешивается груз Р. Деформации образца регистрируют специальным прибором, если увеличение размеров образца невелико и неразличимо для глаза. Если деформации достаточно велики, что часто бывает при значительных размерах образца и повышенных температурах, увеличение длины образца L можно регистрировать обычной мерной линейкой с миллиметровой шкалой. Под действием груза Р в поперечном сечении образца возникают напряжения ,  = Р/А, где А - площадь поперечного сечения образца.

Площадь поперечного сечения образца не постоянна во времени ввиду увеличения размера в вертикальном направлении. Если изменение площади А сравнительно невелико, например, доли процента, таким изменением можно пренебречь и считать напряжение постоянным в течение всего времени испытаний. Если возникает задача учета изменения площади поперечного сечения, которое приводит к росту напряжения в ходе испытания, пользуются различного рода устройствами, позволяющими соответственно уменьшению площади поперечного сечения снижать нагрузку Р. Простейшим приспособлением для такой цели служит "улитка" Журкова, названная по имени ее изобретателя С.Н. Журкова. Схема соответствующего испытания представлена на рис.3.15. По мере увеличения длины образца происходит поворот "улитки" с уменьшением плеча действующей силы, передаваемой тросом, скрепленным с грузом Р. При этом продольная сила в образце уменьшается.

Имеются и другие способы снижения нагрузки во время испытаний в соответствии с уменьшением площади поперечного сечения образца.

В результате проведения испытаний на ползучесть получают так называемые кривые ползучести исследуемого материала. Две типичные кривые ползучести при двух уровнях нагружения представлены на рис.3.16. При небольших нагрузках кривая ползучести постепенно выходит на установившееся постоянное значение относительной деформации _ = L/L. При достаточно больших напряжениях выхода на горизонтальный участок может и не быть, деформация все время возрастает вплоть до разрыва образца в конечной точке диаграммы, отмеченной крестиком. Время до разрушения образца при данном напряжении называют долговечностью материала.

Графики результатов испытаний на ползучесть - кривые ползучести имеют следующие характерные точки и участки. Зарегистрированная сразу после нагружения образцов величина деформации и соответствующая ей величина относительной деформации условно называются "мгновенной" или "условно мгновенной". Из названия следует, что такая характеристика не имеет определенного физического смысла, так как несмотря на кратковременность процесса нагружения, он имеет вполне определенную продолжительность; обычно во избежание рывков и перегрузок этот процесс продолжается 0,1-1 с, что значительно меньше полного времени испытаний на ползучесть (минуты, десятки минут, часы и десятки часов).

Величина условно мгновенной деформации после нагружения складывается из упругой деформации (определяемой по закону Гука), и деформации ползучести, накопленной во время нагружения. Последняя составляющая может быть довольно значительна из-за высоких скоростей деформирования при нагружении

После участка нагружения кривая ползучести становится пологой и характеризуется уменьшением скорости деформирования (тангенса угла наклона касательной) по времени. При малых напряжениях кривая ползучести, называемая кривой прямого последействия, выходит на горизонтальный участок, ордината которого _, характеризует равновесную деформацию материала в данных условиях нагружения. Если в некоторый момент времени t₁ снять нагрузку, образец начинает восстанавливать свои размеры и на графике получают так называемую кривую обратного последействия. При полном восстановлении размеров образца кривая обратного последействия стремится к нулевому значению. В особенности сильно выражено прямое и обратное последействие в полимерных материалах, в которых величины деформаций могут составлять десятки процентов за счет распрямления макромолекул, свернутых в равновесном состоянии в клубки - глобулы. Кривая обратного последействия может не достигнуть нулевого значения деформаций, как показано на рис.3.16. В этом случае образец не восстанавливает свои размеры полностью, и имеет место остаточная деформация _т, которая обусловлена наличием пластических деформаций текучести. На рис. 3.16 такая деформация обозначена через _т. Деформация текучести накапливается в течение всего времени нагружения (штриховая линия с небольшим наклоном, начинающаяся от нуля на рис.3.16) Для того, чтобы установить точно, не является ли остаточная деформация просто частью нереализованного обратного последействия, образец можно слегка нагреть. Если обратное последействие в опыте не завершилось, график кривой опустится до нуля, если обратное последействие в опыте полностью завершилось, деформация сохранит свое значение (температура ускоряет все процессы ползучести). Таким образом, полная деформация образца при испытаниях на ползучесть складывается из трех составляющих: условно мгновенной, обратимой деформации прямого последействия и деформации текучести. Применительно к полимерным материалам первые две составляющие имеют простой физический смысл: мгновенная упругая составляющая соответствует деформации валентных связей в цепочках макромолекул, деформация, развивающаяся во времени с убывающей скоростью - высоко эластическая деформация _вэ. Тогда полную деформацию можно представить как

 = _у + _т + _вэ

Если при испытаниях на ползучесть ординаты точек кривых ползучести прямо пропорциональны величинам действующих напряжений ₂ =2₁, ₂ =2₁ результаты испытаний могут быть обработаны с помощью так называемой теории линейной вязкоупругости. В противном случае результаты обсуждаются в более сложной в математическом плане теории нелинейной вязкоупругости. Ниже будут рассмотрены основы теории линейной вязкоупругости, которая во многих случаях дает результаты вполне пригодные для использования на практике.

Испытания на релаксацию напряжений производят с помощью специальных приборов - релаксометров, имеющих довольно сложное устройство, которое обеспечивает поддержание в образце постоянных заданных деформаций и позволяет регистрировать изменение напряжений в материалах образца. Получаемая с помощью таких приборов зависимость напряжения в образце от времени испытания носит название кривой релаксации. Характерная кривая релаксации представлена на рис.3.17.

Продолжительность испытаний на релаксацию напряжений, так же как и испытаний на ползучесть, может составлять много десятков часов, по истечении которых график либо выходит на ноль (2), либо стремится к равновесному напряжению _ (1), рис.3.17.