МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Д.И .МЕНДЕЛЕЕВА

Е.С. Соколов - Бородкин, О.Ф. Шлёнский, Н.Б. Щербак

Меxahиka сплошных сред

Учебное пособие

Москва 2000

Е.С. Соколов - Бородкин, О.Ф. Шлёнский, Н.Б. Щербак Механика сплошных сред - учебное пособие, М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2000 - с., ил.

Пособие предназначено для студентов, чьи специальности связаны с изучением свойств вязкоупругих материалов и реальных жидкостей, состоит из трёх глав, включающих степенную жидкость, элементы теории упругости, основы сложного напряжённого состояния, ползучесть и релаксацию напряжении, модели вязкоупругих сред

Рецензенты: проф., д.т.н. М.А.Шерышев /РХТУ/

Российский химико-технологический университет

им. Д.И. Менделеева

2000

Глава I. Основные понятия и законы механики сплошных сред

1.1. Основные понятия

Сплошная среда. Все материальные тела, независимо от их агрегатного состояния: твердого (кристаллического или аморфного), жидкого или газообразного, обладает внутренней молекулярной (атомной) структурой с характерным внутренним тепловым, микроскопическим .движением молекул, являвшимся причиной наблюдаемых на практике макроскопических процессов. В отличие от кинетической теории вещества механика сплошных сред занимается только этой макроскопической моделью, представляющей твердые тела, жидкости и газы как некоторую сплошную среду о непрерывным (строго говоря, кусочно-непрерывным) распределением физических величии, определяющих ее движение и состояние (плотность, давление, напряжение и т.д.).

Применительно к среде в целом и к отдельным ее частям постулируется возможность применения общих законов механики дискретной системы материальных точек: сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии. В связи с этим вводится понятие физически малого объема, т.е. такого объема, который мал по сравнение с размерами рассматриваемой сплошной среды, но тем не менее настолько велик, что остается макроскопическим, для которого несущественны микроскопические движения отдельно взятых молекул. Всюду, где речь будет идти о "частицах" сплошной среды, под ними подразумевается именно такой физически малый объем, состоящий из очень большого числа молекул.

Жидкость и твердое тело. Для агрегатного состояния, называемого жидкостью, характерно сочетание черт твердого состояния (сохранение объема, определенная прочность на разрыв) и газообразного изменчивость формы). Для твердого тела характерна стабильность формы. Следует отметить, что агрегатные состояния при различных воздействиях (изменение температуры, приложение механических нагрузок, давления и т.п.) переходят одно в другое.

Плотность. Сжимаемая и несжимаемая жидкости. Масса единицы объема называется плотностью

 = m/V (1.1)

где m - масса, V - объем. Единица измерения кг/м³.

Плотность может меняться от точки к точке в данной сплошной среде, а также в каждой точке с течением времени под действием различных факторов (давление, температура и т.п.). Многие жидкости являются несжимаемыми. т.е. не меняют плотности под действием каких-либо факторов.

Давление, жидкость оказывает давление на дно и стенки сосуда, в котором она находится (таким сосудом может быть и стакан, и труба, и дно и берега реки или моря) и на поверхность любого погруженного в нее тела. Выделим внутри объема покоящейся жидкости элементарную площадку площадью А (рис. I.I). Независимо от ориентации площадки жидкость будет давить на ее противоположные поверхности с силой, равной F, направленной по нормали к площадке. Ее называют силой гидростатического давления. Отношение F/А представляет собой среднее гидростатическое давление, а предел

Р = F/А (1.2)

Сила давления в покоящейся жидкости не имеет касательной составляющей к любой выделенной плоскости, иначе было бы перемещение слоев жидкости. Отсутствием перемещения жидкости внутри занимаемого объема объясняется тот факт, что давление в любой точке одинаково по всем направлениям (при этом оно, разумеется, может быть разным в различных точках).

Напряжение (механическое). В деформируемом теле под влиянием внешних воздействий возникают внутренние силы. Если мысленно разрезать тело на две части и рассмотреть равновесие одной из них, то внутренние силы, действующие в сечении, должны уравновесить внешние нагрузки (рис.1.2). Выделим в сечении элементарную площадку А. При деформации твердых тел сила, действующая на единицу поверхности, не перпендикулярна к ней. Разложим внутреннюю силу F на две составляющие: N - вдоль нормали и Q - в плоскости сечения. Отношения N/А и Q/А называются соответственно средним нормальным и средним касательным напряжениями, а пределы

 = N/А и  = Q/А (1.3)

нормальным и касательным напряжениями в данной точке.

Рис.1.2

Вязкость. Реальная и идеальная жидкости.

При движении жидкости в ней возникают силы внутреннего трения, оказывающие сопротивление движению. Эти силы действуют между соседними слоями жидкости, перемещающимися друг относительно друга. Свойство жидкости оказывать сопротивление усилиям, вызывающим, относительное перемещение ее частиц, называется вязкостью.

Опыт показывает, что касательная сила Q, которую нужно приложить для сдвига слоев жидкости тем больше, чем больше градиент (приращение на единицу расстояния между слоями) скорости dv/dz, а также площадь соприкосновения слоев А (рис.1.3). Коэффициент пропорциональности  называется динамической вязкостью или просто вязкостью. Следовательно можно записать:

Q =  A dv/dz

Далее, поскольку напряжение сдвига (касательное) равно  = Q/A , получим выражение:

 = -  dv/dz (1.4)

Это соотношение выражает закон внутреннего трения Ньютона, согласно которому напряжение внутреннего трения, возникающее между слоями жидкости при ее течении, прямо пропорционально градиенту скорости. (Знак минус указывает на то, что касательное напряжение тормозит слой, движущийся с относительно большей скоростью.) Жидкости, подчиняющиеся этому закону, называются ньютоновскими (вода), для неньютоновских жидкостей тоже формально можно записать выражение (1.4). В этом случае величина  не будет постоянной и называется эффективной вязкостью.

Единица измерения вязкости Н с/м², иногда вязкость измеряют в пуазах (Пз): 1 Н с/м² = 1 Па с = 10 Пз.

Встречается величина, называемая кинематической вязкостью: = /. Единица измерения: I м²/с = 10⁴ Ст (стокс).

Вязкость жидкостей колеблется в широких пределах. Жидкости, у которых вязкость отсутствует, называются идеальными, в противоположность реальным (вязким) жидкостям.

Расход жидкости и средняя скорость.

Количество жидкости, протекающее через поперечное сечение потока в единицу времени, называется расходом жидкости. Различают объемный расход, измеряемый в м³/с

Q = (1.6)

где v_n - составляющая скорости, перпендикулярная поперечному сечению, и интеграл берется по всей площади поперечного сечения А.

Массовый расход, измеряемый в кг/с, определяется формулой:

М = (1.7)

В разных точках поперечного сечения потока скорость частиц жидкости неодинакова. Например, при течении жидкости в трубе скорость уменьшается по мере приближения к стенкам. Во многих случаях закон распределения скоростей в поперечном сечении потока неизвестен или его трудно учесть. Поэтому в расчетах вместо истинных скоростей часто используют понятиесредней скорости,определяемой как отношение расхода к площади поперечного сечения потока.

1.2. Уравнение непрерывности.

Установим общую зависимость между скоростями в потоке жидкости, для которого соблюдается условие сплошности (неразрывности) движения, т.е. не образуется пустот, не заполненных жидкостью. Уравнение, которое мы получим, выражает закон сохранения вещества для движущейся жидкости.

Выделим внутри потока элементарный параллелепипед объемом dV = dxdydz (рис.1.5), ребра которого ориентированы параллельно осям координат. Количество жидкости, которое входит в параллелепипед через задний грань за время dt, равно массовому расходу через эту грань, умноженному на dt:

М_xdt = v_xdydzdt

Через передние грань вдоль оси x выходит количество жидкости, определяемое массовым расходом M_x+dx, который получил приращение за счет приращения величины v_x :

М_x+dxdt = [v_x + dx]dydzdt

Изменение массы жидкости в параллелепипеде за счет движения по оси x равно:

dm_x = М_xdt - М_x+dxdt = - dxdydzdt (1.15)

Аналогично получаем изменение массы за счет движения по осям y и z:

dm_y = - dxdydzdt (1.16)

dm_z = - dxdydzdt (1.17)

Общее накопление массы в параллелепипеде равно сумме приращений по всем координатам:

dm = - [ + + ]dxdydzdt (1.18)

С другой стороны изменение массы может произойти только вследствие изменения плотности жидкости в данном объеме:

dm = dt dxdydz (1.19)

Приравнивая выражения (1.18) и (1.19), перенося все слагаемые в одну часть уравнения и сокращая дифференциалы, получим:

+ + + = 0 (1.20)

Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение непрерывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. Его можно записать, используя оператор дивергенции:

+ div(v) = 0 (1.21)

В стационарном потоке = 0 , и уравнение непрерывности примет вид:

div(v) = + + = 0 (1.22)

Если жидкость к тому же и несжимаема, т.е.  = const, то плотность может быть вынесена из-под знаков производных, и на нее можно сократить:

div(v) = + + = 0 (1.23)

Для того, чтобы перейти от дифференциальных соотношений к уравнениям, описывающим движение сплошного установившегося потока жидкости по трубопроводу переменного сечения, проинтегрируем соотношение (1.22) по площади поперечного сечения A. Если поток движется вдоль оси x, то интегралы от второго и третьего слагаемых обратятся в ноль, и мы получим:

dA = v_x dA = = 0 (1.24)

где M - массовый расход жидкости через поперечное сечение, определяемый формулой (1.7). Таким образом, для стационарной жидкости интегральное уравнение непрерывности представляет собой закон постоянства расхода M=const, вытекающий из (1.24). Согласно этому закону при установившемся течении жидкости, полностью заполняющей трубопровод, через каждое его поперечное сечение в единицу времени протекает одно и то же количество жидкости.

Для несжимаемых жидкостей =const , и мы получаем закон сохранения объемного расхода:

v_x dA = = 0; Q = A = const (1.25)

Из соотношения (1.25) следует, что для несжимаемых жидкостей средняя скорость потока обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубопровода:

₁/₂ = A₁/A₂ (1.26)

Массовый расход жидкости через начальное сечение трубопровода равен ее расходу через конечное сечение трубопровода. Следовательно закон постоянства расхода для стационарного движения является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока.

1.3. Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Как и при выводе уравнения непрерывности выделим в жидкости элементарный параллелепипед объемом dV = dxdydz (рис.1.6). На грани параллелепипеда действуют силы давления, равные произведении давления на площадь грани. При этом следует учесть что на противоположных гранях давление отличается на величину произведения частной производной и дифференциала соответствующей координаты, как показано на рисунке. Кроме того на параллелепипед могут действовать объемные силы, пропорциональные его массе

dm = dxdydz

Такими силами могут быть сила тяжести, сила вязкого трения, сила инерции и др. Выразим эти силы в виде произведения:

F = W dm (1.27)

где W имеет смысл некоего ускорения (например, для силы тяжести это ускорение свободного падения g)

Мы можем теперь написать уравнения движения элементарного параллелепипеда, приравняв произведение массы dm на ускорение, выражаемое субстанциальной производной , сумме сил давления и объемных сил, приложенных к параллелепипеду. В проекции на ось х будем иметь:

dxdydz = p dydz – (p + dx) dydz + W_xdxdydz (1.28)

После приведения подобных членов и сокращения дифференциалов получим:

= – + W_x (1.29)

Аналогично записываются выражения в проекциях на оси y и z

= – + W_y (1.30)

= – + W_z (1.31)

Выражения (1.29)-(1.31) могут быть заменены одним векторным равенством:

= – p + W (1.32)

Для идеальной жидкости в поле тяжести ускорением объемных сил является W = g, направленное против оси z , поэтому соотношения (1.29)-(1.31) запишутся в виде:

= – (1.33)

= – (1.34)

= – - g (1.35)

Система уравнений (1.33)-(1.35) представляет собой дифференциальные уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости. В векторной записи будем, иметь:

= – p +  g (1.36)

1.4. .Гидростатика

Для покоящейся жидкости субстанциальные производные от скорости равны нулю, и уравнения (1.29)-(1.31) имеют вид:

0 = – + W_x (1.37)

0 = – + W_y (1.38)

0 = – + W_z (1.39)

Умножим первое из этих уравнений на dx, второе - на dy и третье на dz и сложим, в результате получим:

-(dx +dy +dz)+(W_xdx + W_ydy + W_zdz) = 0 (1.40)

Первые три слагаемых в (1.40) представляют собой полный дифференциал давления dp, следовательно можно записать:

dp = (W_xdx + W_ydy + W_zdz) (1.41)

Положив в (1.41) dp = 0 (p=const), мы получим уравнение поверхности постоянного давления:

W_xdx + W_ydy + W_zdz = 0 (1.42)

которое в векторной записи имеет вид:

W dr = 0 (1.43)

где dr = (dx, dy, dz) - вектор, касательный к поверхности в данной точке. Таким образом, из (1.43) следует, что вектор W перпендикулярен к поверхности постоянного давления, так как равно нулю его скалярное произведение с касательным вектором. Объемная сила, действующая на жидкость, параллельна W (см.(1.27)), поэтому поверхность постоянного давления в покоящейся жидкости в каждой точке перпендикулярна действующей на жидкость объемной силе.

В качестве примера найдем поверхности постоянного давления в жидкости, находящейся в ускоряющейся цистерне (рис.1.7). Если ускорение цистерны равно a, то на каждую частицу жидкости массы dm, кроме направленной вертикально вниз силы тяжести gdm будет действовать сила инерции, по абсолютной величине равная adm и направленная в сторону, противоположную ускорению цистерны. В этом случае поверхностями постоянного давления будут плоскости, перпендикулярные равнодействующей указанных двух сил. Внешняя поверхность жидкости будет наклонена к горизонту под углом  = arctg(a/g).

Если жидкость находится только в поле сил тяжести с ускорением g, направленным против оси z, тогда из соотношений (1.37), (1.38) получим:

= = 0 (1.44)

что означает независимость давления от горизонтальных координат x и y, а из соотношения (1.39) - дифференциальное уравнение, определяющее зависимость давления от высоты (ось z направляем вертикально вверх):

0 = - - g (1.45)

Давление является функцией только одной переменной z, поэтому в (1.45) частная производная заменена на полную .

Для несжимаемой однородной жидкости плотность постоянна, и после домножения в (1.45) на dz все величины можно записать под одним дифференциалом:

d(p + gz) = 0 (1.46)

В результате интегрирования получил:

p + gz = const (1.47)

Для двух произвольных горизонтальных плоскостей I и 2 уравнение (1.47) выражают в форме:

p₁ + gz₁ = p₂ + gz₂ (1.48)

Разделив (1.48) на g, получим основное уравнение гидростатики:

z₁ + p₁/(g) = z₂ + p₂/(g) (1.49)

Величина z₁ (так же как и z₂) называется нивелирной высотой (рис.1.8), а p/(g) - статическим или пьезометрическим напором. Таким образом, согласно основному уравнению гидростатики для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и статического напора есть величина постоянная.

Нивелирная высота z равна потенциальной энергии положения mgz, деленной на вес жидкости mg, следовательно она представляет собой удельную потенциальную энергию положения. Статический напор также имеет размерность удельной энергии и выражает удельную потенциальную энергию давления. Сумма указанных энергий равна общей потенциальной энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Следовательно, основное уравнение гидростатики представляет собой частный случай закона сохранения энергии: удельная потенциальная энергия во всех точках покоящейся жидкости есть величина постоянная.

Из формулы (1.48) получим соотношение

p₂ = p₁ + gh (1.50)

которое показывает, что давление р₂ на глубине h = z₁ - z₂ равно сумме давления на поверхности жидкости р₁ и давления столба жидкости gh.

1.5. Уравнение Бернулли

Так же как в динамике материальных точек из дифференциальных уравнений .движения получается закон сохранения механической энергии так и в динамике жидкости из дифференциальных уравнений движения Эйлера получается закон сохранения, выражающий энергетический баланс стационарного потока, называемый уравнением Бернулли.

Умножим первое из уравнений Эйлера (1.33)-(1.35) на dx, второе на dy, третье на dz и сложим, при этом субстанциальные производные запишем в виде отношения обычных дифференциалов:

(dx+ dy+ dz) =- gdz -(dx + dy + dz) (1.51)

Учитывая далее, что v_x = , v_y = , v_z = и разделив наg, получим:

(v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z)/g = -dz - (dx + dy + dz)/(g) (1.52)

Заметим, что

d(v²/2) = d[(v_x² + v_y² + v_z²)/2] = v_xdv_x + v_ydv_y + v_zdv_z (1.53)

Кроме того, если .движение стационарно, то = 0 и p = p(x,y,z), при этом дифференциал давления запишется в виде:

dp = dx +dy +dz (1.54)

Подставив (1.53) и (1.54) в (1.52), получим достаточно компактное соотношение:

d(v²/2)/g = -dz – dp/(g) (1.55)

Если жидкость однородна и несжимаема, то  = const, и все величины можно внести под один дифференциал:

d[z + p/(g) + v²/(2g)] = 0 (1.56)

Откуда

z + p/(g) + v²/(2g) = const (1.57)

Уравнение для двух любых точек траектории частицы жидкости можно представить в виде:

z₁ + p₁/(g) + v₁²/(2g) = z₂ + p₂/(g) + v₂²/(2g) (1.58)

Уравнение (1.58) является уравнением Бернулли для идеальной

стационарной однородной и несжимаемой жидкости.

Кроме известных нам по основному уравнению гидростатики нивелирной высоте, которую называют еще геометрическим напором, и статическому напору в уравнение Бернулли входит еще слагаемое v²/(2g), называемое скоростным, или динамическим напором. Скоростной напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке.

Согласно уравнению Бернулли при стационарном движении идеальной однородной и несжимаемой жидкости сумма скоростного и статического напоров, а также нивелирной высоты, называемая полным гидродинамическим напором, не меняется вдоль траектории движения частицы жидкости.

Далее из уравнения Бернулли в соответствии с энергетическим смыслом его членов следует, что ври установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной z + p/(g) и кинетической энергии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при сужении трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии переходит в потенциальную, но общее количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода равно количеству энергии, удаляющейся о потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Отметим, что для покоящейся жидкости рассматриваемое уравнение переходит в основное уравнение гидростатики (1.49), а в случае горизонтально расположенного трубопровода z₁ = z₂, и мы получим:

p₁/(g) + v₁²/(2g) = p₂/(g) + v₂²/(2g) (1.59)

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом ее движения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопротивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидравлического сопротивления должна расходоваться некоторая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода непрерывно уменьшается вследствие потерь на трение и безвозвратно рассеивается в виде тепла в окружающую среду. Другими словами, уменьшается полный гидродинамический напор, и в уравнение Бернулли для реальных жидкостей следует ввести член, описывающий потерю напора h_п:

z₁ + p₁/(g) + v₁²/(2g) = z₂ + p₂/(g) + v₂²/(2g) + h_п (1.60)

В качестве примера применения уравнения Бернулли рассмотрим истечение жидкости через отверстие открытого сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень h жидкости (рис.1.9). Будем считать жидкость идеальной, однородной и несжимаемой. Поскольку поддерживается постоянный уровень, движение жидкости будет стационарные, и можно применить уравнение Бернулли. На поверхности жидкости скорость равна нулю (v₁ = 0). Для открытого сосуда p₁ = p₂. Разность нивелирных высот равна h: z₁–z₂ = h. С учетом этих данных из уравнения Бернулли (1.58) получим:

h = v₂²/(2g) (1.61)

Отсюда скорость истечения жидкости из отверстия равна:

v₂ = (1.62)

Эта скорость тем больше, чем выше уровень жидкости в сосуде. Отметим, что формула (1.62) справедлива как для истечения из отверстия в днище, так и из отверстия в стенке. В последнем случае под h следует понимать глубину положения отверстия.