Необходимые сведения из элементарной теории чисел

1. Простым числом называется натуральное число, имеющее только два неравных натуральных делителя.

2. Каждое натуральное число единственным образом, с точностью до порядка записи сомножителей, представляется в виде произведения степеней простых чисел.

3. Наибольшим общим делителем двух целых чисел НОД(a,b) (или (a,b)) называется наибольшее целое, на которое без остатка делится как a, так и b.

4. Пусть a > b и d = (a,b). Тогда существуют целые x и у, являющиеся решением уравнения xa + yb = d. Если d = 1, то a и b называются взаимно простыми.

5. Наибольший общий делитель двух чисел можно найти с помощью алгоритма Эвклида. Для этого a делится с остатком на b, т.е. а = q₁b + r₁. Далее вместо a и b, рассматриваем соответственно b и r₁: b = q₂r₁+ r₂. На следующем шаге роль b и r₁, играют r₁ и r₂: r₁ = q₃r₂ + r₃ и т.д. Процесс заканчивается на некотором шаге k+1, для которого r_k+1= 0. Тогда НОД(a,b) = r_k. Рассмотрим пример.

Найти НОД(1547, 560) 1547 = 2 ^х 560 + 427 560 = 1 ^х 427 + 133 427 = 3 ^х 133 + 28 133 = 4 ^х 28 + 21 28 = 1 ^х 21 + 7 21 = 3 ^х 7 + 0 НОД(1547,560)=7

6. Для решения уравнения xa + yb = d можно использовать данные, полученные в каждом шаге алгоритма Эвклида, двигаясь снизу вверх, с помощью выражения остатка через другие элементы, используемые в соответствующем шаге. Например, из r₂ = q₄r₃ + r₄ следует r₄ = r₂ +q₄r₃. В последнем равенстве r₃ можно заменить, исходя из соотношения r₁ = q₃r₂ + r₃, т.е. r₄ = r₂ – q₄(q₃r₂ – r₁). Поэтому r₄ = (1 – q₄q₃)r₂ + q₄r₁. Таким образом, мы выразили r₄ в виде целочисленной комбинации остатков с меньшими номерами, которые, в свою очередь, могут быть выражены аналогично. Продвигаясь “снизу вверх”, в конце концов, мы выразим r4 через исходные числа a и b. Если бы мы начали не с r₄, а с r_k, то получили бы r_k = xa + yb = d. Рассмотрим пример.

Решить 1547х + 560y = 7

7 = 28 – 1 ^х 21 = 28 – 1 ^х (133 — 4 ^х 28) = 5 ^х 28 - 1 ^х 1ЗЗ = = 5 ^х (427 - 3 ^х 133) — 1 ^х 13З = 5 ^х 427 – 16 ^х (560 - 1 ^х 427)=

= 21 ^х 427 - 16 ^х 560 = 21 ^х (1547 - 2 ^х 560) - 16 ^х 560 = = 21 ^х 547 - 58 ^х 560

Решение: x = 21, y = -58

7. Число a сравнимо с числом b по модулю n, если a – b делится на n. Запись данного утверждения имеет следующий вид: а = b(mod n). Наименьшее неотрицательное число а, такое, что а = A(mod n) называется вычетом числа A по модулю n. Если (a,n) = 1, то существует x, такое, что x = a^-1 (mod n).

Действительно, (a,n) = 1 = d = ax + ny, поэтому ax = 1(mod n). Такое число x называется обратным к а по модулю n и записывается в виде a^-1 (mod n).

8. Пусть функция (n), где n — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, меньших n, для которых (а,n)=1. Такая функция называется функцией Эйлера. Для чисел n вида n = (p_i — простое) функция Эйлера определяется как φ(n) = .

9. Теорема Эйлера. Пусть (а,n) = 1. Тогда a^φ(n) = 1(mod n).

Следствие. Если ed = 1(mod φ(n)) и (a, n) = 1, то (а^e)^d = а(mod n).

10. Для большинства вычетов по модулю n = pq показатель степени в соотношении a^φ(n) = 1(mod n) может быть уменьшен, но в этом случае он зависит от a. Наименьший показатель k(a), для которого a^k(a) = 1(mod n), называется порядком числа a по модулю n и обозначается как оrd_n(a). Для любого a значение оrd_n(a) является делителем значения функции Эйлера φ(n).