Операторный метод расчета переходных процессов

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом содержит следующие операции:

1. Рассчитать параметры цепи в установившихся режимах и в момент коммутации;

2. Составить характеристическое уравнение цепи и найти его корни;

3. Определить значение постоянной времени переходного процесса и его длительность;

4. Составить операторную схему замещения расчетной схемы;

5. Составить операторные уравнения искомого напряжения и тока;

6. Определить оригиналы операторных выражений напряжения и тока;

7. Построить графики переходного напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной p₁= + jω F(p), которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями, что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений.

Таблица 3.

Изображения типовых функций

Оригинал f(t)	А
Изображение   F(p)

Рис. 4. Правила замещения исходной схемы операторной

При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода их оригиналы. В качестве примера в табл. 3 приведены оригиналы и изображения некоторых популярных функций.

Некоторые правила составления операторных схем замещения и пример замещения исходной схемы ее операторным представлением приведены на рис. 4.

Рис 5. Исходная схема электрической цепи	Рис. 6. Операторное представление исходной схемы

Пример 1. Для схемы рис. 5 запишем операторное изображение токов для случая: u_C (0) = 0. Ток через источник постоянного напряжения равен

Тогда

и

.

 

Переход от изображений к оригиналам может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа

. На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями. В литературе по высшей математике имеется большое число таблиц соответствия изображений и оригиналов [6.7].

3. С использованием формулы разложения.

Пусть изображение F(p) искомой переменной определяется отношением двух полиномов

,

где m n.

Оригинал для этого выражения можно получить по формуле разложения

.

(3)

Если один из корней уравнения F₂(p)=0  равен нулю, т.е. F₂(p) = pF₃(p) , то уравнение (3) сводится к виду

.

При расчете переходного процесса на компьютере наиболее применим метод обратного преобразования Лапласа и расчет с применением формул разложения.

Более подробно методика классического и операторного расчета переходных процессов рассматривается в примерах, листинги MatchCad-программ которых приведены в приложении [5].