лекции сапр петраков / 6.Анализ чувствительности

Лекция 6

Анализ чувствительности.

Задача расчёта коэффициентов чувствительности выходных параметров схемы (логических уровней, статической помехозащищённости, времени задержки сигнала и т.д.) к изменению её входных параметров (т.е. параметров компонентов – сопротивлений, емкостей, обратных токов через p-n-переходы и т.д.) имеет большое значение для схемотехнического проектирования электронных схем.

Знание коэффициентов чувствительности,

во-первых, позволяет определить степень влияния параметров компонентов схемы на её выходные параметры, что важно для обоснованного задания требований к допустимому отклонению входных параметров от номинальных значений, а также для прогнозирования разброса выходных параметров,

во-вторых, оно необходимо при оптимизации электронных схем.

Первая задача решается в рамках статистического анализа. На основе анализа чувствительности выбираются внешние параметры, подверженные технологическому разбросу; которые имеют высокие коэффициенты чувствительности.

Далее производится многовариантный анализ, учитывающий технологический разброс этих параметров в соответствии с заданным законом распределения. Наиболее популярны следующие методы статистического анализа:

1. Метод наихудшего случая:

В этом методе считается, что каждый из выбранных изменяемых параметров отклоняется на максимально допустимое значение. При этом отклонение выходных параметров определяется как сумма модулей отклонений по каждому из параметров. Данные метод обеспечивает стопроцентный выход годных изделий, что является его достоинством. Основной недостаток метода заключается в том, что метод предъявляет очень жесткие требования к точности изготовления элементов.

2. Метод Монте-Карло:

В этом методе задаются случайные отклонения внешних параметров от номинальных значений (генератор случайных чисел).

Анализ чувствительности при поиске критерия оптимизации.

Задача детерминированной оптимизации электронных схем обычно сводится к задаче поиска экстремума критерия оптимизации, который определяется как функция выходных параметров (электрических характеристик) схем:

Ф = Ф[φ(P)], (1)

где φ = ( φ₁ , φ₂ , …, φ_m)^Т – вектор-столбец выходных параметров схемы ( Т – знак транспонирования ); Р = (Р₁ , Р₂ , …, Р_n ) – вектор-строка входных параметров схемы; Ф – критерий оптимизации; m и n – соответственно число выходных и входных параметров.

Примером задачи оптимизации может служить поиск сопротивления R_н, обеспечивающего максимальную мощность, выделяемую на нем. (схема рис.1)

Рис. 1. Схема примера оптимизации.

Для данного примера целевая функция Ф_max(Rн) =

Большинство используемых методов поиска экстремума основано на вычислении на каждом шаге градиента функции Ф[φ(P)]. Обычно известна аналитическая зависимость критерия оптимизации от выходных параметров схемы. Поэтому градиент функции (1) может быть записан в виде

(2)

Запись вида , где А и В – векторы, содержащие N_A и N_B элементов соответственно, означает матрицу из N_A строк и N_B столбцов.

Компоненты вектора вычисляются по аналитическим зависимостям как функции выходных параметров. Таким образом, расчёт градиента функции Ф(P) сводится к определению матрицы коэффициентов чувствительности выходных параметров схемы к изменению входных параметров.

Метод приращений

Для вычисления коэффициентов чувствительности может быть использован метод приращений. По этому методу коэффициент чувствительности j-го выходного параметра к изменению i-го входного параметра определяется по формуле:

(3)

На практике исходная электрическая схема заменяется эквивалентной схемой для приращений.

Пример построения эквивалентной схемы в приращениях для проводимости.

Электрическая схема.

По закону Ома: .

Пусть параметр Y получает приращение:

По закону Ома: ,

Считаем, что (второй порядок малости).

Следовательно . (4)

Эквивалентный элемент проводимости в приращениях будет выглядеть следующим образом:

Достоинства метода приращений заключается в простоте реализации и возможности определения коэффициентов чувствительности любых выходных параметров схемы.

Однако метод имеет и ряд существенных недостатков. Во-первых, коэффициенты чувствительности определяются со значительной ошибкой, так как функции φ(Р), как правило, нелинейные. Во-вторых, для вычисления коэффициентов чувствительности по m входным параметрам требуется (m+1) раз рассчитывать схему для нахождения соответствующих выходных параметров, что связано со значительными затратами машинного времени. Затраты времени особенно велики при расчёте коэффициентов чувствительности динамических параметров схемы, для определения которых необходимо численное интегрирование системы дифференциальных уравнений.

Большие затраты машинного времени для расчёта градиента функции оптимизации препятствуют оптимизации сложных электронных схем при большой размерности пространства входных параметров.

Метод присоединенной цепи

Метод позволяет анализировать как линейные так нелинейные схемы, содержащие компоненты всех известных типов. При этом для определения чувствительности нужно использовать результаты расчета двух схем – исходной и специальной вспомогательной – присоединенной. Присоединенная схема строится по формальным правилам путем некоторых преобразований элементов исходной схемы, т.е. основным требование для присоединенной схемы является идентичность топологии с исходной.

В общем случае для получения присоединенной схемы необходимо закоротить все источники напряжения, на выходе схемы подключить единичный источник тока, использовать специальные модели, заменяющие нелинейные элементы. При этом чувствительность выходного напряжения вычисляется на основании расчета статического режима исходной и присоединенной схемы. Анализ динамических коэффициентов чувствительности основан на анализе статических коэффициентов чувствительности для каждого шага интегрирования.

В основе подхода лежит теорема Телегена (Теллиджена). Теорема утверждает, что если - напряжение ветвей схемы А, а - токи ветвей схемы А, то

(5)

в любой момент времени.

Эта формула выражает закон сохранения энергии в любой момент времени. Исходя из теоремы Теллиджена можно сделать следующие утверждения.

Схема А' называется присоединенной к схеме А, если она имеет идентичную топологию. При построении присоединенной цепи требуется соблюдать некоторые дополнительные условия.

Пусть - напряжение ветвей схемы А', а - токи ветвей схемы А' (где А' присоединенная схема),

Пусть - напряжения ветвей схемы А и - для схемы A

то справедливо такие выражения

(6)

(7)

Рассмотрим определенный коэффициент чувствительности для резистивной схемы.

Рис. 1.Схема А

На рисунке к выходу схемы подключен дополнительный источник тока (его сопротивление = ) не влияющий на работу схемы, но обеспечивающий удобство дальнейших преобразований.

Рассмотрим вторую схему А', топологически идентичную первой

Рис. 2. Схема А'

Компонентное уравнение для n-й ветви

(8)

Выражение для приращений

(9)

Применяя вышеприведенные формулы можно получить

(10)

здесь - чувствительность выходного напряжения по элементу .

i_l, i'_l - токи l-ных элементов исходной и присоединенной схем

Достоинство метода в том, что для получения коэффициентов чувствительности по всем элементам l необходимо промоделировать две схемы - А и А'.

Недостаток метода – расчет проводится только для одного выхода.

Метод дифференцирования уравнений

Представим ММ в виде:

(11)

где - вектор-столбец узловых потенциалов, - вектор-строка источников напряжения, - вектор-строка параметров компонентов схемы

Если φ* - решение уравнения (11), то справедлива система тождеств:

(12)

Продифференцировав (12) по параметрам p, получим:

(13)

(14)

Матрица коэффициентов чувствительности узловых потенциалов по параметрам, вычисляется по формуле (14)

(15)

(14) и (15) – основа для расчета коэффициентов чувствительности методом дифференцирования уравнений.