Лекция 3 Алгоритмы решения математической модели бис по постоянному току

Существует несколько способов решения задачи анализа по постоянному току:

Первый способзаключается врешении систем уравнений вида:

F (x) = 0 , (1)

либо Ax = B (как частный случай).

Второй способ-анализ «статики через динамику».

Подход основан на представлении источников постоянного напряжения или тока импульсами бесконечно большой длительности и анализе переходных процессов в схеме при воздействии на схему данных импульсов.

Математическая модель при этом имеет вид:

(2)

с дополнительным условием:

= 0 при t → ∞

Преимущество этого подхода заключается в том, что при получении решения на каждом шаге численного интегрирования неявным методом (например, неявным методом Эйлера), как правило, удается подобрать достаточно хорошие начальные приближения.

Третий способ заключается в том, что осуществляетсяпоиск экстремума

некоторой функции Ф (x), где - искомое решение.

Проиллюстрируем третий способ на примере поиска решения для схемы, представленной на рис. 1.

E Y1

1

Y2

Рис. 1. Принципиальная электрическая схема.

В узле 1 выполняется равенство:

I₁(φ) - I₂(φ) = 0 (3)

Если взять модуль выражения (3), то можно видеть, что в точке решения будет минимум функции:

Ф (х) = | I₁(φ) - I₂(φ) |=0. (4)

Графически это можно представить в следующем виде (рис. 2)

I I2

I1

φ

Рис. 2 Иллюстрация третьего способа

Очевидно, что первый и второй способы требуют решения систем линейных уравнений. Третий подход так же часто включает в себя решение таких систем. Рассмотрим некоторые алгоритмы решения СЛАУ.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Представим СЛАУ в виде

A=b, (5)

где А– заданная квадратная матрица порядкаn,b– заданный вектор-столбец сn-компонентами, – неизвестный вектор столбец сn-компонентами.

Выделим три подхода решения таких систем:

1. Точные методы. Применяется при решении СЛАУ небольшой размерности.

2. Итерационные методы. Применяется при решении СЛАУ средней размерности.

3. Вероятностные методы. Применяется при решении СЛАУ большой размерности.

Рассмотрим один из точных методоврешения.

Метод решения относится к классу точных, если в предположении отсутствия ошибок округления он дает точное решение задачи после конечного числа арифметических и логических операций.

Недостатком точных методов является большое число арифметических операций.

Если число ненулевых элементов матрицы размерностью nимеет порядокn² , т. е. матрица неразреженная, то для современных методов число необходимых операций при решении СЛАУ будет порядкаn³ .

Часто для решения систем линейных уравнений используется метод Гаусса, иначе называемый методом последовательного исключения неизвестных.