Влияние скин - эффекта на распределение электромагнитного поля в пластине

После введения в зазор полупроводниковой пластины, вследствие непрерывности вектора магнитной индукции, его среднее значение (формула (3)) в пластине останется таким же, как в зазоре без пластины. Тангенциальные составляющие электрического поля также непрерывны на поверхности пластины. Однако, формулы (5) перестают быть справедливыми для описания распределения электрического поля внутри пластины. Они не учитывает влияние скин-эффекта, который заключается в том, что глубина проникновения переменного электромагнитного поля в пластину зависит от её проводимости, магнитной проницаемости и частоты приложенного поля.

Для описания скин-эффекта обратимся к уравнениям Максвелла (1). В первом уравнении можно пренебречь токами смещения в полупроводнике по сравнению с токами проводимости, т.е. написать

.

С помощью этого уравнения можно исключить вектор из второго уравнения Максвелла (1)

.

В левой части воспользуемся тождеством

и учтем, что, согласно (5), .

В результате получим уравнение

. (6)

Если пластина не обладает магнитными свойствами, то в уравнении (6) нужно считать . Напряженность электрического полязависит от времени как, поэтому уравнение (6) удобно записать в виде

(7)

где

(8)

- глубина скин-слоя.

Найдем решение уравнения (7) с вектором в плоскости пластины

,

причем, в силу непрерывности электрического поля на поверхности пластины, зависимость и от переменных ибыть такой же, как в формулах (5).Для электрического поля, которое проникает в пластину снизу, решение (6) имеет вид

. (9)

Решение для поля, которое проникает в пластину сверху,

(10)

Выражение (9) при и выражение (10) придолжны быть равны напряженности электрического поля в зазоре (5), поэтому

(11)

Преобразуем выражения для эспонент в (9) и (10), например,

и перепишем (9) и (10) в виде

. (12)

(13)

Из формул (12) и (13) становится ясен смысл глубины скин-слоя: - это глубина, на которой электрическое поле, проникающее в пластину, убывает в раз.

Для расчета джоулевых потерь в зазоре с пластиной нужно проинтегрировать величину джоулевых потерь в единице объёма пластины - по объему той части пластины, которая находится в зазоре.

(14)

В формуле (14) суммируются поля, проникающие в пластину снизу и сверху, множитель появляется в результате усреднения мощности джоулевых потерь за период. Интегрируя сумму квадратов модулей выражений (12) и (13), найдём среднюю за период мощность джоулевых потерь

(15)

где

- функция относительных геометрических размеров тороида и зазора.

Расчет потока вектора Умова-Пойтинга

Оценим величину мощности потерь электромагнитной энергии, вытекающей через боковую поверхность той части объема пластины, которая находится внутри зазора.

Вектор Умова - Пойтинга параллелен плоскости пластины, поэтому

Найдём сначала поток этого вектора через боковые грани, перпендикулярные оси (Рис.2)

Рис.2. К расчёту потока энергии через боковую поверхность той части объёма пластины, который находится внутри зазора.

(16)

Как и раньше, множитель соответствует средней мощности потерь за период.

Электромагнитное поле на поверхности

(17)

На поверхности

(18)

Используя выражения (17) и (18) в подынтегральном выражении (17) и учитывая направления внешних нормалей к поверхностям и , в результате интегрирования получим

, (19)

где - средний радиус тороида. Результат (19) следует удвоить за счет электромагнитной энергии, поступающей в пластину сверху.

Аналогично вычислим поток вектора-Пойтинга через боковые грани, перпендикулярные оси , На поверхности()

(20)

Очевидно, на поверхности

(21)

Из соображений симметрии потоки вектора-Пойтинга через поверхности иравны. Суммарный поток через эти поверхности равен

. (22)

Этот результат следует удвоить, учитывая электромагнитную энергию, поступающую в пластину сверху.

Полная средняя мощность , теряемая в той части объёма пластины, которая находится вне зазора, оказывается равной

(23)

Сравнивая формулу (23) с (15), оценим, какую часть эта энергия составляет от энергии джоулевых потерь внутри зазора

(24)

В случае сильного скин-эффекта (- глубина скин-слояна много меньше толщины пластины и тем более) получим

(25)

Для слабого пьезоэффекта и тем более, разлагая в ряд экспоненту в формуле (24)

,

получим

(26)

Из формулы (25) следует, что в случае сильного скин-эффекта потерями в объёме пластины вне зазора, можно пренебречь. Наоборот, если скин-эффект отсутствует, то согласно формуле (26), в этот объём излучается энергия, которая на много больше энергии джоулевых потерь внутри зазора. Поэтому для пластин с малой проводимостью величина в (26) может соответствовать добротности, которая окажется больше добротности датчика без пластины, и её будет невозможно зафиксировать. Интервал измерений проводимости бесконтактным методом снизу не связан со скин-эффектом, он ограничен величиной добротности датчика без пластины. Сверху этот интервал ограничен скин-эффектом, когда для пластин с большой проводимостью в тонком скин-слое джоулевы потери оказываются также настолько малыми, что соответствующая им добротность меньше добротности датчика без пластины.