Задачи для самостоятельного решения

1. Дан правильный шестиугольник Точка– середина стороныВыразить векторчерез векторы

2. Точка – центр правильного шестиугольникаВыразить векторчерез векторы

3. В треугольнике Из точкиопущена высотаРазложить векторпо базису

4. В треугольнике проведены медианыипересекающиеся в точкеРазложить векторпо базису

5. В параллелограмме точка– середина стороныРазложить векторпо базису

6. Доказать, что в любой трапеции следующие 4 точки лежат на одной прямой: середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон.

7. Пусть – точка пересечения медиан треугольникаа– произвольная точка. Доказать, что

8. Пусть и– треугольники,и– точки пересечения медиан этих треугольников соответственно. Выразить векторчерез векторыи

9. Дан параллелепипед Разложить векторпо базису

Ответы: 1. 2.3.4.5.8.9.

§ 4. Операции над векторами в координатах

Пусть дана система координат на плоскости илив пространстве. Тогда всякую точку можно записать в виде(или), каждый вектор записывается аналогичным образом:(или). Следует иметь в виду, что записьэквивалентна записии аналогичноЗдесь– единичные векторы (орты), направленные по осям соответственно.

Операции над векторами пространства в координатной форме осуществляются следующим образом: если ито

(1)

(2)

Формула для скалярного произведения выглядит так:

(3)

Если и– точки пространства, то векторможет быть вычислен по формуле

(4)

Если – начало координат,– произвольная точка пространства, то

(5)

Этот вектор называется радиусом-вектором точки Таким образом, радиус-вектор точки имеет те же координаты, что и сама точка.

Длина вектора вычисляется по формуле

(6)

а расстояние между точками и(т.е. длина вектора) – по формуле

(7)

Формулы, аналогичные формулам (1)-(7), верны также для векторов плоскости.

Замечание. Формулы (1), (2), (4), (5) верны не только в прямоугольной, но также в произвольной косоугольной (или аффинной) системе координат, т.е. такой системы координат, в которой базисные векторы необязательно имеют единичную длину и углы между ними необязательно прямые. Формулы (3), (6), (7) справедливы лишь в прямоугольной системе координат.

Разберём несколько задач на данную тему.

Задача 1. Даны три вершины параллелограмма Найти четвёртую вершину

Решение (см. рис. 1).

Рис.1.

Найдём вектор Так как– параллелограмм, тоДалее поступим следующим образом. Для того, чтобы найти координаты точкидостаточно найти координаты её радиуса-векторагде– начало координат. Так кактоТаким образом,

Задача 2. Отрезок разделён точкойв отношении(см. рис. 2). Найти координаты точкисчитая известными координаты точеки

Рис.2.

Решение. По условию ПустьОбозначим черезначало координат. Тогда

Таким образом,

(8)

Замечания. 1. Аналогичная формула

справедлива для точек плоскости.

2. При мы получаем координаты середины отрезка

Задача 3. Пусть – точка пересечения медиан треугольникаЗная, чтонайти координаты вершины

Решение (см. рис. 3).

Рис.3.

Вычислим векторы и их длины:Мы видим, чтоСледовательно, точкаделит отрезокв отношенииПо формулемы теперь получаем:

Задача 5. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от точек и

Решение. Пусть – искомая точка. Тогдапри некоторомПо условиюПо формуле (7) получаем:Отсюдаа значит,Таким образом,

Решим теперь задачи с использованием скалярного произведения векторов.

Задача 6. Найти все векторы, перпендикулярные вектору Изобразить эти векторы на чертеже.

Решение (см. рис. 5).

Рис.5.

Пусть Запишем векторв координатном виде:Так как векторыиперпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю:т.е.Получаем:Очевидно,– любое действительное число. Значит, общий вид всех векторовтаков:гдет.е. это в точности те векторы, которые коллинеарны векторуРовно два из них не только перпендикулярны векторуно и имеют с ним одну и ту же длину. Этои

Замечание. В общем случае мы имеем: если то:

(9)

или (10)

Задача 7. Даны две смежные вершины квадрата: иНайти две другие вершины.

Решение. Обозначим квадрат через Мы можем считать, чтоПусть– начало координат. Имеем:Векторперпендикулярен векторуи имеет с ним одинаковую длину. Поэтому ввиду утверждения (10) получаем:или(см. рис. 6). Разберём оба этих случая.

Рис.6.

1-й случай: Тогдат.е.Далее,т.е.Мы получили квадрат

2-й случай: ТогдаТаким образом, мы нашли координаты вершин квадрата

Задача 8. Найти угол треугольникаесли

Решение. Угол – это угол между векторамииВычислим эти векторы:Отсюда

Следовательно,