Лабы линал / СРС / Глава3

Глава 3. Геометрические преобразования

Пусть дана прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые мы назовём задачами А и Б. Сформулируем эти задачи для случая плоскости, для пространства они формулируются аналогично.

Задача А. Пусть система координат изменилась (например, претерпела сдвиг или поворот на некоторый угол) и – новая система координат. Каждая точка имеет определённые координаты в старой (исходной) системе координат и какие-то координаты в новой системе координат Требуется найти связь между новыми и старыми координатами точки.

Задача Б. Пусть система координат неизменна, а сама плоскость преобразуется, т.е. точка переходит в точку Требуется установить связь между координатами и

В каждом случае надо чётко представлять себе, о какой задаче идёт речь. В задаче А надо найти связь между координатами и одной и той же точки в разных системах координат, а в задаче Б – связь между координатами произвольной точки и координатами её образа при данном преобразовании. В обеих задачах целью является получение формул, выражающих через а также обратных формул – через Позже средствами линейной алгебры эти задачи будут разбираться в более общей ситуации – для п-мерного пространства.

Параллельный перенос системы координат – преобразование, при котором начало координат переходит в точку а направления координатных осей сохраняются. Связь между старыми и новыми координатами произвольной точки (решение задачи А) даётся формулами

(1)

Аналогичные формулы справедливы для плоскости (см. рис. 1):

(2)

Рис.1.

Поворот осей координат вокруг начала координат на угол (решение задачи А) даётся формулами:

(3)

(см. рис. 2).

Рис.2.

Обратные формулы получаются заменой на

Приведём теперь формулы для задачи Б.

Параллельный перенос пространства на вектор задаётся формулами

(4)

Параллельный перенос плоскости (см. рис. 3) – формулами

(5)

Рис.3.

Поворот плоскости на угол вокруг начала координат – преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в такую точку что угол между векторами и равен (см. рис. 4).

Формулы поворота:

(6)

Примечание: здесь речь идёт о направленном угле, т.е. об угле от к

Поворот плоскости на угол вокруг точки

(7)

Симметрии плоскости (или пространства) – это такие преобразования плоскости (пространства), при которых каждая точка переходит в точку симметричную точке относительно точки, прямой или плоскости. Разумеется, это является задачей Б. Переход от системы координат к симметричной системе (задача А) встречается весьма редко и здесь рассматриваться не будет.

Формулы симметрии плоскости: а) симметрия относительно начала координат, б) относительно оси в) относительно точки г) относительно прямой

а) б) в) г)

формулы симметрии пространства: а) относительно начала координат, б) относительно оси в) относительно плоскости г) относительно плоскости

а) б) в) г)

Для симметрий относительно других осей координат (координатных плоскостей) и параллельных им прямых (соотв., плоскостей) формулы пишутся аналогичным образом. Приведём ещё формулу поворота пространства на угол вокруг оси

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) – преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в точку , расположенную симметрично относительно , т.е. и лежат по разные стороны от на одинаковом расстоянии от на одном перпендикуляре к .

Центральная симметрия (симметрия относительно точки ): если то Симметрия относительно точки – это поворот плоскости на угол вокруг точки .

Решим две задачи на преобразование координат.

Задача 1. Кривая задана уравнением Написать уравнение этой кривой в системе координат: (а) параллельно перенесённой на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз; (б) повёрнутой относительно начала координат на угол

Решение. (а) Используя формулы (2), получим: Напишем обратные формулы: Подставим в уравнение кривой: Это и будет уравнением кривой в новой системе координат.

Задача 2. Написать уравнение параболы в системе координат, повёрнутой на вокруг начала координат.

Решение. Взяв в формулах получим: Подставим в уравнение Отсюда получаем, что уравнение параболы в новой системе координат таково:

Теперь решим несколько задач на преобразование плоскости или пространства.

Задача 3. Кривую сдвинули на 4 единицы вправо, а затем на 4 единицы вверх. Написать уравнение новой кривой.

Решение. По формулам (5) получаем: Отсюда получаем: или Таким образом, новая кривая имеет уравнение

Задача 4. Найти образ точки при повороте плоскости на угол вокруг начала координат.

Решение. Пусть – образ точки Запишем формулы поворота (6) для угла

Подставим в эти формулы Получим: Следовательно,

Задача 5. Дана прямая Составить уравнение прямой, симметричной прямой а) относительно начала координат; б) относительно оси в) относительно прямой г) относительно прямой

Решение. Симметрия относительно начала координат задаётся формулами (формулы (8а)). Подставим в уравнение прямой вместо и вместо Получим: Отсюда следует, что Значит, уравнение симметричной прямой таково: б) Применяя формулы (8б), получим: в) Симметрия относительно прямой задаётся формулами Поэтому следует подставить в уравнение прямой вместо и вместо Мы получим: Окончательно получаем: г) Симметрия относительно прямой определяется формулами Отсюда нетрудно получить уравнение симметричной прямой:

Задача 6. Найти образ прямой а) при повороте плоскости на угол вокруг точки б) при симметрии плоскости относительно точки в) при симметрии плоскости относительно прямой

Решение. а) Применяя формулы, обратные формулам (7), получим: Подставим в уравнение прямой:

Приводя подобные члены и убирая штрихи, получим окончательно:

б) Используя формулы (8в), получим: Подставим в уравнение прямой: т.е. Убирая штрихи, получим окончательно: в) Заменим на на получим: После приведения подобных членов и удаления штрихов получим:

Задача 7. Написать формулы симметрии плоскости относительно прямой

Решение. Пусть – произвольная точка плоскости, – её образ при симметрии относительно прямой Тогда Очевидно, – направляющий вектор этой прямой. Точку можно найти из следующих условий: 1) точка с координатами (середина отрезка ) принадлежит прямой 2) Запишем эти условия в виде системы уравнений:

Решив эту систему, получим: Это и есть формулы симметрии.

Задача 8. Дан центр квадрата: и уравнение одной его стороны: Составить уравнения других сторон квадрата.

Решение. Две стороны (смежные) получаются поворотом плоскости вокруг точки на и а третья сторона (противоположная) – поворотом на или, что то же самое, – симметрией относительно точки Найдём сначала уравнения смежных сторон. Запишем формулы поворота:

Отсюда получаем: т.е.

или

Подставим оба варианта в уравнение прямой: а) б) Упростив и удалив штрихи, получим: а) б)

Найдём теперь уравнение противоположной стороны. Запишем формулы симметрии плоскости относительно точки Подставим эти формулы в уравнение прямой: Упростив и удалив штрихи, получим:

Задача 9. Найти образ точки при повороте пространства на угол вокруг оси ординат.

Решение. Формулы поворота пространства вокруг оси на плоскости совпадают с формулами поворота этой плоскости вокруг начала координат, т.е. мы имеем:

Добавив уравнение и подставив получим:

Взяв вычислим Следовательно, точка – образ точки при повороте.

Задача 10. Поверхность задана уравнением Составить уравнение поверхности, симметричной данной относительно плоскости

Решение. Симметрия относительно плоскости задаётся формулами Подставим в уравнение поверхности: Убрав штрихи, получим искомое уравнение:

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка имеет координаты в одной системе координат и в другой, получающейся из первоначальной параллельным переносом. Написать формулы, выражающие новые координаты произвольной точки через старые. Ответ:

2. Система координат повернулась на угол вокруг начала координат. Написать формулы поворота и уравнение прямой в новой системе координат. Ответ:

3. Плоскость повернулась на вокруг точки Написать формулы поворота. Ответ:

4. Написать формулы параллельного переноса пространства, при котором точка переходит в точку Ответ:

5. Написать уравнение кривой, полученной из кривой а) параллельным переносом на 2 вправо и на 3 вниз; б) симметрией относительно точки в) симметрией относительно прямой г) симметрией относительно прямой Ответ: а) б) в) г)

6. Поверхность задана уравнением Написать уравнение поверхности, полученной из данной: а) симметрией относительно оси б)симметрией относительно плоскости в) симметрией относительно точки Ответ: а) б) в)

7. Преобразование плоскости задано формулами Доказать, что это поворот; найти центр и угол поворота. Ответ: центр: угол:

   8. Дан центр правильного треугольника: и уравнение одной его стороны: Составить уравнения двух других сторон. Ответ:

   9. Написать формулы симметрии плоскости относительно прямой Ответ:

   10. Какое преобразование плоскости получится, если сначала сделать поворот на вокруг начала координат, а затем на вокруг точки Ответ: параллельный перенос на вектор