§ 4. Фундаментальная система решений системы лоу.

В результате решения нескольких систем однородных линейных уравнений, причём разными способами, мы наблюдали случаи:

1*: Если ранг матрицы равен ==, то нулевое решение единственно.

2*: Если ранг матрицы равен =<, то кроме нулевого решения имеются еще ненулевые решения.

Пусть строки, состоящие из чисел: = и = есть ненулевые решения системы уравнений (1).

Теорема: (8.1)

Если = и = есть решения системы (1), то сумма этих решений: + тоже решение; произведение решения на произвольное действительное число тоже решение.

► Пусть имеем систему линейных однородных уравнений в матричной форме: =, где матрицы уравнения имеют вид: =, =, =.

Так как и есть решения системы, то: =и =. Учитывая операции сложения и умножения матриц, можем записать: +=→ =, что означает: +есть решение системы (1).

Умножим решение на число . Тогда:=====, что означает: есть решение системы (1).

Обобщение: всякаялинейная комбинация решенийуравнения (1) есть такжерешение. Действительно:=++...+=.◄

Замечание: для неоднородной системы (1) ни сумма решений, ни решение, умноженное на число, не есть решение!!!

Доказанная теорема, при всей её внешней простоте, существенно расширяет наши возможности по двум направлениям:

1*: Множество решений однородной системы уравнений оказалось линейным пространством - векторов, для которого получены такие важные понятия, как линейная зависимость векторов, максимальная линейно независимая система - векторов, и другие.

2*: Строки решений неоднородной системы уравнений внешне имеют вид - векторов, но не составляют линейного - мерного векторного пространства! Именно потому, что сумма векторов-решений неоднородной системы уравнений теряет свойство быть решением, то есть не принадлежит совокупности векторов-решений. Точно также и вектор-решение, умноженный на число, теряет свойство быть решением. Для алгебраического мышления этот побочный результат теоремы бесценен!!!

Определение: (8.1)

всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений называется фундаментальной системой решений этой системы, или ФСР.

Из определения следует:

– всякий - вектор ФСР есть решение системы уравнений (1);

– система - векторов-решений ФСР независима;

– система - векторов ФСР максимальна: любое решение системы (1) может быть представлено через систему решений ФСР в виде линейной комбинации этих решений;

– все (различные!) ФСР эквивалентны (!).

Анализ метода Гаусса показывает: если значения неизвестных системы уравнений (1) уже выбраны, то значения остальных неизвестных определяются однозначно.

Схема решения однородной системы (1) с использованием теоремы Кронекера–Капелли принципиально совпадает со схемой Гаусса: обе предлагают выделить неизвестных в качестве свободных, а остальные неизвестных однозначно вычислить через значения свободных.

Так как все максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны, то в качестве свободных значений неизвестных будем выбирать строки единичной матрицы размерности , определитель которой равен 1≠0. В таком случае можем записать решений (независимых!!!) системы (1):

=(, , . . . , , 1,0,0,…,0),

=(, , . . . , , 0,1,0,…,0), (2)

. . . . . . . . . . . . . . . . .

=(, , … , , 0,0,0,…,1).

Для построения фундаментальной системы уравнений важна следующая теорема:

Теорема: (8.2)

Любое решение системы (1) можно записать в виде линейной комбинации векторов (2): =++...+.

►Пусть некоторое решение системы (1) записано в виде - вектора:

=(,, … ,,, …, ),

где числа , =1,2,..., можно считать некоторыми значениями свободных неизвестных, а числа , =1,2,..., – значениями вычисляемых неизвестных системы уравнений.

Так как запись =++...+ также является решением системы, то и разность:

=–=(++...+)–(,, … ,,, …, )=(,,…,,0, …,0)

тоже есть решение. Но запись =(,, … , ,0, …,0) означает, что значения свободных неизвестных приняты нулевыми, и для них вычислены значения неизвестных ,,…,.

Так как вычисление неизвестных осуществляется из уравнений с неизвестными однородной системы линейных уравнений с определителем, совпадающим с базовым минором, то есть не равным нулю (!), то единственным решением такой системы есть нулевое. Это значит, что все числа ,,…, равны нулю, и можно записать: = (0, 0,…, 0,0, …,0). Последнее значит, что - вектор =(,,…,,,…,) и - вектор =++...+ есть эквивалентные векторы.

Итак, мы получили важное свойство линейного векторного пространства решений системы линейных однородных уравнений (1): любое решение системы (1) можно представить в виде линейной комбинации совокупности независимых решений, представленных в виде специальных векторов-решений (2). ◄

При доказательстве теоремы мы использовали специальный набор значений свободных неизвестных, а именно: строки единичной матрицы размерности . Используя линейные операции, векторы-строки матрицы легко превратить в произвольную невырожденную матрицу того же порядка.

Выбирая поочерёдно строки матрицы в качестве значений свободных неизвестных, находя вычисляемые неизвестные, вновь получим - мерный вектор-решение. Совокупность всех таких векторов независима и имеет ранг : векторы-решения, полученные использованием строк матрицы , есть линейная комбинация векторов-решений, полученных использованием строк матрицы . Но, тогда эти системы векторов эквивалентны. Из последнего следует важнейшее: система решений, построенная с использованием строк невырожденной матрицы , такова, что любое решение системы (1) может быть выражено через неё в виде линейной комбинации.

Следствие: фундаментальных систем решений системы (1) бесчисленное множество: столько, сколько невырожденных матриц порядка.