§ 3. Общее и частное решения системы линейных однородных уравнений.

Как и в общем случае исследования системы неоднородных линейных уравнений, использование теоремы Кронекера–Капелли в частном случае исследования системы линейных однородных уравнений также плодотворно. Общая схема решения:

A1*: Вычисляем : ранг матрицы . Так как для однородной системы уравнений =, то всегда выполняется . Однородная система уравнений всегда совместна. Пусть =. Это значит, что определён базовый минор: M матрицы .

A2*: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.

A3*: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть.

A4*: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!

A5*: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.

Замечание: отметим ещё раз, что свободных неизвестных : их можно воспринимать как число степеней свободы процесса; вычисляемых неизвестных – .

☺☺

Пример 8–04: Исследовать систему уравнений: Найти общее решение и одно частное.

Решение:

1). Составим матрицу: =и найдём её ранг. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы:

	3	4	1	2
	6	8	2	5
1	9	12	3	10
	2	1

3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где– указывает номер отмеченной для окаймления строки,– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:

==4·–8·+12·=m₁·(5)–h₁·(4)+g₁·(1)=4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;

Замечание: параметры: m₁, h₁, g₁ изменяются при переходе к минорам ,, числа:(5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!

== m₂·(5)–h₂·(4)+g₂·(1)= 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;

4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то =2.

5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и:

далее применяем правило Крамера:

=1; = =; ==0.

6). Общее решение системы: ==; ==0; частное решение получим при значениях:=1,=–1, →=1,=0.

Ответ: общее решение:==; ==0; частное решение: (1,–1,1,0).

Пример 8–05: Исследовать систему уравнений: Найти общее и частное решение.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

4	-3	2	-1			1	-1	-1	2
3	-2	1	-3			1	-1	1	2
2	-1	0	-5	=(1)→		1	-1	1	2	=(2)→
5	-3	1	-8			1	0	-1	-7

1	-1	-1	2			1	0	0	-7
0	0	-2	0			0	0	1	0
0	0	-2	0	=(3)→		0	0	0	0	=(4)→
0	1	0	-9			0	1	0	-9

Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R4]. (2): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]. (3): [R3]–[R1]; [R2] делим на (–2); [R1]–[R2]; [R1]–[R4]. (4): раскрываем полученный результат.

2). Видим: =3. Свободной неизвестной объявляем=.

3). Из уравнения-строки [R4] запишем:=9; из строки [R2]:=0; [R4] запишем:=7. Произвольная величинаопределяет бесчисленное множество решений заданного уравнения.

Ответ: общее решение: (7;9;0;)=(7,9, 0;1).

Замечание: видим, что и применение фундаментальных результатов теоремы Кронекера-Капелли не продвинуло нас в понимании системы решений системы ЛОУ!

☻