179

ЛА: Глава 8

Глава 8. Системы линейных однородных уравнений (лоу).

В главе, посвящённой общей теории исследования и решения систем неоднородных линейных уравнений, отмечалось, что линейное уравнение:

·+·+ …+·=

есть аналитическая модель некоторого процесса для случая, когда на него воздействует внешний фактор . Но исследователя интересует также реализация процесса при отсутствии внешних воздействий, когда=0: поведение изолированной системы.

В настоящей главе будем рассматривать именно такие аналитические модели, когда внешние факторы на процесс не воздействуют.

§ 1. Общая запись системы однородных линейных уравнений.

Пусть имеем систему линейных уравнений с неизвестными, которые входят во все уравнения только в 1-й степени:

(1)

где коэффициенты ,; – заданные вещественные числа; , – искомые неизвестные; правая часть каждого из уравнений равна нулю. В соответствии с общей теорией систем линейных уравнений это значит: =0, для всех .

§ 2. Решение системы уравнений методом Гаусса.

Как и в общем случае неоднородных систем уравнений, метод Гаусса не имеет никаких ограничений в применении к однородным системам уравнений. Учитывая, что система уравнений (1) всегда имеет нулевое решение: (0,0,...,0), мы не встретим в преобразуемых методом Гаусса строках-уравнениях невыполнимых.

Рассмотренные ниже примеры решения систем линейных однородных уравнений с использованием метода Гаусса достаточно полно иллюстрируют особенности его применения в этом случае.

☺☺

Пример 8–01:Найти общее решение системы уравнений:

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

2	4	5		1	2	6		1	0	0
3	6	4	=(1)→	1	2	-1	=(2)→	0	0	1	=(3)→
3	8	17		0	2	13		0	1	0

Выполнены операции: (1): [R3]–[R2]; [R2]–[R1]; [R1]–[R2]. (2): [R2]–[R1] и разделим строку [R2] на число 7; [R3]–[R2]·13 и разделим строку [R2] на число 2; [R1] –[R2]·6–[R3]·2. (3): раскрываем полученный результат.

2). Получен результат: ранг системы равен 3 → решение единственное, значит нулевое!

Ответ: решение (0,0,0).

Пример 8–02:Найти общее решение системы уравнений:

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

2	-3	1		1	-4	0		1	1	1
1	1	1	=(1)→	1	1	1	=(2)→	0	5	1	=(3)→
3	-2	2		1	1	1		0	0	0

Выполнены операции: (1): [R3]–[R1]; [R1]–[R2]. (2): [R3]–[R2]; [R2]–[R1]. (3): раскрываем полученный результат.

2). Получен результат: ранг системы равен 2 → кроме нулевого решения есть бесчисленное множество решений ненулевых. Объявляем свободную неизвестную . Для удобства использования примем:=–5.

3). Из уравнения-строки [R2] запишем:=; из строки [R2]:=–4=–4. Произвольная величинаопределяет бесчисленное множество решений заданного уравнения.

Ответ: общее решение: (–4;;–5)=(4,1,–5).

Замечание: запись общего решения имеет особенность (неожиданную и пока необъяснимую): бесчисленное множество решений получается одним из возможных решений (4,1,–5) умножением на произвольную постоянную величину .

Пример 8–03:Решить систему линейных уравнений: методом Гаусса.

Решение:

1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

1	-2	-3	=(1)→	1	-2	-3	=(2)→
-2	4	6		0	0	0

Выполнены операции: (1): [R2]+[R1]·2. (2): раскрываем полученный результат.

2). Получены результаты: - система совместна;

- ранг системы равен 1 → объявляем свободные неизвестные: и.

3). Из уравнения-строки [R1] запишем:=2+3→ общее решение: присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений заданного уравнения.

Ответ: общее решение: x₁= 2x₂+3x₃.

Замечание: представленные примеры, особенно Пример 2–08, подсказывают, что множество решений системы однородных уравнений имеют какие-то важные особенности, которые требуют специального рассмотрения.

☻