§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Системы неоднородных линейных уравнений»
Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Определители 2-го и 3-го порядков». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.
☺ ☻ ☺
Пример
1–567:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
3
-2
-5
1
3
1
1
-6
-4
6
2
-3
1
5
-3
0
-7
1
13
3
1
2
0
-4
-3
=(1)→
0
1
6
0
-9
=(2)→
1
-1
-4
9
22
0
-3
-4
13
25
-
1
2
0
-4
-3
1
2
0
-4
-3
0
1
6
0
-9
0
1
6
0
-9
0
0
43
13
-60
=(3)→
0
0
29
0
-58
=(4)→
0
0
14
13
-2
0
0
14
13
-2
Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]·2; [R4]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R4]+[R3]·3; [R1]+[R3]; поменяем местами строки [R2] и [R3]; [R3]+[R2]·7. (3): [R3]–[R4]. (4): раскрываем уравнения для вычислений.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.
3). Из уравнения
[R3] следует:
=–2;
далее из уравнения [R4]:
=2;
из уравнения [R2]:
=3;
из уравнения
[R1]:
=–1.
Ответ: (–1, 3, –2, 2).
Пример
2–573:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
| |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
35 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
| |
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
70 |
=(1)→ |
0 |
1 |
3 |
6 |
10 |
35 |
=(2)→ | ||
|
1 |
4 |
10 |
20 |
35 |
126 |
|
|
0 |
1 |
4 |
10 |
20 |
56 |
|
|
|
1 |
5 |
15 |
35 |
70 |
210 |
|
|
0 |
1 |
5 |
15 |
35 |
84 |
| |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
15 |
| |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
20 |
| |
|
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
15 |
=(3)→ |
0 |
0 |
1 |
3 |
6 |
15 |
=(4)→ | ||
|
0 |
0 |
1 |
4 |
10 |
21 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
6 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
5 |
15 |
28 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
14 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
| |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
16 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
4 |
| |
|
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
9 |
=(5)→ |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
=(6)→ | ||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
| |
Выполнены операции: (1): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]. (2): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]. (3): [R5]–[R4]; [R4]–[R3]; [R5]–[R4]. (4): [R4]–[R5]·4; [R3]–[R5]·6; [R2]–[R5]·4; [R1]–[R5]. (5): [R3]–[R4]·3; [R2]–[R4]·3; [R1]–[R4]; [R2]–[R3]·2; [R1]–[R3]; [R1]–[R2]. (6): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 5 → решение системы единственно.
3). Из уравнения
[R4] следует:
=–2;
далее из уравнения [R2]:
5
=–5,
откуда вычисляем:
=–1;
из уравнения
[R3]:
=
,
откуда вычисляем:
=3;
из уравнения
[R5]:
=
,
откуда вычисляем:
=2;
из уравнения
[R1]:
=
,
откуда вычисляем:
=0.
4).
Читаем значения неизвестных:
(
,
,
,
,
)=(5,4,3,2,1).
Ответ: (
,
,
,
,
)
=(5,4,3,2,1).
Пример
3–580:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
4
-3
2
-1
8
1
-1
-1
2
1
3
-2
1
-3
7
1
-1
1
2
1
2
-1
0
-5
6
=(1)→
1
-1
1
2
13
=(2)→
5
-3
1
-8
1
1
0
-1
-7
-7
-
1
-1
-1
2
1
1
-1
-1
2
1
0
0
-2
0
0
0
0
-2
0
0
0
0
-2
0
12
=(3)→
0
0
0
0
12
=(4)→
0
1
0
-9
-8
0
1
0
-9
-8
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R4]. (2): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]. (3): [R3]–[R1]. (4): видим: [R3] – невозможна.
2). Получены результаты: - система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Пример
4–554:
Решить систему уравнений:
по правилу Крамера.
Решение:
1)
Используя коэффициенты левой части
заданной системы линейных уравнений,
запишем определитель: 
=
и вычислим его:
=2.
2) Вычислим определители:
=
=2,
=
=2,
=
=–2,
=
=–2.
3)
Применяя формулы Крамера:
,
,
получаем:
=
=1,
=
=–1.
Ответ: решение: (1,1,–1,–1).
Пример
5–558:
Решить систему уравнений:
по правилу Крамера.
Решение:
1)
Приводим запись заданной системы
линейных уравнений к стандартному виду
(достаточно это просто учесть, не
переписывая!), запишем:
=
и вычислим его:
=–5.
2) Вычислим определители:
=
=2,
=
=6,
=
=–17,
=
=–2.
3)
Применяя формулы Крамера:
,
,
получаем:
=–0.4,
=
–1.2,
=3.4,
=1.
Ответ: решение: (–0.4, –1.2,3.4, 1).
Пример
6–561:
Решить систему уравнений:
по правилу Крамера.
Решение:
1)
Используя коэффициенты левой части
заданной системы линейных уравнений,
запишем определитель: 
=
и вычислим его:
=24.
2) Вычислим определители:
=
=48,
=
=–72,
=
=–36,
=
=12.
3)
Применяя формулы Крамера,
получаем:
=2;
=–3;
=–
;
=
.
Ответ:
решение: (2, –3, –
,
).
Пример
7–689:
Исследовать систему уравнений:
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицы:
=
,
=
.
2). Найдем ранги
матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в левом верхнем
углу матрицы
:
-
2
7
3
1
6
3
5
2
2
4
1
9
4
1
7
2
1
2
3
3). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=
3
–2
+1
=m1·(–33)–h1·(–55)+g1·(–11)=
3·(–33)–2·(–55)+1·(–11)
=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа:(–33),
(–55),
(–11)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m2·(–33)–h2·(–55)+g2·(–11)=
1·(–33)
–2·(–55)+7·(–11)=0;
=
=
m3·(–33)–h3·(–55)+g3·(–11)=6·(–33)
–4·(–55)+2·(–11)
=0.
4).
Следует: ранг матрицы 
:
=2.
Так как
=
=2,
то система совместна.
5). Учитывая
расположение не равного нулю минора,
3-е уравнение отбрасываем и свободными
неизвестными объявляем
и
:
далее применяем правило Крамера:
=
– 11; 
=
=
;
=
=
.
6). Запишем общее
решение системы:
=
,
=
.
Частное решение системы получим при
значениях: 
=0,
=
1 →
=
–1,
=
1.
Ответ:
общее решение: 
=
,
=
;
частное решение: (–1,1,0,1).
Пример
8–692:
Исследовать систему уравнений:
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицы:
=
,
=
.
2). Найдем ранги
матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в левом верхнем
углу матрицы
:
-
3
-5
2
4
2
7
-4
1
3
5
1
5
7
-4
-6
3
1
2
3
3). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=2
–1
+(–4)
=m1·(69)–h1·(46)+g1·(23)=2·(69)–1·(46)+(–4)·(23)=0;
Замечание:
параметры: m1,
h1,
g1
изменяются при переходе к минорам
,
,
числа:(69),
(46),
(23)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m1·(69)–h1·(46)+g1·(23)=
4·(69)–3·(46)+(–6)·(23)=0;
=
=
m1·(69)–h1·(46)+g1·(23)=2·(69)–5·(46)+3·(23)=–23≠
0.
4).
Следует: ранг матрицы 
:
=3.
Так как
≠
=2,
то система несовместна.
Ответ: система несовместна → решений нет.
Пример
9–698:Исследовать
совместность и найти общее решение
системы линейных уравнений:
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
1
1
3
-2
3
1
1
1
3
-2
3
1
2
2
4
-1
3
2
0
0
-2
3
-3
0
3
3
5
-2
3
1
=(1)→
0
0
-4
4
-6
-2
=(2)→
2
2
8
-3
9
2
0
0
4
-2
6
0
-
1
1
3
-2
3
1
1
1
3
-2
3
1
0
0
-2
3
-3
0
0
0
-2
3
-3
0
0
0
0
-2
0
-2
=(3)→
0
0
0
-2
0
-2
=(4)→
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
-4
Выполнены операции: (1): [R4]–[R2]; [R3]–[R1]·3; [R2]–[R1]·2. (2): [R4]+[R2]·2; [R3]–[R2]·2. (3): [R4]+[R3]·2. (4): анализ строк: [R4] – невыполнима.
2). Получены результаты: - система несовместна.
Ответ: система несовместна.
Пример
10–703:Исследовать
совместность и найти общее и одно частное
решение системы уравнений:
Решение:
1). Составим матрицы:
=
,
=
.
2). Найдем ранги
матриц
и
.
Начнём с матрицы системы
.
Не равных нулю миноров 2-го порядка
несколько. Это значит, что
.
Выделим для окаймления минор (не равен
нулю), расположенный в левом верхнем
углу матрицы
:
-
8
6
5
2
21
3
3
2
1
10
1
4
2
3
1
8
2
3
5
1
1
15
3
7
4
5
2
18
1
2
3
3). Окаймляющие
миноры будем обозначать:
,
где
–
указывает номер отмеченной для окаймления
строки,
–
указывает номер отмеченного для
окаймления столбца. Тогда можем записать:
=
=
5
–2
+3
=m1·(–6)–h1·(–8)+g1·(1)=
5·(–6)–2·(–8)+3·(6)=
4≠ 0;
4). Так как минор : d11 ≠ 0, продолжимокаймление:
-
8
6
5
2
21
3
3
2
1
10
4
2
3
1
8
1
3
5
1
1
15
2
7
4
5
2
18
1
2
=
=–3·
+5·
–1·
+1·
,
или:
=m1·(–1)–h1·(–1)+g1·(2)
–q1·(4)=–3·(–1)+5·(–1)–1·(2) +1·(4)=0.
Замечание:
параметры: m1,h1,
g1
изменяются при переходе к минору 
,
числа: (–1),(
–1),
(2), (4)
не
изменяются. Это позволяет применить
единый шаблон вычислений!
=
=
m1·(–1)–h1·(–1)+g1·(2)
–q1·(4)=–7·(–1)
+4·(–1)–5·(2) +2·(4)
=1.
5). Так как
≠
0, то ранг матрицы
равен 4, так как минор большего порядка
для матрицы
невозможен.
6). Для определения
ранга
необходимо окаймление минора
,
это значит, что необходимо вычислить
определитель:
=
=
(1)
=
=
(2)=
–
=
(3)=
= –
=
(4)=–5
=
(5)=0
→ ранги
матрицАи
равны.
Операции: (1): [R1]–[R5]; [R2]–[R3]; [R4]–[R3]; [R5]–[R1]·2. (2): применяем разложение определителя по столбцу-4. (3): [R4]+[R1]; [R3]+[R1]; [R2]+[R1]. (4): применяем разложение определителя по столбцу-1; выносим за знак определителя общий множитель 5 столбца-1. (5): определитель равен нулю, так как столбцы 2 и 3 пропорциональны:
7).
Перепишем систему без 4-го уравнения:
далее применяем правило Крамера; учитывая d =1 и:
=
=3;
=
=0;
=
=–5;
=
=11;
→
=
=3,
=
=0,
=
=–5,
=
=11: единственное
решение.
Ответ:(3, 0, –5, 11) –единственное решение.
Пример
11–706:Исследовать
совместность и найти общее решение
системы линейных уравнений:
Решение:
1). Полное исследование системы позволяют провести как метод Гаусса, так и алгоритм в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли. Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
1
2
3
1
3
1
2
3
1
3
1
4
5
2
2
0
2
2
1
-1
2
9
8
3
7
=(1)→
1
5
3
1
5
=(2)→
3
7
7
2
12
1
-2
-1
-1
5
5
7
9
2
20
1
0
1
0
4
-
1
2
3
1
3
1
2
3
1
3
0
2
2
1
-1
0
2
2
1
-1
0
3
0
0
2
=(3)→
0
1
-2
-1
3
=(4)→
0
-4
-4
-2
2
0
-2
-2
-1
1
0
2
2
1
-1
0
2
2
1
-1
-
1
2
3
1
3
1
2
3
1
3
0
2
2
1
-1
0
2
2
1
-1
0
2
-4
-2
6
=(5)→
0
0
-6
-3
7
=(6)→
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Выполнены операции: (1): [R5]–[R4]; [R3]–делим на 2; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1]. (2): [R5]–[R4]; [R4]–[R1]; [R3]–[R1]. (3): [R3]–[R2]; [R4] делим на 2. (4): [R5]+[R4]; [R4]+[R2]; [R3]·2. (5): [R3]–[R2]. (6): обрабатываем результаты.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 3;
- раскрываем строки преобразованной системы:
–6x3–3x4=7 → x3= –
x4–
;
2
+2x3+x4= –1→ 
=
(–2x3–x4–1)=
;
x1+2x2+3x3+x4= 3 → 
=
x4+
.
3). Общее решение
системы: x1=
x4+
;
x2=
;
x3= –
x4–
.
Ответ:x1=
x4+
;
x2=
;
x3= –
x4–
.
Пример
12–712:Исследовать
совместность и найти общее решение
системы линейных уравнений в зависимости
от значения параметра
:
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
5
-3
2
4
3
1
-1
-1
-3
2
4
-2
3
7
1
4
-2
3
7
1
8
-6
-1
-5
9
=(1)→
0
-2
-7
-19
7
=(2)→
7
-3
7
17
λ
7
-3
7
17
λ
-
1
-1
-1
-3
2
1
-1
-1
-3
2
0
2
7
19
-7
0
2
7
19
-7
0
-2
-7
-19
7
=(3)→
0
0
0
0
0
=(4)→
0
4
14
38
λ-14
0
0
0
0
λ
Выполнены
операции:
(1):
[R1]–[R2];
[R3]–[R2]·2.
(2):
[R2]–[R1]·4;
[R4]–[R1]·7.
(3):
[R3]+[R2];
[R4]+
[R2]·2;
если
=0,
то уравнения [R3]
и [R4]
выполняются при любых значениях
неизвестных. Полученная система
эквивалентна двум уравнениям с
неизвестными
,
,
,
.
(4):
если
≠
0, то
система несовместна, так как уравнение-4
невыполнимо.
2). Получены
результаты: - система совместна при
=0;
- ранг системы
равен 2 → оставляем
уравнения-1 и 2; назначаем свободные
неизвестные
=
,
=
.
3).
К уравнениям[R1]
и[R2]применяем правило Крамера, учитывая,
что определитель системы равен
=2:
=
–
→
=–
.
Ответ:
общее решение системы:–
(
,
,
,
).
☻
Вопросы для самопроверки:
Можно ли, применяя метод Гаусса, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
Можно ли решить систему уравнений методом Гаусса, если все значения свободных членов bi , i = 1, 2, …, n равны нулю?
Можно ли любую систему уравнений записать в виде матричного уравнения AX = B?
Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
Можно ли решить систему уравнений по правилу Крамера, если все значения свободных членов bi, i = 1,2, …, n равны нулю?
Как практически применяется теорема Кронекера-Капелли при решении системы линейных уравнений?
Можно ли провести полное исследование системы уравнений без использования теоремы Кронекера-Капелли?
Может ли ранг расширенной матрицы
быть равным 7, а ранг А-матрицы
8 ? а наоборот? Могут ли ранги матриц А и
равняться нулю?
< * * * * * >