
- •Глава 7. Системы линейных неоднородных уравнений.
- •§ 1. Классификация систем линейных уравнений.
- •§ 2. Решение системы уравнений методом Гаусса.
- •§ 3. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
- •§ 4. Исследование (решение) системы уравнений в общем случае.
- •§ 4. Обобщающие примеры по теме: «Системы неоднородных линейных уравнений»
§ 2. Решение системы уравнений методом Гаусса.
Самым простым методом решения любой системы линейных уравнений является метод Гаусса: не требует никаких предварительных знаний о системах линейных уравнений, достаточно знать операции сложения и умножения чисел и сразу приступать к поиску решений.
Метод Гаусса называют часто методом последовательного исключения неизвестных. Для реализации этого метода удобно оперировать не с исходной записью системы в виде (1), а с матрицей коэффициентов системы:
, (2)
её принято называть расширенной матрицей системы уравнений.
Метод
Гаусса заключается в последовательном
применении к строкам
матрицы
эквивалентных
преобразований, приводящих эту матрицу
к трапецоидальному
или треугольному
(в частном случае) виду. В результате
реализации метода получим:
▫ система уравнений будет несовместной, если в процессе преобразований получается уравнение, в котором коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля; если же такое уравнение не встретим, то система будет совместной;
▫ если система совместной, то она будет определенной, если она приводится к треугольному виду, и неопределенной, если приводится к трапецоидальному виду.
В основном метод применяют в тех случаях, когда не предполагается исследование технической системы: нужна лишь оценка (подтверждение) реакции системы на конкретные внешние воздействия.
Трудоемкость
метода Гаусса оценивают трудоемкостью
вычисления одного определителя
-го
порядка.
Рассмотренные ниже примеры решения систем уравнений с использованием метода Гаусса достаточно полно иллюстрируют его возможности.
☺☺
Пример
7–01:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
1
1
-6
-4
6
1
2
-3
0
3
3
-1
-6
-4
2
0
-7
3
-4
-7
2
3
9
2
6
=(1)→
0
-1
15
2
0
=(2)→
3
2
3
8
-7
0
1
3
4
-3
-
1
2
-3
0
3
1
2
-3
0
3
0
-3
3
0
-5
0
0
0
8
-12
0
-1
15
2
0
=(3)→
0
-1
15
2
0
=(4)→
0
0
6
2
-1
0
0
6
2
-1
Выполнены операции: (1): [R4]–[R2]; [R4] делим на 3; [R1]–[R4]; [R2]–[R1]·3; [R3]–[R1]·2. (2): [R2]+[R4]; [R2] делим на 2; [R4]+[R3]; [R4] делим на 3. (3): [R2]–[R3]·3; [R2]+[R3]·7. (4): получение результата.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 4 → решение системы единственно.
3). Из уравнения
[R2] следует:=
;
далее из уравнения [R2]:
6
=
,
откуда вычисляем:x3=
;из уравнения
[R3]:
=
,
откуда вычисляем:
=
2; из
уравнения [R1]:
=
,
откуда вычисляем:
=0.
Ответ: (0,
2,
,
–
).
Пример
7–02:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Для уменьшения
коэффициентов матрицы, примем:
;
;
и применим пошаговый процесс метода
Гаусса:
3 |
6 |
5 |
6 |
4 |
14 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
| |
5 |
9 |
7 |
8 |
6 |
18 |
|
|
1 |
3 |
1 |
3 |
2 |
2 |
| |
6 |
12 |
13 |
9 |
7 |
32 |
=(1)→ |
1 |
3 |
6 |
1 |
1 |
14 |
=(2)→ | ||
4 |
6 |
6 |
5 |
4 |
16 |
|
|
0 |
-4 |
-2 |
-5 |
-2 |
-6 |
|
|
2 |
5 |
4 |
5 |
3 |
11 |
|
|
2 |
5 |
4 |
5 |
3 |
11 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
| |
0 |
2 |
0 |
2 |
1 |
-1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
-2 |
-1 |
-3 |
| |
0 |
2 |
5 |
0 |
0 |
11 |
=(3)→ |
0 |
0 |
5 |
-4 |
-2 |
9 |
=(4)→ | ||
0 |
-4 |
-2 |
-5 |
-2 |
-6 |
|
|
0 |
-1 |
0 |
-2 |
-1 |
-1 |
|
|
0 |
3 |
2 |
3 |
1 |
5 |
|
|
0 |
0 |
2 |
-3 |
-2 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
| |
0 |
0 |
0 |
-2 |
-1 |
-3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
-5 |
| |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
=(5)→ |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
=(6)→ | ||
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
-3 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
-3 |
1 |
|
Выполнены операции: (1): [R1]–[R5]; [R3]–[R2]; [R2]–[R4]; [R4]–[R5]·2. (2): [R5]–[R1]·2; [R3]–[R1]; [R2]–[R1]. (3): [R4]+[R5]; [R2]+[R4]·2; [R3]+[R4]·2; [R5]+[R4]·3. (4): [R3]–[R5]·2; [R5]–[R3]·2; [R4]–[R2]; [R3]+[R2]; [R1]+[R2]; [R5]–[R2]·3. (5): [R2]–[R5]·2. (6): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 5 → решение системы единственно.
3). Из уравнения
[R4] следует:=–2;
далее из уравнения [R2]:
5
=–5,
откуда вычисляем:
=–1;
из уравнения
[R3]:
=
,
откуда вычисляем:
=3;
из уравнения
[R5]:
=
,
откуда вычисляем:
=2.
; из уравнения
[R1]:
=
,
откуда вычисляем:
=0.
4).
Учитывая обозначения переменных:
;
;
,
получаем решение заданной системы
уравнений
и записываем ответ.
Ответ:
=
.
Пример
7–03:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
5 |
2 |
-7 |
14 |
0 |
21 |
|
|
5 |
2 |
-7 |
14 |
0 |
21 |
| |
5 |
-1 |
8 |
-13 |
3 |
12 |
|
|
0 |
-3 |
15 |
-27 |
3 |
-9 |
| |
10 |
1 |
-2 |
7 |
-1 |
29 |
=(1)→ |
0 |
3 |
-18 |
33 |
-7 |
5 |
=(2)→ | ||
15 |
3 |
15 |
9 |
7 |
130 |
|
|
0 |
3 |
9 |
15 |
5 |
89 |
|
|
2 |
-1 |
-4 |
5 |
-7 |
-13 |
|
|
2 |
-1 |
-4 |
5 |
-7 |
-13 |
|
1 |
4 |
1 |
4 |
14 |
47 |
|
|
1 |
4 |
1 |
4 |
14 |
47 |
| |
0 |
-3 |
15 |
-27 |
3 |
-9 |
|
|
0 |
1 |
-5 |
9 |
-1 |
3 |
| |
0 |
3 |
-18 |
33 |
-7 |
5 |
=(3)→ |
0 |
0 |
-3 |
6 |
-4 |
-4 |
=(4)→ | ||
0 |
3 |
9 |
15 |
5 |
89 |
|
|
0 |
0 |
24 |
-12 |
8 |
80 |
|
|
0 |
-9 |
-6 |
-3 |
-35 |
-107 |
|
|
0 |
0 |
-51 |
78 |
-44 |
-80 |
|
1 |
4 |
1 |
4 |
14 |
47 |
|
|
1 |
4 |
1 |
4 |
14 |
47 |
| |
0 |
1 |
-5 |
9 |
-1 |
3 |
|
|
0 |
1 |
-5 |
9 |
-1 |
3 |
| |
0 |
0 |
3 |
-6 |
4 |
4 |
=(5)→ |
0 |
0 |
3 |
0 |
0 |
12 |
=(6)→ | ||
0 |
0 |
0 |
3 |
-2 |
4 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-2 |
-5 |
|
|
0 |
0 |
0 |
4 |
-2 |
7 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
|
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]–[R3]; [R3]–[R2]·2; [R2]–[R1]. (2): [R1]–[R5]·2; [R5]–[R1] ·2. (3): [R5]–[R2]·3; [R4]+[R2]; [R3]+[R2]; делим [R2] на (–3). (4): [R5]+[R4]·2; [R4]+[R3]·8; [R5]–[R3]; [R3] умножаем на (–1); [R4] и [R5] делим на 12. (5): R3]+[R4]·2; [R5]–[R4]; [R4]–[R5]·3. (6): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы равен 5 → решение системы единственно.
3). Из уравнения
[R5] следует:=3;
далее из уравнения [R4]:
=
;из уравнения
[R3]:
=4;
из уравнения
[R2]:
=
,
откуда вычисляем:
=
.
; из уравнения
[R1]:
=
,
откуда вычисляем:
=2.
4).
Получили решение заданной системы
уравнений: (,
,
,
,
)
и записываем ответ.
Ответ: (,
,
,
,
)
=
.
Пример
7–04:Решить систему
линейных уравнений:
методом Гаусса.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
-
9
-3
5
6
4
3
-1
2
2
-1
6
-2
3
4
5
=(1)→
3
-1
0
-10
13
=(2)→
3
-1
3
14
-8
0
0
1
12
-7
-
3
-1
2
2
-1
3
-1
2
2
-1
0
0
-1
-6
7
=(3)→
0
0
-1
0
7
=(4)→
0
0
0
6
0
0
0
0
6
0
Выполнены операции: (1): [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R1]. (2): [R2]–[R1]; делим строку [R2] на 2; [R3]+[R2]. (3): [R2]+[R3]; [R4]+[R2]. (4): раскрываем таблицу и вычисляем все неизвестные.
2). Получены результаты: - система совместна;
- ранг системы
равен 3 → свободная неизвестная
=
.
3). Из уравнения
[R3] следует:=0;
далее из уравнения [R2]:
=–7;
раскрывая уравнение
[R1], получаем:
=
=
.
4). Получили общее решение заданной системы, записываем ответ.
Ответ:
.
Замечание: любая промежуточная ошибка в цепочке вычислений может быть исправлена от места обнаруженной ошибки.
☻