158

ЛА: Глава 7

Глава 7. Системы линейных неоднородных уравнений.

Следует отметить особенность изучения обозначенной в настоящей главе темы: мы вынужденыбыли применять принятые в общей теории систем линейных уравнений обозначения, понятия и способы решения при изучении определителей 2-го и 3-го порядков, алгебры матриц и линейного векторного пространстваn-векторов. Теперь, наоборот, полученные в названных темах результаты должны помочь получить неограниченные обобщения в исследованиях произвольных систем линейных уравнений: когда число неизвестных и число участвующих в решении уравнений никак не согласовываются.

Для тех, кто изучает математику с целью применения в будущей своей профессии, постоянно возникает вопрос: как возникает та или иная математическая конструкция, и как её применять в конкретной ситуации?

Из чего возникают неизвестные ?– Из практической деятельности специалиста! В результате исследований некоторого процесса (природного или создаваемого человеком) специалист разрабатывает математическую модель этогопроцесса, описываемуюnпараметрами, которые он обозначает символами: . Наблюдаемые процессы на самом деле бывают илинейными, инелинейными. Но, если мы решили результаты наблюдений за процессом распространять (экстраполировать) на малые промежутки времени , то в математическом анализе имеются средства, которые позволяют получать линейные аналитические модели для любых нелинейных процессов.

Так как всякий процесс реализуется в некоторой материальной среде, то эту среду представляем совокупностью параметров ,– факторы, обеспечивающие некоторое состояние процесса при воздействии внешнего фактора. Простейшая линейная модель исследуемого процесса может быть представлена в виде:

·+·+ …+·=. (1)

Запись вида (1) будем называть линейным уравнением, его физическая суть – это аналитическая модель реального процесса при воздействии внешнего фактора . Важно отметить, если имеем только одно уравнение (1), то для определения состояния параметранужно задать состояние совокупности параметров:,,...,. Точно также для определения любого выделяемого параметра: остальные должны быть заданы исследователем.

Если внешний фактор изменился и принял значение , исследователь отмечает реакцию линейной модели в виде линейного уравнения:

·+·+ …+·=. (2)

Теперь имеем два линейных уравнения: уравнения (1) и (2). В этом случае для определения состояния параметров ,нужно задать состояние всех остальных параметров процесса:,,...,. Точно также для определения любых двух выделяемых параметров остальные должны быть заданы исследователем.

Если исследователь наблюдал процесс при различных внешних факторах: ,, то он получит модель всего множества наблюдений в виде системы линейных уравнений:

(3)

Возникает вопрос: как должен исследователь пользоваться такой системой уравнений, особенно в случае, когда ?

В настоящей главе рассматриваются все возможные случаи, которые могут представиться при использовании конкретных систем уравнений (3), даны различные способы их решения.

§ 1. Классификация систем линейных уравнений.

Вопрос классификации систем линейных уравнений является важным для нас, так как от формы записи системы, и от особенностей использования получаемых решений этой системы зависит выбор способа решения.

Пусть имеем систему линейных уравнений с неизвестными, которые входят во все уравнения только в 1-й степени:

(1)

где коэффициенты ,; – вещественные числа; , – искомые неизвестные; , – вещественные числа, их называют: свободные члены. Числа: , считаем заданными.

Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система вещественных чисел: (,,...,), что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами , .

Введем классификацию систем уравнений с учетом признаков:

- форма записи;

- наличие и количество решений;

- особенности использования полученных решений.

1⁰. Классификация систем уравнений по форме записи:

- неоднородные системы: хотя бы одно из чисел , не равно нулю;

- однородные системы: все числа , равны нулю;

- по числу неизвестных и числу уравнений : а) ; б) ;

- в координатной форме, как показано в записи (1), и в матричной, как было рассмотрено ранее.

2⁰. Классификация систем уравнений по наличию и количеству решений:

- совместная система: имеет решение:

а) решение единственное: определенная система;

а) решений больше одного: неопределенная система.

- несовместная система: не имеет ни одного решения.

3⁰. Классификация систем уравнений, отражающая особенности использования полученных решений:

- система уравнений является математической моделью некоторой технической системы, и специалист выявляет реакцию технической системы на определенные исходные данные → интерес специалиста получить единственное решение;

- специалист создает техническую систему: оптимизирует ее структуру и выявляет допустимые воздействия на систему → интерес специалиста получить множество решений и подвергнуть его оптимизации использованием специальных критериев и средств.