§ 5. Обобщающие примеры по теме: «Прямая на плоскости».

Пример 1–211: Точкирасположены на прямой:. Их абсциссы, соответст­венно, равны числам 4, 0, 2, –2, –6. Определите ординаты этих точек.

Решение:

Так как заданные точки принадлежат прямой , то координаты точек должны удовлетворять уравнению этой прямой. Так как вычисление координаты должно производиться по од­ной и той же формуле (технологии), то целесообразно преобразовать заданное уравнение в виде выражения-формулы: . Используя эту формулу, легко (устно!) записать ответ.

Ответ: .

Пример 2–215: Стороны,,треугольникаданы, соответственно, уравнениями: , :,:. Определить координаты его вершин.

Решение:

В соответствии с принятыми обозначениями вычисление координат вершин треугольника определяется условиями: , , .

1). Для вычисления координат точки запишем систему уравнений:

Так как , – пересекаются (векторы нормалей: =(4,3) и =(1,0) не коллинеарные), то единственное решение системы (2,–1) определяет точку .

2). Для вычисления координат точки запишем систему уравнений:

Так как , – пересекаются (векторы нормалей: =(4,3) и =(1,–3) не коллинеарные), то единственное решение системы (–1,3) определяет точку .

3). Для вычисления координат точки запишем систему уравнений:

Так как , – пересекаются (векторы нормалей: =(1,–3) и =(1,0) не коллинеарные), то единственное решение системы (2,4) определяет точку .

Ответ: =(2,–1);=(–1, 3);=(2, 4).

Пример 3–217: Стороны треугольникапринадлежат прямым, определяемым уравнениями :,:,:. Вычислить площадь треугольника –.

Решение:

Общая схема решения:

1). Имея уравнения ,,, найдем вершины треугольника.

2). Составим векторы и , и воспользуемся формулой, полученной в Главе 2: 2=(–).

Реализуем принятую схему решения задачи, учитывая сведения и аналитические выражения, полученные в Главе 3.

1). Для вычисления координат точки запишем систему уравнений: Так как , – пересекаются (векторы нормалей: =(1,5) и =(7,1) не коллинеарные), то единственное решение системы (–3,2) определяет точку .

Для вычисления координат точки запишем систему уравнений: Так как , – пересекаются (векторы нормалей: =(1,5) и =(3,–2) не коллинеарные), то единственное решение системы (2,1) определяет точку .

Для вычисления координат точки запишем систему уравнений: Так как , – пересекаются (векторы нормалей: =(3,–2) и =(7,1) не коллинеарные), то единственное решение системы (–2,–5) определяет точку .

2). Теперь: =–=(5,–1), =–=(1,–7). Вычислим площадь треугольника : 2=(–)=5·(–7) –(–1)·(–7)=34 → =17.

Ответ: =17.

Пример 4–224: Даны уравнения двух сторон прямоугольника:,:и одна из его вершин(2,–3). Составить уравнения двух других сторон этого пря­моугольника.

Решение:

1). Из уравнений прямых следует: =(2,–3) и =(3, 2). Так как , то и определяют пересекающиеся стороны прямоугольника. Видим также (хотя это легко следует из геометрических соображений!), что точка не может принадлежать ни стороне , ни стороне .

2). Определим по свойствам: параллельности , а также принадлежности . Это значит, что сразу можем записать : и , откуда получаем: = –13.

3). Определим по свойствам: параллельности , а также принадлежности: . Это значит, что сразу можем записать : и , откуда получаем: =0.

Ответ: стороны пря­моугольника :и:.

Пример 5–227: Найти точку, симметричную точке(–5,13) относительно прямой, определяемой уравнением:.

Решение:

Общая схема решения:

1). Имея уравнение прямой , строим уравнение прямой = PQ по свойствам перпендикулярности: , и принадлежности: .

2). Определим точку = ; и точку : из условия =.

Реализуем принятую схему решения задачи, учитывая сведения и аналитические выражения, полученные в Главах 1,2.

1). Определим по свойствам: перпендикулярности: , а также принадлежности . Это значит, что сразу можем записать : и , откуда получаем: = –11.

2). Определим точку из системы уравнений: → = (3, 1).

3). Определим точку из условия: =, или ===(11,–11).

Ответ: симметричная точка =(11,–11).

Пример 6–230: Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника(5,–4),(–1, 3),(–3,–2) параллельно противоположным сторонам.

Решение:

Замечание: хотя на рисунке символами,,отмечены уравнения прямых, содержащих соответствующие стороны треугольника, на самом деле мы не станем получать эти уравнения: достаточно будет определить только угловые коэффициенты отрезков,и.

1). Определим угловые коэффициенты отрезков , и :

▫ вектор: → угловой коэффициент ;

▫ вектор: → угловой коэффициент ;

▫ вектор: → угловой коэффициент .

2). Воспользуемся уравнением: с угловым коэффициентом, с последующим переходом к общему уравнению.

▫ Определим по свойствам параллельности: , и принадлежности: . Это значит, что : , или в общем виде: .

▫ Определим по свойствам параллельности: , и принадлежности: . Это значит, что : , или в общем виде: .

▫ Определим по свойствам параллельности: , и принадлежности: . Это значит, что : , или в общем виде: .

Ответ: общие уравнения :,:,:.

Пример 7–251: На прямой:найти такую точку, сумма расстояний которой до точек:(–7,1), и(–5,5) была бы наименьшей.

Решение:

При решении задачи в общем случае точки , могут находиться как по одну сторону от заданной прямой, так и по разные. В каждом из этих случаев решение задачи использует разные алгоритмы. Представляет интерес получить общий метод решения задачи.

R¹. Пусть точки , располагаются в разных полуплоскостях прямой .

В этом случае решение задачи следует из классического неравенства треугольника. Обозначим стороны произвольного треугольника: ,, . Тогда: , то есть любая сторона треугольника не больше суммы двух других его сторон, причём равенство достигается только в случае, если все точки принадлежат одной прямой.

Из рисунка следует, что сумма отрезков будет наименьшей в случае, если точка совпадает с точкой , принадлежащей отрезку .

R². Пусть точки , располагаются в одной полуплоскости относительно прямой . В этом случае, как и в случае R¹, основным элементом решения задачи является неравен­ство треугольника.

Решение задачи становится очевидным, если воспользоваться точкой , симметричной точке относительно прямой . В этом случае используем равенство треугольников: пары = и пары =.

Так как = и =, то сум­ма расстояний . Это значит, что искомая точка в этом случае находится как точка пересечения отрезка и заданной прямой .

Из рассмотренных вариантов взаимного расположения точек , и прямой следует, что решение задачи должно начинаться с выявления какой именно вариант реализуется в рассматриваемом примере. Далее схема решения задачи достаточно проста.

1). В нашей задаче представлен случай R², так как: =2·(–7)–1–5<0, и =2·(–5)–(–5)–5<0, то есть точки , располагаются в одной полуплоскости прямой .

2). В соответствии с R², построим точку , симметричную точке относительно прямой , применяя, рассмотренный ранее, типовой алгоритм:

▫ Определим = по свойствам: перпендикулярности: , и принадлежности: . Это значит, что : и , откуда получаем: = –5.

▫ Определим точку , из условия =, то есть из системы: → =(3,1).

▫ Определим точку , симметричную , из условия: =, или =2–=(11,–3).

3). Имея точки и , вычислим угловой коэффициент отрезка : . Обозначим уравнение прямой, проходящей через точки и , как =. Её угловой коэффициентом . Тогда можем записать:

: → : .

4). Точку определим по свойству: , из системы → =(2,–1).

Ответ: = (2,–1).

Пример 8–265: Доказать, что формулу для определения угламежду двумя прямыми:и:можно записать в виде выражения: .

Решение:

Способ–1:

1). Из уравнений прямых следует: = и =. Запишем: и .

2). Вычислим: , или . Так как для любых векторов ≥0, то модулем в правой части последнего выражения можно не пользоваться.

3). Запишем: (учитывая п. 1 и 2) = .

Замечание: при решении этой задачи мы не искали геометрический смысл , просто применяли аналитические выражения.

Способ–2:

1). Имея уравнения прямых ,, нетрудно записать для них направляющие векторы: = и =. Для этих векторов угловые коэффициенты определяются выражениями: и .

2). Воспользуемся известной формулой: .

Замечание: в этом случае решение построено с учетом геометрического смысла .

Ответ: Доказано.

Пример 9–266: Определить угол,образованный двумя прямыми, для представленных случаев:

1) ,, 2),.

Решение:

Общая схема решения задачи:

R¹. Из уравнений прямых определим векторы нормалей: = и =.

R². Воспользуемся формулой: .

1). Для исходных данных варианта 1): =(3,–1) и =(2,1) → → = 45⁰.

2). Для исходных данных варианта 2): =(,–) и =(3+,–). Тогда можем записать: → = 60⁰.

Ответ: 1) = 45⁰, 2) = 60⁰.

Пример 10–275: Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину(4,–1), а также уравнения высоты :и медианы :, проведенных из од­ной вершины.

Решение:

1). Имея уравнения медианы и высоты , определим координаты точки = из системы уравнений: Ре­шение системы: = (–3, 2).

2). Уравнение прямой (обозначим ) определим по свойству принадлежности :

: → :.

3). Определим = по свойствам перпендикулярности: , и принадлежности: . Это значит, что : и , откуда получаем: = –10. Окончательно : .

4). Определим координаты точки =, то есть из системы: откуда получаем: =(6,–4).

5). Применяя равенство , вычисляем: =2–=(8,–7).

6). Уравнение прямой (обозначим ) определим по свойству принадлежности :

: → :.

Ответ: уравнения : , : , : .

Пример 11–312: Вычислить величину отклонения и расстояние от точки до прямой в каждом из случаев: 1)(2,–1),; 3)(–2,3),.

Решение:

Общее: а) нормализуем каждое уравнение прямой умножением на число: .

б) вычисляем =·, знак (+), если С<0 знак (–), если С>0; вычис­ляем .

1). Для случая 1: → = → =3.

2). Для случая 3: → = → =4.

Ответ: 1) = –3, = 3; 2) = –4, = 4.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение прямой?

2. Как записывается уравнение прямой в параметрической форме?

3. Что значит «уравнение прямой в отрезках»?

4. Как проводится «нормализация общего уравнения прямой»?

5. Что значит «угловой коэффициент» вектора, прямой?

6. Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?

7. Что такое «отклонение» точки от заданной прямой, как его вычисляют?

8. Как определить, лежат ли заданные точки А и В в одной полуплоскости или в разных?

9. Как определить угол между заданными прямыми?

10. Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых?

11. Как определить внутренний угол заданного треугольника?

Задачи для самоподготовки:

Пример 1–213: Определить точки пересечения прямой : с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

Ответ:точки: и.

Пример 2–216: Даны уравнения двух сторон параллелограмма:,:и уравнение одной из его диагоналей:. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Ответ:=(–2,5);=(5,–9);=(1,–3);= (8,–17).

Пример 3–218: Площадь треугольника= 8, две его вершины:(1,–2),(2,3), а третья вершиналежит на прямой:. Определить координаты вершины.

Ответ: = (–1,4) или = (25,–36).

Пример 4–225: Даны уравнения двух сторон прямоугольника: ,:и уравнение одной из его диагоналей:. Найти вершины прямоугольника.

Ответ:=(1, 8);=(4, 2);=(2, 1);= (–1,7).

Пример 5–228: В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

1). , ; 2). , ;

3). , ; 4) , ;

5). , .

Ответ:прямые :,:,:,:,

:.

Пример 6–231: Даны середины сторон треугольника(2,1),(5,3),(3,–4). Составить уравнения его сторон.

Ответ:прямые :, :, :.

Пример 7–252: На прямой найти такую точку , разность расстояний которой до точек(4, 1) и(0, 4) была бы наибольшей.

Ответ:(2,5).

Пример 8–267: Даны две вершины треугольника(–10,2) и(6,4);его высоты пересекаются в точке(5,2). Определить координаты третьей вершины.

Ответ:(6,–6).

Пример 9–274: Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину(2,–1), а также уравнения высоты:и биссектрисы:, проведенных из разных вершин.

Ответ:прямые :, :,: .

Пример 10–299: Даны прямые:,:,:,:,:. Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.

Ответ:уравнения : ,: ,: ,: ,: ; на рисунке графики.

< * * * * * >