§ 4. Биссектрисы углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми.

Пусть имеем две прямые: , её вектор нормали = и : , её вектор нормали =. Будем предполагать, что векторы и всегда располагаются внутри одного из углов, образуемых пересекающимися прямыми (векторы и – свободные!). В общем случае прямые при пересечении образуют один угол острый, а второй тупой. Возникает классическая задача: найти уравнение биссектрисы тупого и острого углов.

Существует несколько способов решения задачи. В каждом из них на первом шаге уста­навливается факт: векторы и располага­ются в области тупого угла или в области ост­рого. На этот вопрос достаточно просто отве­чает скалярное произведение векторов: а) ∙ > 0 – векторы расположены в области тупого угла; б) ∙ < 0 – векторы расположены в области острого угла. Далее рассмотрим наиболее ин­тересные способы решения поставленной задачи.

Способ–1. Пусть векторы и располагаются в области тупого угла. Учтём, что для точек, расположенных внутри тупого угла с векторами и отклонения от прямых и положи­тельно: >0, >0. Это значит, что для точек биссектрисы тупого угла выполняется равенство: или: =. ()

Если бы теперь нужно было построить биссектрису острого угла, то уравнение нужно за­писать в виде: = –. ()

Если бы векторы и располагались в области острого угла, то биссектриса острого угла определялась бы выражением , а биссектриса тупого – выражением .

Способ–2. В этом случае примем схему решения задачи: а) находим точку пересече­ния прямых и ; б) находим направление биссектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.

Для определения направления биссектрис построим единичные векторы: и , затем суммы: =+–определяет направление биссектрисы угла, содержащего векторы ,; =––определяет направление биссектрисы угла, смежного первому.

Используя угловой коэффициент вектора , строим биссектрису угла, содержащего векторы ,; если использовать угловой коэффициент век­тора , построим биссектрису смежного угла.

Замечание: на самом деле, достаточно найти толь­ко один вектор: для первой биссек­трисы он играет роль направляющего вектора, а для второй – роль вектора нормали.

Способ–3. Воспользуемся уравнением пучка прямых: и вектором , который будет иг­рать роль направляющего или нормального, в зависимости от конкретного задания.

Интересно рассмотреть один и тот же пример, решив его сразу всеми тремя способами: это позволит сравнить их трудоёмкости!

☺☺

Пример 3–27: Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного прямыми::;:.

Решение:

Имеем: =(3,–4) и =(12, 5). Вычис­лим: ∙=>0 – векторы рас­по­ло­жены в области тупого угла. Далее рас­смотрим решения поставленной задачи тре­мя способами.

Способ–1. Воспользуемся формулой при условии равенства отклонений произвольной точки биссектрисы от и : =, откуда получаем уравнение биссектрисы выделенного угла: .

Способ–2. В этом случае примем схему решения задачи: а) находим точку , в которой пересекаются прямые и ; б) находим направление бис­сектрис ; в) проводим прямую через заданную точку в заданном направлении.

Координаты точки находим из системы урав­нений: → =.

Для определения направления искомой биссектрисы построим единичные векторы =(3,–4) и =(12,5), затем вектор суммы: =–=–(3,11) – нормаль биссектрисы угла, содержащего векторы ,. Примем: =(3,11). Тогда уравнение биссек­трисы запишем в виде: 3+11=0, или .

Способ–3. Воспользуемся уравнением пучка : +=0, или в виде: =0 и направляющим вектором =(11,–3). Вектору соответствует угловой коэффициент =–. Тогда: ===–. Получаем уравнение искомой биссектрисы: .

Ответ: искомая биссектриса: .

Замечание: трудоёмкость рассмотренных способов различна; одновременное использование разных способов полезно наблюдением одинакового окончательного результата.

☻