§ 2. Нормальное уравнение прямой.

Одной из важных форм уравнения прямой является нормальное (нормированное) урав­нение прямой. Мы увидим, как можно получить такое уравнение из общего уравнения пря­мой, но нам важно оценить геометрический смысл нормального уравнения!

Всоответствии с представленным эскизом и с учётом принятых обозначений, отметим: точка = принадлежит прямой . Пусть вектор – единичный, то есть: . Вектор не есть свободный: его начало совпадает с точкой (начало системы координат ). Направлен вектор перпендикулярно прямой . Из тригонометрии известно, что координату точки на единичной окружности можно определить вектором: . Угол определяет направление вектора по отношению к лучу и может принимать любое значение от 0 до .

Как было определено ранее, проекцией вектора = на направление вектора есть отрезок ==. Обозначив =, последнее равенство запишем в виде:

. (13)

Полученное уравнение называют нормальным. Следует отметить, что, даже получив это уравнение, при всей оригинальности его получения, информации о пользе практического использования нормального уравнения не добавилось!

Наиболее полно геометрический смысл нормального уравнения раскрывается после введения понятия отклонения – (и расстояния ) произвольной точки от прямой .

В самом термине отклонение проявляется намёк на то, что отклонение определяется отрезком (рисунок ниже). Так как точка может располагаться и по одну, и по другую сторону прямой, то отрезок может быть как положительным, так и отрицательным, если его определять как проекцию вектора на направление, определяемое вектором .

В соответствии с рисунком имеем: если точки и располагаются по разные стороны от прямой , то =>0, в противном случае =<0. Этот результат угадывается из рисунка. Важно получить аналитическое подтверждение наблюдений!

Вычислим отрезок . В соответствии с рисунком можем записать: =, где = и =.

Но тогда, в соответствии с определением получаем:

.

Из выражения для вычисления легко заметить:

а) если точка располагается на прямой , то ==0,

б) если точки и располагаются по разные стороны от прямой , то =>0,

в) если точки и располагаются в одной полуплоскости прямой , то =<0.

Найдя отклонение , запишем выражение для вычисления расстояния точки = от данной прямой : =.

Теперь в полной мере раскрылась практическая польза применения нормаль­ного уравнения прямой: удобство вычисления отклонения и расстояния от точки до прямой .

После этого переход от общего уравнения : к нормальному виду (нормализация) становится логичным и геометрически обоснованным:

1). Умножим общее уравнение на число и сравним его с нормальным уравнением:

=;

2). Так как записанное равенство есть тождество, с учётом, что >0, получаем:

→; ; причем:

В результате нормализации вектор нормали прямой преобразован в единичный вектор : → – ед. вектор!

Если параметр >0, то в качестве вектора нормали прямой принимают вектор , если же <0, то в качестве вектора нормали прямой принимают вектор .

Важно отметить, что общее уравнение теперь тоже обнаруживает геометрический смысл: при помощи вектора мы можем измерять и отклонение, и расстояние, только в качестве единицы измерения выбирается модуль: .

☺☺

Пример 3–21: Площадь треугольника= 8, две его вершины:(1,–2),(2,3), а третья вершинаCлежит на прямой:. Определить координаты вершины.

Решение:

Замечание: учтём, что возможно два случая расположения точкина заданной прямой: в верхней полуплоскости относительно прямойи в нижней. Это следует из того, что площадьне зависит от знака отклонения точкиот заданной прямой.

Представляет интерес решить задачу разными способами, причём так, чтобы использовался разный набор аналитических средств.

Способ–1: существенно использует геометрические соотношения из элементарной геометрии.

1). Вычислим = . Вычислим высоту : .

2). Уравнение прямой , содержащей отрезок , определим по свой­ствам :

: → .

2). Нормализуем уравнение прямой : умножением на число : (5x–y–7) ·=0;

3). Вычисляем отклонение точки : =·==. Получено уравнение: =. Одновременно, из условия : .

4). Для определения координат точек и необходимо решить системы уравнений:

: → =(–1,4); : → = (25,–36).

Способ–2: в наибольшей степени опирается на средства аналитической геометрии.

1). Воспользуемся формулой: = =16, ==(1,5); ==.

2). Вычислим: .

2). Тогда: ==. Далее совпадает с пунктом 4 Способа-1.

Замечание: второй способ использует меньше геометрических и аналитических «факторов»!

Ответ: = (–1,4) или = (25,–36).

Пример 3–22: Вычислить величину отклоненияи расстояниеот точки до прямой в каждом из следующих случаев: 1)(2,–1),; 2)(–2,3),.

Решение:

Общее: А) Нормализуем уравнение: умножением на число .

Б) Вычисляем отклонение точки от прямой: =·(). Выбираем знак плюс, если <0, знак минус, если >0. После этого вычис­ляем расстояние: =.

1). Для случая 1: =– → =(4·2+3·(–1)+10)·=–3 → =3.

2). Для случая 2: = → =(3·(–2)–4·3–2)· =–4 → =4.

Ответ: 1) =–3, =3; 1) =–4, =4.

Пример 3–23: Заданы параллельные прямые: : ; : ; : . Уста­новить, что первая из заданных прямых лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

Решение:

Способ-1:

1). Приведём уравнения заданных прямых к виду . Первая прямая может быть записана в виде: : , : , : . Видим: → прямая лежит между прямыми и .

2). Вычислим: =, =. После чего, получено: =.

Способ-2:

1). Выделим на прямой точку =. Оценим знак отклонения точки от прямой из выражения: =<0. Знак отклонения точки от определяется из =>0. Так как знаки величин и разные, то точка лежит ме­жду прямыми и .

2). Запишем уравнения прямых и в нормальной форме: : и : .

3). Вычислим расстояния точки от и : =, =–. Отношение расстояний: =.

Ответ: прямая лежит между прямыми и ; отношение, в котором прямая делит расстоя­ние между и равно 2 к 3.

Пример 3–24: Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми: , :, содержит начало координат.

Решение:

Общее: а) нормализуем общее уравнение прямой: : умножением на нормирующее число ;

б) вычисляем отклонение точки от прямой : =, знак (+), если <0, знак (–), если >0; вычис­ляем =.

1). Для рассматриваемой задачи не требуется вычислять ни отклонения, ни расстояния: важно только правильно ориентировать векторы нормалей прямых. С этой целью перепишем уравнения прямых : , : , этим прямым соответствуют векторы нормалей: =(–3,2), =(2,1).

2). Из преобразованных уравнений легко видеть, что ,<0. Это значит, что начало координат и векторы , располага­ются в разных полуплоскостях!

3). Так как: ·=–3<0, то угол между векторами , тупой. Из последнего следует, что угол между прямыми ,, в котором закреплены векторы ,, – острый. Так как точка располагаются в вертикальном угле по отношению к векторам ,, то ответом на вопрос задания является: угол, в котором располагается точка , острый.

Ответ: угол, в котором располагается точка , острый.

☻