Глава 3. Уравнения прямой на плоскости. Пучок прямых на плоскости.
В Главах 2 и 3 были построены аналитические модели точки, отрезка и вектора. Применение этих моделей при решении простейших задачах продемонстрировало эффективность средств аналитической геометрии. Ещё большие возможности раскрыли операции скалярного и векторного произведения векторов: содержании геометрических задач стало ещё более разнообразным. В то же время, набор средств, представленных в Главах 2,3, обнаруживает два очевидных недостатка:
▫ для определения простейшей геометрической фигуры, необходимо задать минимальный набор точек и характеристик отрезков;
▫ нахождение точек пересечения отрезков требует большой изобретательности и дополнительных сведений о взаимном расположении отрезков.
☺☺
Пример 3–01:
Два отрезка:
и
определены точками
.
Найти точку пересечения этих отрезков.
Решение:
1). Очевидно, отрезки
и
определить меньшим количеством точек
невозможно. Если точки отмечены на
плоскости, то при помощи чертёжных
инструментов (линейка, карандаш) вполне
легко установить пересекаются отрезки
или не пересекаются. Если пересекаются,
то увидеть точку пересечения:
.
2).
Аналитическое решение задачи требует
достаточно терпения и изобретательности.
Можно воспользоваться аксиомами
геометрии и записать:
где:
,
,
3). После нахождения
точки
определить: пересекаются ли отрезки.
4). Решать записанную систему уравнений редко кто захочет: особенно из числа успешно сдавших ЕГЭ! А ведь ещё нужно ответить на вопрос пункта 3!
Ответ: энтузиазм пропал, и решать не хочется!
☻
В
настоящей главе мы получим аналитическую
модель прямой линии, располагающейся
на плоскости
,
проще: получим уравнение прямой на
плоскости. Совместно со средствами
аналитической геометрии, разработанными
в Главах 1,2, добавляемые в Главе 3 средства
позволят задачи геометрии на плоскости
решать максимально просто и эффективно!
§ 1. Уравнения прямой на плоскости: общее и каноническое. Угол двух прямых.
Образ
прямой впервые появляется в поле зрения
школьника в виде алгебраического
выражения (функции):
,
где
– угловой коэффициент прямой,
– отрезок (со знаком), отсекаемый прямой
на оси
.
При изучении производной для функции:
было установлено свойство:
.
Это значит, что для произвольных точек,
принадлежащих одной прямой:
,
верно:
.
Отметим, что уравнение
для большинства школьников так и осталось
знанием, принятым
на веру:
связь с геометрическими образами не
устанавливалась! Теперь эта связь будет
нас интересовать в первую очередь!
Определим аналитическую модель (уравнение) прямой на плоскости в соответствии с аксиомами планиметрии и некоторым, минимальным, набором условий:
▫ заданы две точки, принадлежащие прямой;
▫ задана точка, принадлежащая прямой, и направление прямой.
Мы
увидим, что при любом способе задания
прямой переменные
и
входят в аналитическое выражение
(уравнение) в 1-й степени.
1.1.
Общее
уравнение прямой.
Пусть на плоскости заданы точка
и вектор
.
Необходимо построить уравнение прямой,
проходящей через точку
,
перпендикулярно вектору
.
Вектор
называют вектором нормали
прямой. На рисунке красным цветом
выделены заданные элементы:
Из
геометрии известно, что на плоскости
(!) через заданную точку можно провести
только одну прямую, перпендикулярную
заданной прямой (заданному направлению!).
Выберем на прямой произвольную точку
и построим вектор
.
Так как
,
то, используя свойство скалярного
произведения, можем записать:
∙
=
=
=
0. (1)
Уравнение (1) приводится к виду:
,
или
. (2)
Уравнение
(2) называют общим
уравнением
прямой: с одной стороны, отражает
первичные геометрические свойства, с
другой стороны, из него легко получают
другие выражения для прямой на плоскости.
Учитывая способ получения уравнения:
,
можем отметить: любое уравнение, в
которое входят неизвестные
в первой степени, определяет прямую на
плоскости.
Используя уравнение (2), рассмотрим совокупные свойства двух произвольных прямых:
:
и
:
.
Из
уравнений этих прямых можем записать
векторы:
=
и
=
.
Выделим частные случаи взаимного
расположения прямых
и
:
1). Пусть
прямые
и
параллельны, но не совпадают. Тогда
параллельны
векторы нормалей заданных прямых
||
.
Это значит, что:
.
Так как
и
не совпадают, то отношение:
.
Этот факт можно отметить замечанием:
уравнения прямых
и
– различны.
2). Пусть
прямые
и
совпадают. Тогда, в соответствии с
пунктом 1, этот случай можно отметить
условием:
.
Это значит, что уравнения
и
совпадают.
3). Пусть
прямые
и
взаимно перпендикулярны. Следует:
перпендикулярны векторы
и
.
Но тогда, по свойству скалярного
произведения,
,
то есть
.
Это значит, что либо
=
,
либо
=
.
4). Пусть
прямые
и
пересекаются. Из аксиом геометрии
следует, что в этом случае существует
единственная общая точка этих прямых.
А в алгебре утверждают, что существует
единственное решение системы уравнений:
(3)
Замечание:
отнесём свойства решений системы (3) к
рассмотренным случаям 1) и 2): в случае
1) система (3) решений не имеет (прямые не
имеют общих точек); в случае 2) решений
бесконечно много (фактически имеем одно
уравнение с двумя неизвестными): любая
точка, принадлежащая прямой
,
принадлежит и прямой
!
Используя
общее уравнение прямой
:
,
получим частные выражения для уравнения
прямой на плоскости:
1). Пусть
точка
принадлежит прямой l.
Это значит:
.
Вычтем из уравнения
равенство
.
Получено уравнение прямой, проходящей
через заданную точку:
. (4)
Замечание: уравнение (4) совпадает с уравнением (1), которое было первичным при получении общего уравнения прямой.
2). Из общего уравнения (2) нетрудно получить уравнение с угловым коэффициентом k и параметром b:
→
,
где
,
. (5)
Замечание:
для быстрого преобразования записи (5)
к виду общего уравнения прямой полезно
представить вектор нормали:
и
,
и тогда уравнение:
.
3). Имея
уравнение (5), нетрудно получить уравнение
прямой, проходящей через точку
,
с угловым коэффициентом:
,
→
. (6)
Замечание:
в этом случае:
и общее уравнение:
.
4). Пусть
заданы точки:
,
.
Для того, чтобы использовать уравнения
(6) для рассматриваемого частного случая
запишем:
и
.
Одновременно попробуем направление
прямой, указанное заданием координат
и
двух точек, преобразовать в направление,
определяемое вектором нормали прямой.
Перепишем
уравнение (6) с учётом принятых обозначений:
. (7)
Замечание:
в этом случае:
и общее уравнение:
.
5). Пусть
заданы точки:
,
.
Для построения уравнения прямой примем:
,
.
Воспользуемся
уравнением: 
.
Тогда уравнение прямой принимает вид: 
→ 
– уравнение
в отрезках. (8)
Замечание:
в этом случае вектор нормали прямой:
,
общее уравнение прямой, проходящей
через точку
,
принимает вид:
.
Уравнение в отрезках легко получить (преобразования очевидны) из общего уравнения (2):
,
причём:
,
. (8)
Замечание: термин в отрезках отмечает, что уравнение прямой использует величины отрезков (со знаком!), отсекаемых прямой на осях координат.
Посмотрим теперь, как можно решить задачу, которой мы испугались в самом начале, при рассмотрении взаимного положения отрезков.
☺☺
Пример 3–02:
Два отрезка:
и
определены точками
,
,
,
.
Найти точку пересечения этих отрезков.
Решение:
1). Воспользуемся
уравнением прямой (7) и запишем уравнения
прямых
:
и
:
.
Вычислим:
,
.
Тогда получим:
:
,
:
,
уравнения прямых, содержащих заданные
отрезки.
2). Вычислим точку
пересечения
и
:
→
=(1,2).
3). Так как
,
то точка пересечения прямых принадлежит
отрезку
.
Так как
,
то точка пересечения прямых принадлежит
отрезку
.
Следовательно, отрезки
и
пересекаются.
Ответ:
отрезки
и
пересекаются!
☻
1.2.
Каноническое
уравнение прямой.
При построении общего уравнения прямой
направление прямой было определено
нормалью прямой. Более естественным
было бы определить направление прямой
вектором, параллельным этой прямой.
Итак, пусть на плоскости
задана точка
и вектор
,
параллельный искомой прямой
.
Выберем на прямой произвольную точку
и построим вектор
.
Так как
векторы
и
параллельны, то, используя свойства
коллинеарных векторов, можем записать
равенство:
,
или
=
,
которое будем использовать для построения
различных уравнений прямой.
1). Из
уравнения
=
,
используя свойство векторов, получаем
основное уравнение этого вида:
–каноническое
уравнение
прямой. (8)
2). Из
уравнения (8) нетрудно получить уравнение
прямой, проходящей через точку
с
угловым коэффициентом k:
. (9)
Замечание:
для быстрого преобразования записи (9)
к виду общего уравнения прямой полезно
представить вектор нормали:
,
и тогда общее уравнение прямой принимает
вид:
.
3). Пусть
заданы точки:
,
.
Тогда:
=
.
Для
построения уравнения прямой примем:
,
.
Тогда
уравнение прямой принимает вид:
. (10)
Замечание:
для быстрого преобразования записи
(10) к виду общего уравнения прямой полезно
представить вектор нормали:
и общее уравнение:
.
4). Пусть
заданы точки:
,
.
В этом случае:
(получено при рассмотрении общего
уравнения).
В этом
случае каноническое уравнение прямой
принимает вид: 
. (11)
Замечание:
в этом случае вектор нормали прямой:
,
общее уравнение прямой, проходящей
через точку
,
принимает вид:
.
5). Из
уравнения
=
,
используя свойство векторов, получаем
параметрические
уравнения прямой
(физический смысл: движение вдоль прямой
l
со скоростью
из начальной точки
):
–параметрическая
форма уравнения прямой. (11)
Замечание: важно ещё раз отметить, что из общего уравнения прямой (2) формально (без уточнения геометрического смысла!) получены все виды уравнений прямой.
1
.3.
Угол
при пересечении двух прямых.
Пусть имеем две прямые
:
и
:
.
Это значит, что определены векторы
нормалей прямых:
=
,
=
и направляющие векторы этих прямых
=
и
=
.
Угловые коэффициенты векторов
и
определяются выражениями:
и
,
это –
угловые
коэффициенты прямых
и
.
Учитывая
формулу тригонометрии:
,
а также полученное ранее выражение для
скалярного произведения векторов, можем
записать:
1*
,
или
;
2*
. (12)
Замечание: в
совокупности выражения (12) отвечают на
вопросы: тупой или острый угол между
заданными векторами
и
,
положительный или отрицательный угол
между векторами
и
:
если
>0, то вектор
совмещается с
вращением против стрелки часов, если
<0,
то по часовой стрелке!
Рассмотрим некоторые простейшие примеры, иллюстрирующие использование полученных уравнений. Важно заметить, что при использовании аналитических выражений (числовых моделей задач!) не обязательно построение точных чертежей на плоскости координат OXY: достаточно обходиться «приближёнными эскизами».
☺☺
Пример 3–03:
Задана прямая линия
:
Определить, какие из точек:
=(3,1),
=(2,3),
=(6,3),
=(–3,–3),
=(3,–1),
=(–2,1)
лежат на этой прямой.
Решение:
1).
Запишем уравнение для линии
в виде:
.
Это уменьшает вероятность ошибок в
вычислениях (важно для успешно сдавших
ЕГЭ!).
2).
Подставляем координаты заданных точек
в уравнение
.
Если получается числовое тождество,
точка принадлежит заданной прямой.
Иначе – точка не принадлежит прямой.
→
→
,
→
→
,
→
→
,
→ 2∙(–3)=3∙(–3)+3
→
,
→2∙3≠3∙(–1)+3
→
;
→ 2∙(–2)
≠3∙1+3
→
.
Ответ:
точки
,
,
;
,
,
.
Пример 3–04:
Точки
расположены на прямой
:
.
Их ординаты, соответственно, равны
числам
1,
0, 2, –1,
3.
Определите
абсциссы этих точек.
Решение:
Так как
заданные точки принадлежат прямой
,
то координаты точек
должны удовлетворять уравнению этой
прямой. Так как все вычисления должны
производиться по одной и той же
формуле (технологии), запишем ее: xi=
.
Используя эту формулу, легко (устно!)
записать ответ.
Ответ:
=1,
,
,
,
.
Пример 3–05:
Найти точку пересечения прямых линий
:
,
:
.
Решение:
Точку пересечения прямых можно найти, решив систему уравнений:
–решение (3,–5).
Ответ: точка (3,–5).
Пример 3–06:
Площадь треугольника
=1.5,
две его вершины определены точками
=(2,–3)
и
=(3,–2).
Центр масс треугольника лежат на прямой
:
.
Определить координаты третьей вершины
треугольника
.
Р
ешение:
1). Проверка
показывает, что вершины заданного
треугольника
и
не принадлежат прямой
.
2). Будем
считать, что
не проходит через точку
:
так как центр масс лежит на пересечении
медиан треугольника
,
то
,
в общем случае не содержит медиану
.
Примем обозначения:
=
=
=
,
=
=
,
=
,
=
,
=
.
3). Так
как точка
принадлежит
,
то справедливо равенство:
.
Вычислим координаты вектора:
=
.
Известно, что площадь треугольника (со
знаком!) вычисляется по формуле:
=
=
=
. (6.1)
4). Используя
равенства (6.1), а также условие:
=1.5,
для координат точки
получаем два равенства:
и
.
(6.2)
5). По свойству точки пересечения медиан запишем:
3·
=
→ 3·
=
→
(6.3)
6). Перепишем
равенство:
в виде
,
а пару равенств (6.3) запишем
так:
→
. (6.4)
Заменяя
в равенстве (3.4) левую часть на число:
3·8, получаем равенство:
.
7). Для
вычисления
координат точки
воспользуемся уравнениями (3.2) и
уравнением, полученным в пункте 6):
.
Получаем два варианта системы уравнений:
→
=
;
→
=
.
Ответ:
два варианта: 1)
=
;
2)
=
.
Пример 3–07:
Дана прямая
:
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через заданную точку
=(2,1):
–
параллельно данной прямой;
–
перпендикулярно данной прямой.
Р
ешение:
1).
Запишем уравнение двух прямых
:
и
:
.
Условие параллельности:
,
если
.
Примем
=
=(2,3);
условие перпендикулярности:
,
если
,
Примем
=
=(3,–2).
2).
Тогда для случая параллельности
запишем уравнение
:
,
где параметр
определяется условием
:
.
Из последнего равенства легко находим:
=–7.
Получаем
:
.
3).
Для случая перпендикулярности
запишем
:
,
где параметр
определяется условием
:
.
Из последнего равенства легко находим:
=–4.
Получаем
:
.
Ответ:
два варианта: 1)
:
;
2)
:
.
Пример 3–08:
Определить угловой коэффициент
и отрезок
,
отсекаемый на оси
,
для каждой из прямых:
:
;
:
;
:
;
:
.
Решение:
1).
Из общего уравнения прямой:
ранее были получены общие формулы:
=–
,
=–
. (7.1)
2).
Используя формулы (7.1),
вычисляем параметры
и
для всех представленных прямых:
:
k
=5, b
=3;
:
k
=
,
b
=–2;
:
k
=
,
b
=0;
:
k
=0, b
=3. (7.2)
З
амечание: представляет
интерес использование параметров
и
для построения графиков прямых, заданных
уравнением
:
а)
откладываем отрезок
на оси
;
б) от
точки
откладываем вправо отрезок длиной 1,
получаем точку
;
в) на
прямой, параллельной оси
,
откладываем отрезок длиной
вверх от точки
,
если
>0,
или вниз
,
если
<0;
проводим прямую через точки
и
.
Ответ:
:
k
=5, b
=3;
:
k
=
,
b
=–2;
:
k
=
,
b
=0;
:
k
=0, b
=3.
Пример 3–09:
Найти проекцию точки
=(–6,4)
на прямую
:
.
Решение:
С
пособ–1:
1).
Запишем уравнение прямой
:
,
проходящей через точку
,
перпендикулярно прямой
.
Учитывая условие перпендикулярности
и
,
для прямой
можем записать уравнение:
.
Для вычисления параметра
учтём, что
.
Подставляя координаты точки
в уравнение для
,
получаем
=14.
Таким образом, имеем
:
.
2).
Проекция точки
на прямую l1
определяется из системы уравнений: 
именно:
=(–2,–1).
Способ–2:
1
).
Выберем на прямой
произвольную (удобную для вычислений!)
точку
=(3,3)
и построим вектор
=
=
–
=(–9,1).
Направление прямой
определяется её направляющим вектором:
=(5,4).
Вычислим проекцию вектора
на направление вектора
,
обозначив её как
.
Известно, что
=
=–
.
2).
Построим вектор
=
=
–
=(x–3,y–3).
Учтём:
=
и условие
,
получим систему уравнений:
откуда
получаем:
=
=(–2,–1)
и
=
=(8,7).
3).
Получено два вектора: а) для точки
=
вектор
=
=(–5,–4);
для него скалярное произведение:
∙
>0,
то есть угол
– острый; б) для точки
=
вектор
=
=(5,4);
для него скалярное произведение:
∙
<0,
то есть угол
– тупой.
4). Так
как
при проектировании угол
острый, то решением является точка
=
=(–2,–1)!
Ответ:
проекция точки
на
есть точка
=
(–2,–1).
Замечание: рассмотренные способы решенияПримера 3–09выразительно иллюстрируют, как добавление операции выделения точки пересечением двух прямыхрасширяет возможности аналитической геометрии!
Пример 3–10:
Даны две точки:
=(2,3),
=(–1,0).
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно
.
Решение:
1).
Так как
=(3,3),
то его направляющим вектором пусть
будет вектор
=(1,1)
– коллинеарен вектору
.
2
).
Пусть уравнение искомой прямой
:
и её вектор
=
=
=(1,1).
Используя вектор нормали прямой
,
запишем её уравнение:
.
3).
Учитывая условие:
,
получим уравнение для вычисления
параметра
прямой, из которого следует:
=1.
Уравнение прямой
принимает вид:
.
Ответ:
уравнение прямой:
.
Пример 3–11:
Стороны треугольника заданы уравнениями.
Пусть уравнение
:
определяет сторону
;
уравнение
:
определяет сторону
и
:
определяет
.
Определить точку пересечения его
высот.
Р
ешение:
1).
Вычислим координаты точек
и
как пересечение соответствующих прямых:
=
→
→
;
=
→
→
.
2). Высота
,
опущенная из вершины треугольника
на сторону
,
перпендикулярна прямой
.
Это значит, что уравнение прямой,
содержащей отрезок высоты
,
может быть записано в виде
:
.
Из условия
легко определяется:
=–11.
Тогда
определяется окончательно:
.
3). Высота
,
опущенная из вершины треугольника
на сторону
,
перпендикулярна прямой
.
Это значит, что уравнение прямой,
содержащей отрезок высоты
,
может быть записано в виде
:
.
Из условия
легко определяется:
=–5.
Тогда
определяется окончательно:
.
4).
Вычислим координаты точки
из системы:
→
.
Так как все три высоты треугольника
пересекаются в одной точке, то найденная
точка
пересечения двух высот и есть решение
задачи.
Ответ:
высоты треугольника пересекаются в
точке:
=(3,4).
Пример 3–12: В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:
1).
,
,
2)
,
.
3).
,
,
4)
,
.
5).
,
.
Решение:
1).
Для каждой пары параллельных прямых
и
можно было бы поступить так:
▫ взять
произвольную точку
на плоскости
и через неё провести прямую
,
перпендикулярную прямым
и
;
▫ вычислить
точки
и
пересечения
с
и
,
и поделить отрезок
пополам
→ определяется средняя точка
;
▫ провести
через точку
прямую
,
параллельную
,
.
2).
На самом деле мы поступим значительно
проще. Приведём уравнения
,
,
а также уравнение
к виду:
:
,
:
,
:
. (12.1)
Замечание:
в записи (12.1) имеется в виду, что пару 3)
необходимо представить как
,
,
а пару 5) как
,
;
только в этом случае дальнейшие действия
будут верны!
3
).
Учитывая, что каждая прямая отсекает
на оси
отрезок
,
пропорциональный параметру
,
величина параметра
может быть вычислена по формуле:
=
. (12.2)
4).
После приведения всех пар параллельных
прямых к виду, указанному в (12.1), и
применения к ним формулы (12.2) получим
все необходимые прямые
:
1).
,
2).
.
3).
,
4).
,
5)
. (12.3)
Замечание:
записи
и
отражают результат умножения уравнений
на целые числа с целью избавления от
дробей!
Ответ:показано в записях (12.3).
Пример
3–13:
На прямой
найти такую точку 
,
разность расстояний которой до точек
(4,
1) и
(0,
4) была бы наибольшей.
Решение:
Замечание:
учтём, что возможно два варианта взаимного
расположения точек
,
и заданной прямой:вариант-1,
когда точки располагаются в разных
полуплоскостях
,
ивариант-2,
когда точки располагаются в одной
полуплоскости.
Вариант-1:
1
).
Пусть точка
есть основание перпендикуляра 
,
а точка 
– основание перпендикуляра 
.
Прежде всего, покажем, что искомая точка
не может располагаться левее точки 
.
2).
Вычислим координаты точки 
и длину 
,
учитывая, что это проекция точки
на прямую 
.
Такая задача рассмотрена в Примере
3-09. Выполняется последовательность
операций:
▫ составим
уравнение прямой
:
,
где
,
то есть
;
▫ вычисляем
координаты точки
как решение системы уравнений:
и
→
=
(1,2). Тогда 
и 
.
3).
Вычислим координаты точки 
,
учитывая, что это проекция точки
на прямую 
.
Выполняется последовательность операций:
▫ составим
уравнение прямой 
:
,
где
,
то есть
;
▫ вычисляем
координаты точки
как решение системы уравнений:
и
→
.
Тогда 
и 
.
4). Имея
точки
и 
нетрудно вычислить длину отрезка
=
.
Оценка отрезка
полезна тем, что при значительном
удалении точки 
влево от точки
или вправо от точки 
разность 
будет стремиться к длине
.
Для
точки 
разность 
=
=
.
Для
точки
разность 
=
=
.
Следует: левее точки 
должен располагаться минимум, а правее
максимум.
5). Вопрос
точного определения точек экстремума
величины 
может быть решён только средствами
математического анализа. Для произвольной
точки 
прямой 
запишем (в соответствии с рисунком)
расстояния:
,
(13.1)
и составим функцию:
=
, (13.2)
Учитывая,
что
,
так как координаты точки 
удовлетворяют уравнению прямой
:
,
перепишем (13.2):
=
. (13.3)
6). Из
условия экстремума 
=0
получаем (исключая общий числовой
множитель, который не влияет на искомый
результат!):
.
После возведения этого равенства в
квадрат и приведения подобных членов
достаточно просто получается уравнение:
.
Это уравнение имеет два решения:
и
.
Учитывая
результаты исследований пункта 4),
отметим: при значении
функция 
имеет максимум, при значении
минимум.
В
ариант-2:
1). В этом случае решение геометрически очевидно из «неравенства треугольника»:
,
так как
равенство достигается только для точки
:
точка пересечения прямой 
и прямой
,
содержащей отрезок
.
2). Прямая
может быть представлена уравнением:
:
→
:
.
3).
Определим точку
=
:
:
→
=
(2,5).
Замечание:
существенна разница трудоёмкости
решения задачи в вариантах 1 и 2; средства
математического анализа обеспечивают
решение задачи в любом случае; оказывается
вычисление величин:
=
>0
и
=
<0
позволяет утверждать: точки
и
принадлежат разным полуплоскостям;
значит необходимо применять алгоритм
варианта-1.
Ответ:
(2,5).
Замечание: рассмотренный пример интересен тем, что показывает одновременно и возможности математического анализа (может дать решение задачи, не вникая в детали), и важность знания геометрических особенностей (результатов из геометрии) для получения наиболее «технологичных» решений!
Пример
3–14:
Составить уравнения сторон треугольника,
зная одну его вершину
(2,–1),
а также уравнения высоты
:
и биссектрисы
:
,
проведенных из разных вершин.
Р
ешение:
1). В
соответствии с рисунком,
– прямая, содержащая сторону
треугольника
,
– содержит сторону
и
– содержит
.
2). Из
условия
следует: запись
:
,
из условия
следует равенство 
,
откуда
вычисляем: 
=
–5;
и тогда
:
.
3).
Определим точку
из системы уравнений: 
→ А
=(–1,3).
4).
Определим прямую
из условия, что
есть
биссектриса угла
.
Обозначим (и определим!) угловые
коэффициенты:
для
прямой
,
для
прямой
,
для прямой
.
Для вычисления
воспользуемся
известной формулой:
,
Подставляя в последнюю формулу значения
и
,
получим
.
Далее, из условия, что
,
получаем:
,
то есть
:
.
5).
Определим точку
из системы уравнений:
откуда
=(–5,3).
6).
Определим прямую
,
за направляющий вектор которой можно
принять вектор
=(–7,4).
Для вектора
угловой коэффициент
.
Так как
точка
,
то можем
записать:
:
,
или
:
.
Ответ:уравнения прямых
:
;
:
;
:
.
Пример 3–15:
Точка:
=(–4,5)
является вершиной квадрата, диагональ
которого лежит на прямой
:
.
Составить уравнения сторон и второй
диагонали квадрата.
Р
ешение:
1).
Воспользуемся формулой для определения
угла
между двумя прямыми, именно
:
и
:
→
=
.
(15.1)
2).
Учтём, что диагонали квадрата взаимно
перпендикулярны, а также то, что диагонали
делят каждый его угол пополам. Это
значит, углы
и
равны
.
Представим уравнение прямой, проходящей
через точку
,
выражением
:
.
Тогда, используя уравнения
:
и
:
,
из выражения (15.1) получим угловые
коэффициенты сторон квадрата
и
: 
=
→
,
. (15.2)
3).
Применим угловой коэффициент
для стороны квадрата
,
а
для стороны
.
Это определит уравнение для стороны
:
и уравнение для стороны
:
.
Или: 
и 
,
соответственно.
4).
Так как диагональ
перпендикулярна диагонали
,
то её угловой коэффициент равен
.
Тогда уравнение диагонали
:
,
или 
.
5).
Найдём координаты точек
и
,
решая системы уравнений:
:
→
=(–1,1); 
:
→
=(0,8). (15.3)
6).
Учитывая, что стороны квадрата
и
параллельны, для стороны
запишем уравнение: 
.
Из условия:
запишем: 
→
.
Получено уравнение стороны
:
.
7).
Учитывая, что стороны квадрата
и
параллельны, для стороны
запишем уравнение: 
.
Из условия:
запишем: 
→
.
Получено уравнение стороны
:
.
Ответ: уравнения сторон квадрата:
:
;
:
;
:
;
:
.
Вторая
диагональ квадрата: 
.
Пример 3–16:
Точка:
=(1,–1)
является центром квадрата, одна из
сторон которого лежит на прямой
:
.
Составить уравнения прямых, которым
принадлежат остальные стороны этого
квадрата.
Решение:
1
).
Воспользуемся формулой для определения
угла
между прямыми
:
и
:
:
=
.
(16.1)
2).
Учтём, что диагонали квадрата взаимно
перпендикулярны, а также то, что диагонали
делят каждый его угол пополам. Это
значит, углы
и
равны
.
Представим уравнение прямой, проходящей
через точку
,
выражением
:
.
Тогда, используя уравнения
:
и
:
,
из выражения (15.1) получим угловые
коэффициенты диагоналей квадрата
и
:
=
→
,
, (16.2)
используя
угловые коэффициенты из (16.2), получим
для диагонали
:
,
для диагонали
:
.
3).
Найдём координаты точек
и
,
решая системы уравнений:
:
→
=(–8,2); 
:
→
=(4,8);
4).
Найдём координаты точек
и
.
Так как
=
,
то
=2
–
=(–2,–10).
Аналогично, из равенства
=
следует
=2
–
=(10,–4).
5).
Воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две известные точки
=
и
=
,
а именно:
.
Вычислим угловые коэффициенты для
сторон
и
:
=
=
.
Из перпендикулярности
и
следует тождество:
,
где
угловой коэффициент для сторон
и
.
Следует:
=–2.
6).
Из
условия:
запишем: 
→
уравнение для стороны квадрата
:
(рассматриваем как проверку выполненных
вычислений).
7).
Из
условия:
запишем: 
→
уравнение для стороны квадрата
:
.
8).
Из
условия:
запишем: 
→
уравнение для стороны квадрата
:
.
9).
Из
условия:
запишем: 
→
уравнение для стороны квадрата
:
.
Ответ: уравнения сторон квадрата:
:
;
:
;
:
.
Пример 3–17:
Луч света направлен вдоль прямой
:
.
Дойдя до зеркальной прямой
:
,
луч от неё отразился. Необходимо составить
уравнение прямой, вдоль которой направлен
отражённый луч.
Решение:
1
).
Найдём координаты точки
,
в которой луч пересекает зеркальную
прямую
.
Решаем систему уравнений:
:
→
=(–1,2).
2). Воспользуемся
формулой для определения угла
между прямыми
:
и
:
:
=
.
В рассматриваемом примере
=
.
3). Пусть
уравнение прямой, проходящей через
точку
и содержащей отражённый луч, имеет вид
:
,
или 
.
Так как прямая
составляет с прямой
угол, тангенс которого равен –
,
то получаем уравнение для нахождения
коэффициента
воспользуемся уравнением: –
=
,
откуда легко получим:
.
Тогда
:
.
Ответ:
уравнение отражённого луча
:
.
Пример 3–18:
Определить, при каких значениях
и
две прямые
:
и
:
:
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны;
3) совпадают.
Решение:
1). Прямые
имеют одну
общую точку, если их угловые коэффициенты
и
различны:
≠
,
то есть
.
2). Прямые
параллельны, если их угловые коэффициенты
=
,
то есть
,
причём
.
3). Прямые
совпадают, если
и
.
Ответ:
1)
;
2)
и
;
3)
и
.
Пример 3–19:
Определить, при каком значении m
две прямые, заданные уравнениями
:
и
:
,
пересекаются в точке, лежащей на оси
ординат.
Решение:
1). Так
как в условии задачи сообщается,
что прямые пересекаются, проверим,
происходит ли это при любом значении
параметра
.
Условие параллельности двух прямых:
=
,
то есть
=
.
Это приводит к квадратному уравнению
,
которое имеет два решения:
=
.
Это значит, что при значениях параметра
и
прямые
и
не пересекаются.
2). Пусть
пересекает ось
в точке
.
Это значит, что
.
Для прямой
аналогично получим условие пересечения
оси
в точке
:
.
Совместно эти условия требуют:
=
,
откуда получаем значения
=0
и
=6.
Ответ:
возможно два решения:
=0
и
=6.
Пример 3–20:
Через точку
=(4,3)
проведена прямая, отсекающая от
координатного угла треугольник, площадь
которого
=3.
Определить точки пересечения этой
прямой с осями координат.
Решение:
1).
Воспользуемся уравнением в отрезках
:
+
=1.
Из условия
имеем:
+
=1.
2). Так
как
=
,
или
=6,
то получаем систему:
её решения: а)
,
;
б)
,
=
.
Ответ:
возможно два решения: а)
,
;
б)
,
=
.
☻
Рассмотренные примеры способствуют развитию образного мышления будущих инженеров. Изящество решений, широкие возможности для импровизаций должны способствовать устойчивым мотивациям: учиться, учиться и учиться!..