§ 4. Изоморфизм - мерных векторных пространств.

Итак, мы увидели, что понятие базиса привело к однозначному представлению любого вектора из пространствав виде- вектора. Раньше мы познакомились с геометрическими векторами пространства, которые мы взаимно однозначно отобразили на пространство алгебраических векторов в виде- векторов.

Возникает вопрос: чем отличаются разные векторные пространства, и в чём они родственны?

Сразу можно отметить, что векторные пространства отличаются природой векторов. Мы видели, что особенности векторов, проявляются при решении задач о линейной зависимости векторов, поиска базы пространства и интерпретации полученных решений для практического применения.

Родство линейных векторных пространств заложено в едином наборе аксиоматических свойств линейных операций. Алгебраическое родство линейных векторных пространств названо изоморфизмом.

Определение: (9.5)

Линейные векторные пространства и называются изоморфными, если между векторами из и векторами из можно установить взаимно однозначное соответствие: x ↔ x′ так что, если x ↔ x′ и y ↔ y′, то: 10: (x +y) ↔ (x′ +y′); 20: ↔ .

Из определения следует:

- линейно независимым векторам из пространства соответствуют линейно независимые векторы из пространства , и наоборот;

- размерности пространств и одинаковы: пространства различной размерности не могут быть изоморфны (!), пространства, имеющие одну и ту же размерность, изоморфны.

Пусть в пространстве выделен базис e =(e₁, e₂, … , e_n), а в пространстве базис e′ =(e′₁, e′₂, … , e′_n). Для произвольных векторов из R запишем:

=++ …+, (13)

=++ …+, (14)

а в пространстве найдем соответствующие векторы:

=++ …+, (15)

=++ …+. (16)

Из записей (13)÷(16) видим однозначное выполнение соответствий 1⁰: ↔ ;2⁰: ↔ . Видим: линейные векторные пространстваиотвечают требованиям изоморфизма.

Установленное нами понятие изоморфизма позволяет нам:

- результаты, полученные для пространства использовать, с точностью до обозначений, в пространстве ;

- иллюстрирующие модели, построенные для пространства , применять в пространстве , даже если их размерности различны. В этом смысле существенна роль моделей, создаваемых в 3-мерном пространстве!

Вывод: все результаты (теоремы, следствия и т.п.), полученные для - векторов, могут применяться для любых линейных векторных пространств, независимо от природы образующих их элементов!

§ 5. Подпространства линейного векторного пространства.

Нередко возникает необходимость разбиения линейного векторного пространства на части, называемые подпространствами. В рамках определенного подпространства решение частной задачи может оказаться более рациональным. Ниже рассматриваются некоторые из вопросов, связанных с определением и использованием подпространств.

Определение: (9.6)

Подпространством пространства называется совокупность векторов таких, что эти векторы сами образуют линейное пространство относительно линейных операций, принятых для векторов пространства , а именно, если , то: 10: ; 20: .

►Действительно, из условия 2⁰ следует: если , то и вектор ; если принять число , то и вектор . Если теперь воспользоваться условием 1⁰, то тогда и разность любых двух векторов: . Остальные линейные свойства подпространства будут выполняться, так как они выполняются в пространстве . ◄

Простейшими примерами подпространства являются: нулевое подпространство, состоящее из одного нуля, всё пространство .

Прежде, чем привести примеры других подпространств, сделаем несколько замечаний:

1⁰: Размерность любого подпространства не превосходит размерности всего пространства: в подпространстве не может быть больше линейно независимых векторов, чем во всем пространстве. Размерностью нулевого подпространства считают число 0.

2⁰: Всякое линейное подпространство конечномерного линейного пространства порождается конечной системой векторов.

3⁰: В n-мерном линейном пространстве R для всякого k < n существует линейное подпространство размерности k: порождается любой системой из k линейно независимых векторов.

☺☺

Пример 9–15: Пусть имеем векторное пространство: геометрические векторы, расположенные в заданной плоскости. На плоскостивыделили множество векторов, начала которых совпадают с началом системы координат плоскости, а концы лежат на заданной прямой. Является ли множестволинейным подпространством?

Решение:

1). Пусть заданная прямая не проходит через начало координат. Возьмём два произвольных вектора . Легко заметить, используя правила суммы векторов и умножения вектора на число, что и . Это значит, что в этом случае не является линейным подпространством .

2). Если заданная прямая проходит через начало координат, то для произвольных векторов выполняются линейные операции: и , а также все свойства этих операций, как и во всём пространстве . Следует: в этом случае есть подпространство пространства .

Ответ: если заданная прямая не проходит через начало координат, то не является подпространством ; если проходит - есть подпространство.

Обобщениерезультата, полученного вПримере 9–15:

4^*. В трехмерном пространстве: совокупность векторов, принадлежащих прямой, проходящей через начало координат, составляет подпространство в пространстве .

5^*. В трехмерном пространстве: совокупность векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через начало координат, составляет подпространство в пространстве .

Пример 9–16: Доказать, что если сумма размерностей двух линейных подпространстви - мерного пространствабольше,то эти подпространства имеют общий ненулевой вектор.

Решение:

1). Учитывая определение размерности векторного пространства, примем для множеств векторовиранги и ,соответственно, причём:. Пусть базис:,,…,.

2). Из базиса,,…,для построения базиса подпространствапусть используютсяпервыевекторов.

3). Пусть для построения базиса подпространстваиспользовались только остальные векторов базиса пространства : чтобы пересечение и было пустым! Но, если в построении подпространства будет использовано только линейно независимых векторов, то и ранг его будет таким же. Это значит, что для построения подпространства будут использоваться ещёвекторов. Следует: пересечение не пусто! Это значит, что подпространства имеют общий ненулевой вектор.

Замечание: в доказательстве мы использовали случай, когда пересечение векторных пространств: - наименьшее из возможных пересечений!

Ответ: доказано.

Пример 9–17: Доказать, что в- мерном пространстве, где вектор есть строкачисел, все-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны между собой, образуют подпространство. Найти базис и размерность этого подпространства.

Решение:

1). Пусть векторы x и y заданного подпространства записаны в виде: , . Тогда, в соответствии с определением суммы векторов и умножения вектора на число в пространстве R имеем:

и ,

откуда следует, что при →

2). Учитывая определение вектора подпространства, а также свойства операций суммы векторов и умножения вектора на число в пространстве R запишем базис подпространства R′:

= (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …),

= (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, …),

= (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, …),

. . . . . . . . . . . . . . .

= (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, …),

причем: а) векторы e₁, e₃, e₅ … позволяют построить произвольный вектор x подпространства с определенными нечетными координатами;

б) вектор присваивает некоторое число всем четным позициям вектора x.

3). Для определения размерности подпространства R′ учтем:

а) если размерность пространства R – четное число, то вектор закончится числом 1, а вектор – числом 0, и наоборот;

б) в любом случае размерность подпространства определяется числом , определяемым выражением: =+1, где f =- функция выделения целой части числа.

Замечание: полученный результат легко пронаблюдать, если промоделировать базис для простых (и в то же время отражающих общее свойство!) случаев:

а) =6 → видим базис: e₁, e₃, e₅ и , то есть четыре вектора; если вычислить число , то получим: =+1 = 4. Это совпадает с тем, что видим!

б) n=7 → видим базис: e₁, e₃, e₅, e₇ и ; то есть пять векторов; если вычислить число , то получим: =+1 = 5. Это совпадает с тем, что видим!

Ответ: в тексте подробно решены все поставленные в условии задачи.

☻

Особый интерес представляют подпространства, образуемые конечной совокупностью векторов: ,,…, некоторого векторного пространства при помощи линейных комбинаций. На векторы ,,…, не накладывают никаких предварительных условий. Они могут быть линейно зависимыми и независимыми, среди них могут быть равные, число может быть и больше, и меньше числа . Пусть построены векторы:

=++ …+,

=++ …+.

Запишем линейные операции для векторов :

= =++ …+,

==++ …+.

Видим, что полученные векторы: также принадлежат подпространству, что соответствует определению подпространства.

Замечание: если среди векторов,,…,есть равные, мы не приводим подобные члены в линейных комбинациях!

Иногда говорят, особенно в задачниках по алгебре, что подпространство , образованное путём линейных комбинаций конечной системы векторов ,,…,, есть оболочка, натянутая на эту систему векторов.

Размерностью подпространства-оболочки является число независимых векторов совокупности ,,…,, то есть ранг этой совокупности векторов.

Следствие: для всякого числа , такого, что: , в пространстве найдётся подпространство размерности .

Пусть в - мерном пространстве R выделены два подпространства и . Если в этих подпространствах найдётся хотя бы один общий ненулевой вектор, то говорят что подпространства и пересекаются. Пересечение подпространств обозначают так: , где - пересечение, то есть множество общих для и векторов.

Легко проверить, что множество векторов, принадлежащих - само является подпространством.

Нетрудно заметить также, объединение подпространств порождает подпространство, которое удобно обозначить как: =+ - сумма подпространств, для которой докажем полезную теорему.

Теорема: (9.3)

Пусть размерности подпространств ,, и равны , , и . Тогда размерность суммы подпространств равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения, то есть: =+–. (17)

►Доказательство не представляет большого труда. Особенно легко видеть справедливость утверждения, если воспользоваться геометрической интерпретацией размерностей. Пусть имеем две фигуры: площадь одной равна , а второй . Известно, что фигуры имеют общую часть, пересечение, площадь которой равна . Тогда площадь, покрываемая объединённой фигурой, равна: =+–. ◄

Частный случай, когда в пространстве выделены такие два подпространства и , что =0 и +=. В этом случае говорят, что пространство разложено в прямую сумму подпространств и .

Замечание: если воспользоваться векторами базиса пространства ,,…,, то на каждом из них можно построить подпространство , размерности 1; в этом случае можно записать: =++...+, так как их попарные пересечения равны нулю.

Представленные ниже примеры способствуют развитию навыков работы с линейными векторными пространствами и подпространствами. Наработанные зрительные образы будут полезны и при изучении теории множеств, особенно в инженерных приложениях теории вероятностей и математической статистики.

☺☺

Пример 9–18: Пусть имеем векторное пространствои в нём выделены подпространстваи. Подпространство- оболочка векторов:=(1,2,1,0) и=(–1,1,1,1);- оболочка векторов:=(2,-1,0,1) и=(1,-1,3,7). Найти базис пересечения подпространств.

Решение:

1). Нетрудно заметить, что векторы a₁ и a₂, b₁ и b₂ - линейно независимы: координаты не пропорциональны. Это значит, что размерности подпространств: =2, =2.

2). Сумма подпространств построена на векторах: ,,,. Вычислим ранг этой системы векторов:

из векторов ,,,составим матрицу:=и применим элементарные преобразования к заданной матрице:

=(1)→ =(2)→ =(3) →.

Операции: (1): [R4]+[R2]; [R3]+[R2]·2; [R2]+[R1]; делим [R4] на число 4. (2): [R2]–[R3]; делим [R2] на число 2. 3): [R3] –[R2]–[R4]; [R4] –[R3].

Видим(!): ранг матрицы равен 3.

3). Так как размерность суммы подпространств равна 3, то, используя выражение (17): =+–, получаем величину ранга подпространства пересечения: =1.

4). Для нахождения базы пересечения подпространств , воспользуемся условием: вектор, принадлежащий , можно записать и через векторы , и через векторы : = x₁+ x₂ a₂; и одновременно: = x₃ b₁+ x₄ b₂, что равносильно системе уравнений:

её решение запишем в виде: = –; = 4; = –3; =, где – произвольная постоянная величина. Принимая = –1, получим: = a₁ – 4a₂ = 3b₁ – b₂ = (5,–2,–3,– 4).

Ответ: базис пересечения подпространств: вектор =–4=3–= (5,–2,–3,–4).

Пример 9–19: Найти такую систему уравнений, множество решений которой определяло бы оболочку над векторами:=(1,-1,1,0);=(1,1,0,1) и=(2,0,1,1).

Решение:

1). Задача может быть отнесена к классу особо изящных задач! Задача не может быть решена, пока вы не соедините два факта: a*: оболочка – это множество всевозможных линейных комбинаций заданных векторов ,,; b*: так как система уравнений допускает использование линейных комбинаций своих решений, то система уравнений, которую мы должны построить может быть только однородной! Из этого важно продолжение: из условия задачи мы должны понять, что совокупность векторов ,, содержит фундаментальную систему решений искомой системы уравнений. Это ключ к решению задачи!

2). Легко заметить, что ранг системы векторов: ,, равен 2, причём: =+. Это значит, что система векторов: , есть ФСР той системы линейных однородных уравнений, которую мы должны найти.

3). Так как решений в ФСР два, а порядок векторов-решений равен 4, то формирование ФСР , проводилось на основании системы 2-х уравнений с четырьмя неизвестными:

(18)

коэффициенты этой системы: , ; подлежат определению.

4). Используя фундаментальные решения системы уравнений (18), запишем две системы:

1*: 2*:

5). Из выражений 1* и 2* следует, что, на самом деле нужно решить одну систему уравнений:

(19)

6). В системе уравнений (19) в качестве свободных неизвестных удобно приять ,. В этом случае построение ФСР для системы (19) очевидно:

	b3	b4	b1	b2
	-1	-1	1	0
	1	-1	0	1

7). Пара решений и , или им пропорциональных, определяют систему однородных уравнений (18), для которой векторы , есть ФСР:

множество решений этой системы есть оболочка над векторами ,, то есть подпространство в пространстве векторов .

Ответ: одна из систем уравнений:

☻