§ 2. База (базис) в n - мерном векторном пространстве.

Пусть имеем систему векторов: ,,...,. Составим линейную комбинацию заданной системы векторов: ·+·+ …+·. (1)

Используя понятие линейной комбинации секторов, определим понятия линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Определение: (9.2)

Система векторов ,,..., называется линейно зависимой, если хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, и линейно независимой – в противном случае.

Как и для случаев геометрических векторов и -векторов, целесообразно ввести ещё одно определение линейной зависимости системы векторов: это значительно расширяет наше понимание линейной зависимости векторов и даёт дополнительные технологические удобства при доказательстве многих утверждений, связанных с понятием линейной зависимости векторов.

Определение: (9.3)

Система векторов ,,..., называется линейно зависимой, если существуют такие числа ,,…,, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство: ·+·+ …+·=0. (2)

Нетрудно заметить, что представленные определения 9.2 и 9.3 – эквивалентны. Действительно, пусть известно, что вектор выражается в виде линейной комбинации через остальные векторы: =·+ …+·. Тогда можем записать: (–1)· + ·+ …+·=0, то есть получили форму выражения линейной зависимости (2).

Если имеем (2), не нарушая общности, можем предположить, что . Но тогда можем записать: =·+ …+·=·+ …+·.

Определение 9.3 применимо и для случая =1: система, состоящая из одного вектора , линейно зависима тогда и только тогда, если – нулевой вектор. Эта ситуация отмечает, что определение 9.3 имеет дополнительные достоинства.

Из определения линейно зависимой системы векторов следует несколько очевидных частных утверждений:

1^*: Если некоторая подсистема векторов ,,..., линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2^*: Система векторов линейно зависима, если в ней содержатся:

▫ два равных вектора;

▫ два пропорциональных вектора;

▫ нулевой вектор.

3^*: Если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

Замечание: в определении линейной независимости системы векторов,,...,не устанавливается набор правил и способов, при помощи которых мы можем выявить, что равенство (2) выполняется (или не выполняется).

Примеры, рассмотренные ниже, иллюстрируют разнообразие способов решения задачи: установить, зависима или нет заданная совокупность векторов?

☺☺

Пример 9–06:Имеем три вектора: ,,. Установить, зависимы эти векторы или нет?

Решение:

Общая схема решения:

1)анализируем особенности заданных векторов и линейные операции над ними;

2)проверяем аксиомы группAиB.

1). Для заданных векторов не определены линейные операции.

2). Не может быть определено понятие линейной комбинации векторов, что необходимо для исследования линейной зависимости векторов.

Ответ: задача не определена.

Пример 9–07:Имеем три геометрических вектора: ,,. Линейные операции установлены в соответствии с законами физики: сумма векторов, умножение векторов на вещественное число, аксиомы группAиBвыполняются. Установить, зависимы эти векторы или нет?

Решение:

1). Параллельным переносом начала векторов,,совмещены: векторы принадлежат одной плоскости. В соответствии с рисунком можем сказать: среди заданных векторов нет нулевых и нет пропорциональных. Это значит, что независимых векторов в заданной совокупности не менее двух.

2). В соответствии с определением операции суммы геометрических векторов, можем записать:

=+.

3). Используя операцию умножения вектора на действительное число, для векторов ,запишем:=,=. Это значит, что векторудалось представить в виде линейной комбинации векторов,. Вывод система векторов зависима.

Ответ: система векторов ,,зависима.

Пример 9–08:Имеем – пространство, векторами которого являются многочлены, степени не выше . Операции суммы и умножения на число определены так, как это принято в алгебре многочленов. Среди многочленов выделены простейшие векторы-многочлены: 1,,… , , где произвольное целое число. Доказать, что эти векторы линейно независимы и с их помощью можно однозначно записать любой многочлен пространства .

Решение:

1). Общий вид многочлена степени не выше представим в виде записи:

=++ …+, (▫)

где ,,...,- коэффициенты многочлена, действительные числа.

2). Если в записи многочлена все коэффициенты ,,...,равны нулю, такой многочлен называютнулевым многочленом. Равенство двух многочленов понимают только как тождественное: два многочлена равны тогда, и только тогда, когда у них коэффициентыпри одинаковых степеняхравны.

3). Докажем, что система векторов 1,,,…,независима в пространстве многочленов, степени не выше. Их независимость легко устанавливается. Пусть нашлись такие действительные числа,,...,, хотя бы одно из которых, не равно нулю, что возможна линейная комбинация:++ …+=0.

Но, из определения нулевого многочлена такое возможно только в случае, когда все коэффициенты ,,...,равны нулю.

Используя векторы: 1,,,…,можно записать любой многочлен, степени не выше, причём однозначно. Если бы тот же многочленможно было записать ещё и в виде:

=++ …+, (▫▫)

где ,,...,- коэффициенты многочлена, действительные числа, то было бы верно:

0 =++ …+,

что, из определения равенства векторов-многочленов, возможно только в случае, если для всех выполняются равенства:.

4). Итак, система векторов 1,,… , независима в линейном пространстве многочленов, степени не выше, и с её помощью можно записатьлюбой многочленуказанного пространства.

Ответ: доказано.

Замечание: рассмотренные примеры достаточно выразительно иллюстрируют тот факт, что говорить о линейной зависимости представленных алгебраических конструкций нет смысла, пока не определены линейные операции для этих конструкций и их свойства; установление факта линейной зависимости требует особых исследований конкретного векторного пространства.

☻

При рассмотрении множества геометрических векторов и - векторов было установлено:

- если векторы принадлежат одной прямой, любые два ненулевых вектора пропорциональны, то есть линейно зависимы → размерность пространства векторов, принадлежащих одной прямой, равна 1;

- если векторы принадлежат одной плоскости, то среди них можно найти два линейно независимых вектора, но всякие три вектора линейно зависимы → размерность пространства векторов, принадлежащих одной плоскости, равна 2;

- если векторы принадлежат геометрическому пространству, то среди них можно найти и два, и три линейно независимых вектора, но всякие четыре вектора линейно зависимы → размерность пространства векторов, принадлежащих геометрическому пространству, равна 3.

- для - векторов: было доказано, что всякие (n+1) вектора линейно зависимы → это значит: размерность пространства n-векторов равна .

Замечание: во всех представленных примерах размерность каждого линейного векторного пространства была установлена в соответствии со свойствами конкретной системы векторов.

Определение: (9.4)

Линейное векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, и нет большего числа линейно независимых векторов. Любая совокупность линейно независимых векторов: , ,…, -мерного пространства называется базой (базисом) пространства .

Ещё раз подчеркнём, что мы в этом определении подчёркиваем только одно: если любым из способов удалось установить, что максимальная линейно независимая система векторов состоит из векторов, то пространство - мерное. Чтобы подчеркнуть размерность линейного векторного пространства, будем применять обозначение .

Докажем важную для дальнейшего развития понятия линейно независимых векторов и его практического использования теорему.

Теорема: (9.1)

Каждый вектор из линейного векторного пространства может быть представлен, как линейная комбинация векторов базы: ,,…, этого пространства. Это представление единственно.

►Совокупность векторов ,,,…, состоит из вектора. Но базис – максимальная линейно независимая система векторов! Значит, вектор должен иметь выражение в виде линейной комбинации: =++ …+, (3)

где хотя бы одно из чисел , не равно нулю.

Возникает вопрос: а нельзя ли получит для вектора ещё одну линейную комбинацию, которая отличалась бы от записи (3)? Пусть такая запись получена:

=++ …+, (4)

где хотя бы одно из чисел , не равно нулю.

Вычитая из выражения (3) выражение (4), и учитывая , получим линейную комбинацию: 0 =++ …+, (5)

где хотя бы одно из чисел , не равно нулю. Но, из выражения (5) следует, что система векторов ,,…, зависима. Следует: выражение (5) возможно только при условии что , . ◄

В представлении (3) произвольного вектора x числа , называются координатами вектора в базисе ,,…,.

Следствие: 1). Если в системе векторов ,,…, заменить любой из векторов, например вектор , вектором , построенном в виде линейной комбинации (3), то получим систему векторов: ,,…, - тоже независимую и максимальную, то есть новую базу.

2). Так как вектор - произвольный вектор пространства , то получаем важный результат: в пространстве баз бесчисленное множество.

Замечания: 1). В алгебре могут использоваться линейные векторные пространства, в которых база содержит бесконечное множество векторов – бесконечномерные простран­ства;

2). Мы изучаем конечномерные линейные векторные пространства.

☺☺

Пример 9–09:Имеем – пространство, векторами которого являются непрерывные функции: , ,…, , где произвольное целое число. Доказать, что эти векторы есть база. Почему это пространство необходимо отнести к бесконечномерным пространствам?

Решение:

1). Допустим, существует линейная комбинация: ++ …+=0, где хотя бы одно изчисел ,не равно нулю и правая часть нулевой многочлен. ВПримере 9–08было показано, что это возможно лишь в случае:,.

2). Итак, система векторов: есть базис векторного пространства ! Но, ничто не мешает, при необходимости увеличивать размерность базы, то есть. Поэтому данное линейное векторное пространство относят кбесконечномерным пространствам.

Ответ: доказано.

Пример 9–10:Показать, что векторы =(1,2,-1,-2),=(2,3,0,-1),=(1,2,1,4),=(1,3,-1,0) образуют базу пространства, и найти координаты вектора=(7,14,-1,2) в этой базе.

Решение:

1). Из координат векторов ,,,составим строки матрицы:=и одним из способов вычислим её ранг.

2). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:

=(1)→ =(2)→ = (3) →=(4)→

Операции: (1): [R2]–[R1]·3; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]; [R3] делим на число 2. (2): поменяем местами [R4] и [R2]; [R4]+[R2]. (3): [R4]–[R3]·2. (4): анализируем полученный результат.

3). Видим(!): ранг матрицы равен 4. Так как векторы,,,- 4-мерные и= 4, то их можно принять в качестве базы рассматриваемого линейного пространства.

4). Составим линейную комбинацию: =+++, где,,,- неизвестные числа, которые найдём из системы уравнений:

5). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:

1	2	1	1	7			1	2	1	1	7
2	3	2	3	14			0	-1	0	1	0
-1	0	1	-1	-1	=(1)→		0	2	2	0	6	=(2)→
-2	-1	4	0	2			0	2	6	3	16

1	2	1	1	7			1	2	1	1	7
0	-1	0	1	0			0	-1	0	1	0
0	0	1	1	3	=(3)→		0	0	1	1	3	=(4)→
0	0	4	3	10			0	0	0	-1	-2

1	2	1	0	5			1	0	0	0	0
0	1	0	0	2			0	1	0	0	2
0	0	1	0	1	=(5)→		0	0	1	0	1	=(4)→
0	0	0	1	2			0	0	0	1	2

Выполнены операции: (1): [R4]+[R2]; [R3]+[R1]; [R2]–[R1]·2. (2): [R4]–[R3]; [R3]+[R2]·2; [R3] разделим на число 2. (3): [R4]–[R3]·4. (4): [R3]+[R4]; [R2]+[R4]; [R1]+[R4]; умножаем строки -2,3 на число (-1). (5): [R1]–[R3]–[R2]·2. (4): читаем решение.

6). Получено решение: =+++=+++. Координаты векторав базе,,,(0,2,1,2).

Ответ: координаты векторав базе,,,(0,2,1,2).

Пример 9–11: Найти координаты многочлена:=++ …+, где,,...,- коэффициенты многочлена, действительные числа, если использовать для его записи:a*: базис: 1,,… , ;

b*: базис: 1,,… , .

Решение:

1). В соответствии с Примером 9–08для базисаa*коэффициенты вектора-многочлена есть его координаты в названном базисе.

2). Для нахождения координат вектора-многочлена в базисе b*запишем:

=++ …+++.

В математическом анализе показано, как получают формулу Тейлора для произвольной, неограниченное число раз дифференцируемой, функции. Так как многочлен удовлетворяет требованиям Тейлора, то остаётся воспользоваться формулой Тейлора и записать:

=,=,...,=.

Ответ: для a*:,,...,; дляb*:=,=,...,=.

☻