207

ЛА: Глава 9

Глава 9. Линейные векторные пространства.

Прежде, чем начать рассмотрение алгебраических, абстрактных, векторов и операций над ними, вспомним появление в нашей практике векторов геометрических. Началось всё в аналитической геометрии: используя одномерные, двумерные и трёхмерные пространства, было введено понятие геометрического вектора и операции над геометрическими векторами, причём так, что это полностью соответствовало наблюдаемым в природе законам физики. Было обнаружено, что геометрические векторы взаимно однозначно отображаются на аналитические модели в видестрок чисел:в одномерном пространстве,в двумерном пространстве ив трёхмерном. Такие строки чисел только соответствоваливидимомупространству, но мы их физически уже не могли видеть! Это нас не очень беспокоило, так как, при желании, мы могли произвести визуализацию строк. Первым шагом в обобщении векторов явилось введение- векторов: это уже чисто алгебраические конструкции, которые приуже не удаётся увидеть. И всё-таки эти конструкции наследуют качества геометрических векторов: при=3, в виде частного случая, мы вновь приходим в 3-мерное пространство!

Теперь мы хотим получить понятие вектора, совсем не связанное ни с физикой, ни с геометрией. Для нас важно только одно – возможность применять к некоторым объектам, которые мы хотим назвать векторами, некоторые совокупные операции, которые после их применения вновь дают вектор.

И вновь мы надеемся получить такое обобщение привычного понятия вектора, чтобы прежнее выступало частным случаем!

§ 1. Определение линейного векторного пространства.

Итак, пусть имеем некоторые объекты, которые, после введения простейших операций над ними, будем называть векторами. Для их обозначения будем использовать малые латинские буквы. Используемые при изображении операций над векторами числа, как правило, будем обозначать малыми греческими буквами.

Определение: (9.1)

множество элементов ,,, … называется линейным (аффинным) векторным пространством, если: 1) каждым двум элементам и поставлен в соответствие элемент , называемый суммой элементов ,; обозначение суммы: , 2) каждому элементу и каждому числу из некоторого поля поставлен в соответствие элемент , называемый произведением числа на элемент .

Замечание: далее элементы множества будем называть векторами, хотя далеко не всегда они будут соответствовать образам нашего первого знакомства с геометрическими векторами в физике и геометрии.

Указанные в определении линейного пространства, операции должны удовлетворять требованиям (аксиомам, свойствам): группы A, для суммы векторов; группы B, связанным с умножением на число и с операциями над числами.

Группа A:

1⁰. Для любых двух векторов и верно: +=+ – переместительное свойство.

2⁰. Для любых двух векторов , и верно: ==++ – сочетательное свойство.

3⁰. Существует такой вектор 0, что +0 = для любого вектора . вектор 0 называют нулевым вектором.

4⁰. Для каждого вектора существует такой вектор , что += 0. вектор называют противоположным вектором для вектора .

Покажем единственность вектора нулевого. Пусть имеем два нулевых вектора: и . Это значит, что одновременно верно: =,

==,

из чего следует, что .

Аналогично покажем единственность противоположного вектора. Пусть для вектора имеем два противоположных вектора: и . Это значит, что одновременно верно: ==,

==,

из чего следует, что .

Теперь можно установить существование и единственность разности векторов: , то есть такого вектора , который удовлетворяет уравнению: +=.

Для доказательства существования разности запишем: =, учитывая, что существование противоположного вектора определено требованием (аксиомой). Далее воспользуемся аксиомами группы A:

===.

Теперь можно установить единственность разности векторов: . Допустим, что существует ещё вектор , такой что: +=.

Прибавим к обеим частям последнего равенства вектор и воспользуемся аксиомами группы A: ++=+, откуда следует, что =.

Теперь рассмотрим аксиомы группы B, используя обозначения вещественных чисел , и числа 1.

Группа B:

1⁰. Для любого вектора и чисел и верно: =+.

2⁰. Для любых двух векторов , и числа верно: = +.

3⁰. Для любого вектора и любых двух чисел и верно: =.

4⁰. Для любого вектора и любых двух чисел и верно: =.

Из аксиом группы B отметим некоторые простейшие следствия:

Следствие 1. Пусть имеем нулевой вектор 0 и число . Тогда необходимо: .

Действительно, для всякого вектора можно записать: . Из полученного равенства запишем: , что значит: .

Следствие 2. Пусть имеем ненулевой вектор и число 0. Тогда необходимо: .

Действительно, для всякого вектора можно записать: . Из полученного равенства запишем: , что значит: .

Следствие 3. Пусть имеем вектор и число . Если: , то или , или .

Действительно, если , то имеем следствие 2. Если , учитывая существование обратного числа , можем записать: . Из полученного равенства имеем: .

Следствие 4. Пусть имеем вектор и число . Тогда необходимо: .

Действительно, можем записать: . Из полученного равенства имеем: вектор противоположен вектору .

Следствие 5. Пусть имеем вектор и число . Тогда необходимо: .

Действительно, можем записать: . Из полученного равенства имеем: вектор противоположен вектору .

Следствие 6. Пусть имеем векторы и число . Тогда необходимо: .

Действительно, можем записать: . Из полученного равенства, учитывая следствие 5, имеем: .

Следствие 7. Пусть имеем вектор и числа . Тогда необходимо: .

Действительно, можем записать: . Из полученного равенства, учитывая следствие 5, имеем: .

Замечание: легко видеть, что все перечисленные в определении линейного векторного пространства свойства, наблюдаются и для геометрических векторов, и для - мерных векторов (-векторов).

Особый интерес представляют примеры линейных векторных пространств, которые на наивном уровне не воспринимаются как векторные! Рассмотрим несколько примеров.

☺☺

Пример 9–01:Имеем множество рациональных чисел Q. Является ли это множество линейным векторным пространством?

Решение:

Общая схема решения:

1)проверяем аксиомы группыA;

2)проверяем аксиомы группыB;

1). Пусть имеем рациональные числа: ,. Нетрудно убедиться в том, что для рациональных чисел аксиомы группыAвыполняются.

2). Умножим рациональное число на действительное число. Получим иррациональное число, которое не принадлежитQ.Вывод: множество рациональных чисел не может быть векторным пространством.

Ответ: не является.

Пример 9–02: Пусть имеемсовокупность всех непрерывных функций на сегменте . Определим на заданном сегменте операции сложения функций: =+и умножения функции на число: =.Является ли это множество линейным векторным пространством?

Решение:

1). Известно, что используемые линейные операции сохраняют непрерывность получаемых функций. Легко также проверить, что все свойства групп A,Bвыполняются: участвующие в равенствах функции непрерывны.

2). Получен результат: совокупность всех непрерывных функций на сегменте является векторным пространством.

Ответ: является.

Пример 9–03: Пусть имеемсовокупность всех непрерывных функций на сегменте , таких, что .Является ли это множество линейным векторным пространством?

Решение:

1). Пусть и- функции с заданными свойствами. Из этого не следует, что функция =+обладает свойством:.

2). Получен результат: совокупность названных функций не является векторным пространством.

Ответ: не является.

Пример 9–04: Пусть имеемсовокупность всех многочленов, степени .Является ли это множество линейным векторным пространством?

Решение:

1). Все знают, что опровержение утверждения можно добиться, найдя лишь один пример его нарушения. Пусть имеем многочлены 2-й степени =и=. Их сумма=+=не является многочленом 2-й степени.

2). Получен результат: совокупность названных функций не является векторным пространством.

Ответ: не является.

Пример 9–05: Пусть имееммножество матриц порядка , элементами которых являются вещественные числа.Является ли это множество линейным векторным пространством, если операции сложения матриц и умножения матрицы на число такие, как это определено в алгебре матриц?

Решение:

1). Так как линейные операции над матрицами, в соответствии с определением, превращаются в линейные операции над их элементами, то есть над вещественными числами, то все свойства, предъявляемые к векторам, для матриц выполняются.

2). Получен результат: совокупность названных матриц является векторным пространством.

Ответ: является.

Замечание: представленные примеры вполне иллюстрируют тот факт, что векторы линейного векторного пространства совсем не обязаны проявлять привычные свойства геометрических векторов.

☻