§ 5. Обобщающие примеры по теме: «Обратная матрица»

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Обратная матрица». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.

☺ ☻ ☺

Пример 1–841: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:

1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d = = –1 → матрица существует.

2) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

При построении матрицы для вычисления алгебраического дополнения , соответствующего элементу , будем выделять соответствующий минор при помощи полосок картона, закрывая элемент горизонтальной и вертикальной полосками. Это позволит видеть любой выделяемый минор и легко записывать для дальнейшего использования! Указанные действия рекомендуется выполнять на черновике!

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
1					= 8;					1					= 5;					1					=–1,
		-3	1								2		1								2	-3
		-5	-1								3		-1								3	-5

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== 8;= = 5;== –1;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		-4	5		= –29;						3		5		= –18;						3	-4			= 3,
2										2										2
		-5	-1								3		-1								3	-5

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –29;= = –18;== 3;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		-4	5		= 11;						3		5		= 7;						3	-4			= –1;
		-3	1								2		1								2	-3
3										3										3

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== 11;= = 7;== –1;

3). Учитывая результаты вычислений, можем записать: =·.

Способ-2. Записываем связку двух матриц : =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

1). Выполним операции: (1): [R3] –[R1]; [R1] –[R2]: имеем =.

2). Выполним операции: (2): [R2] –[R1]·2; [R3] –[R2]. (3): [R2]+[R3]·7; [R1] –[R2]. Имеем:

=(2)→ =(3) → =.

3). Выполним операции: (4): [R1] – [R3] ·4. (5): [R2]·( –1), где R – строка. Имеем:

=(4) → =(5) →.

4). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости вычисления матрицыможет оказаться проще, чем Способ-1, если при вычислении не было ни одной ошибки; если случилась ошибка, необходимо всё пересчитать заново!

Ответ:А^–1 =.

Пример 2–843: Найти обратную матрицу для матрицы:.

Решение:

Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:

1). Вычислим: d==== –27 → матрицасуществует.

3) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

Замечание: далее при вычислении необходимых алгебраических дополнений использование моделирования миноров защищает от ошибок в вычислениях!

== –3; = = –6; == –6;

== –6; = = –3; == 6;

== –6; = = 6; == –3;

4). Учитывая результаты вычислений, можем записать: =·(–3).

Способ-2. Записываем связку двух матриц : =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

1). Выполним операции: (1): [R3]–[R1]·2; [R2]–[R1]·2 → =(1)==

2). Выполним операции: (2): [R2]·; [R3]·6. (3): [R1]–[R2]·2; [R3]+[R2]. Имеем:

=(2)→ =(3) → =.

3). Выполним операции: (4): [R3]·; [R3]·6. (5): [R1]+[R3]·2; [R2] –[R3]·2. Имеем:

=(4)→ =(5) → =.

4). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц:А^–1 = .

Замечание: в рассмотренном примере Способ-1 и Способ-2 по трудоёмкости вычисления матрицывполне равнозначны, если при вычислении не было ошибок.

Ответ:А^–1 =·.

Пример 3–845: Найти обратную матрицу для матрицы:.

Решение:

Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:

1). Вычислим определитель: d=(1)==(2)=–=(3)=–=–1 → матрица невырожденная: обратная матрица существует.

Операции: (1): [R4] –[R1]; [R3]–[R1]; [R2]–[R1]·2. (2): из строк [R2]; [R3]; [R4] выносим общий множитель (–1); применяем разложение определителя по столбцу-1; . (3): [R3] –[R2]·2; [R2]–[R1] и завершаем вычисление.

2) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы :

==–22; =–=17; ==17; =–=–4;

=–= 6; ==–5; =–= 0; == 1;

= = 26; =–=–20; ==–2; =–= 5;

=–=–17; == 13; =–= 1; ==–3.

3). С учетом вынесения общего множителя (–1)элементов матрицы, можем записать ответ.

Ответ:=.

Пример 4–847: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Замечание:учитывая, что образное мышление у школьников чаще всего отсутствует, рекомендуем применять моделирование матриц размера при помощи матрицы размера (6,6).

Способ-1. Используем выражение=.

Замечание: далее при вычислении необходимых алгебраических дополнений использование моделирования миноров защищает от ошибок в вычислениях!

1). Вычисление определителя матрицы не представляет труда (треугольного вида!): d=1 → невырожденная: обратная матрица существует: =.

2). Пусть . Для выделенного элементазапишем:=·= 1, так как минорпри любоместь определитель треугольного вида. Это значит, что на главной диагонали матрицырасполагаются1.

		i																	i
	1				0		0	0		0					1		1	0		0		0
i															0		1	1		0		0
	0				1		1	0		0					0		0	1		0		0
	0				0		1	1		0				i
	0				0		0	1		1					0		0	0		1		1
	0				0		0	0		1					0		0	0		0		1

Это значит, что на главной диагонали матрицы располагаются числа1.

3). Пусть : выделены элементы матрицыпод главной диагональю. Для выделенного элемента матрицызапишем алгебраическое дополнение=·.

	j																	j
			1		0		0	0		0					1		1				0	0		0
i												↓			0		1				0	0		0
			0		1		1	0		0					0		0				1	0		0
			0		0		1	1		0				i												↓
			0		0		0	1		1					0		0				0	1		1
			0		0		0	0		1					0		0				0	0		1

Видим: все выделяемыеминоры– определители треугольного вида, причём все элементы главной диагонали равны 1. В этом случае имеем:=. Если фиксировать столбеци передвигать полоскувниз в диапазоне, то легко заметить, что, знакичередуются, начиная с минуса для положения полоски:. Это значит, что, перемещая полоску, мырисуемстрокиматрицынад главной диагональю.

4). Пусть : выделены элементы всего правого верхнего угла матрицынад главной диагональю. Вычисление алгебраических дополнений выделенных элементов начнём срассматривания картинок:

		j		→																j			→
i															1		1		0			0		0
	0				1		0	0		0					0		1		1			0		0
	0				1		1	0		0				i
	0				0		1	1		0					0		0		0			1		0
	0				0		0	1		1					0		0		0			1		1
	0				0		0	0		1					0		0		0			0		1

Если фиксировать строку и передвигать полоскувправо в диапазоне, то легко заметить, что, знакичередуются, начиная с минуса для положения полоски:. В то же время видим:все выделяемыеминоры– определители треугольного вида, причём на главную диагональ при любом положении столбца попадает число 0. В этом случае имеем:=0 →=0. Это значит, что, перемещая полоску, мырисуемстрокиматрицыпод главной диагональю: заполняя их нулями.

5). Учитывая результаты, полученные в пунктах 1÷4, можем записать обратную матрицу.

Способ-2. Связку двух матриц будем моделировать матрицами размерности (5,5): такие матрицы обеспечат и наглядность процесса вычисления матрицы , и обобщение для любой размерности .

1). Применим элементарные преобразования к связке матриц и:

==(1) → =.

Выполнены операции: (1): [R4]–[R5] ; [R3] –[R4] ; [R2] –[R3] ; [R1] –[R2].

2). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости значительно проще, чем Способ-1, но Способ-1 в этой задаче играет ещё и вспомогательную роль: развивает способности к моделированию процессов!

Ответ:А^–1 =, матрица 5-го порядка вполне отражает матрицудля произвольного порядка.

Пример 5–852: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Замечание: учитывая, что образное мышление у школьников чаще всего отсутствует, рекомендуем применять моделирование матриц размерапри помощи матрицы размера (6,6).

Способ-1. Используем выражение=. При построении матрицы для вычисления алгебраического дополнения, соответствующего элементу, выделять соответствующий минорбудем при помощи полосок картона, закрывая элементгоризонтальной и вертикальной полосками.

1). Выполним операции: (1): [R2] –[R1]; [R3] –[R1]; [R4] –[R1]; [R5] –[R1]; [R6] –[R1]: получен определитель треугольного вида, у которого на главной диагонали элемент =1, а остальные: , ,.., равны (–1). Это значит, что определитель матрицы: , то есть для чётных значений n имеем d = –1, а для нечётных d = 1.

2). Начнём моделирование процесса с выделения миноров к элементам: ,,,...

	1													1													1								1
1																1		1		1	1		1					1	1	1	1	1				1	1	1	1	1
			0		1		1	1		1			2															0	1	1	1	1				0	1	1	1	1
			1		0		1	1		1						1		0		1	1		1			3										1	0	1	1	1
			1		1		0	1		1						1		1		0	1		1					1	1	1	1	1		4
			1		1		1	0		1						1		1		1	0		1					1	1	0	1	1				1	1	1	1	1
			1		1		1	1		0						1		1		1	1		0					1	1	1	0	1				1	1	1	0	1

Видя все выделяемыеминоры, составляем и вычисляем соответствующие алгебраические дополнения.

2). Имеем: ==(1)==(2)== 4·.

Выполнены операции: (1): [R1]–[R5]; [R2]–[R5]; [R3]–[R5]; [R4]–[R5]. (2): [R5]+[R1]+[R2]+ +[R3] +[R4].

Число 4 можно представить в виде , в общем случае, для произвольного числаn, получим=. Для=2, 3, ... ,, учитывая, что, нетрудно получить== (–1). Для симметрии запишем:=.

3). Далее вычислим: =–. Имеем определитель такой же, как исходный: только порядок на 1 меньше. Значит:= –=.

4). Далее вычислим: ==(1)=–. Имеем определитель такой же,

как исходный: только порядок на 1 меньше. Значит: = –=. Выполненаоперация:(1):транспозиция столбцов [C1] и [C2].

5). Далее вычислим: =–=(1)=–. Имеем определитель такой же,

как исходный: только порядок на 1 меньше. Значит: = –=. Выполненаоперация:(1):транспозиция столбцов [C1] и [C2]; [C2] и [C3]. Учтено множителем:.

Пользуясь методом математической индукции, для любого можем записать: =. Произведение множителяалгебраического дополнения на аналогичный множитель, учитывающий число необходимых транспозиций столбцов совместно приводят все время к одной показанной форме.

Замечание: там, где применяются транспозиции, под минором изображены стрелочками операции транспозиций, причём стрелочки отмечают пары соседних столбцов, участвующих в транспозиции.

6). Продолжим моделирование процесса с выделения миноров к элементам: ,,,...

		2															3													4									5
	1				1		1	1		1				1		1				1	1		1				1	1	1		1	1			1	1	1	1		1
	1				1		1	1		1				1		0				1	1		1				1	0	1		1	1			1	0	1	1		1
3														1		1				1	1		1				1	1	0		1	1			1	1	0	1		1
	1				1		0	1		1			4														1	1	1		1	1			1	1	1	0		1
	1				1		1	0		1				1		1				1	0		1			5									1	1	1	1		1
	1				1		1	1		0				1		1				1	1		0				1	1	1		1	0		6

Видя все выделяемыеминоры, составляем и вычисляем соответствующие алгебраические дополнения.

7). Далее вычислим: = –= 0, так как в определителе две одинаковые строки. Аналогично получим=0 для=4, 5, ... ,: в определителе две одинаковые строки.

8). Далее вычислим: = –= 0, так как в определителе две одинаковые строки. Аналогично получим=0 для=5, 6, ... ,: в определителе две одинаковые строки.

9). Обобщение: =0 для=3, 4, ... ,;=2, 3, ... ,;>. Так как исходная матрица симметрична, то и матрица (значит и обратная!) тоже симметрична!

10). Учитывая полученные результаты, можем записать обратную матрицу .

Способ-2. Связку двух матриц будем моделировать матрицами размерности (5,5): такие матрицы обеспечат и наглядность процесса вычисления матрицы , и обобщение для любой размерности .

1). Применим элементарные преобразования к связке матриц и:

==(1) → =.

Выполнены операции: (1): [R5]–[R1] ; [R4] –[R1] ; [R3] –[R1] ; [R2] –[R1].

[R1]+[R2]+[R3] +[R4]+[R5].

2). Учитывая, что , получаем в общем случае, для размерности, в левом верхнем углу обратной матрицы число (2–). Остаётся строки 2,3, ... ,умножить на (–1) и получить матрицув правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости значительно проще, чем Способ-1, но Способ-1 в этой задаче играет ещё и вспомогательную роль: развивает способности к моделированию процессов!

Ответ: =, для наглядности записана матрица 6-го порядка.

Пример 6–861: Решить матричное уравнение: ·X=.

Решение:

1). Решение ищем в виде: . Воспользуемся общим алгоритмом вычисления обратной матрицы=:=–2,=→=.

2). В матричной форме решение имеет вид: =·=. Умножение матриц проведём, применяя шаблон:

Столбец	3	5	Столбец	Столбец	5	9	Столбец
	4	-2	2		4	-2	2
	-3	1	-4		-3	1	-6

Замечание: использование вычислительных шаблонов может существенно сократить время вычисления произведения матриц: алгоритм вычислений становится хорошо обозримым и контролируемым!

Ответ:=.

Пример 7–864: Решить матричное уравнение: ·X=.

Решение:

1). Решение ищем в виде: . Воспользуемся общим алгоритмом вычисления обратной матрицы=:=1,=→=.

2). В матричной форме решение имеет вид: =·=. Умножение матриц проведём, применяя шаблон:

Столбец	1	10	10	Столбец	Столбец	-3	2	7	Столбец	Столбец	0	7	8	Столбец
	-4	3	-2	6		-4	3	-2	4		-4	3	-2	5
	-8	6	-5	2		-8	6	-5	1		-8	6	-5	2
	-7	5	-4	3		-7	5	-4	3		-7	5	-4	3

Из таблицы видим ответ: матрицу X:

Ответ:=.

Пример 8–866: Решить матричное уравнение: ·X·=.

Решение:

1). Запишем исходное уравнение в виде: . Решение ищем в виде:. Воспользуемся общим алгоритмом вычисления обратных матриц=,=:

2) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
1					= –1;					1					= –2;					1					= –3,
		-5	2							2	4		2							2	4	-5
		-7	3								5		3								5	-7

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –1; = = –2; == –3;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		-3	1		= 2;						2		1		= 1;						2	-3			= –1,
2										2										2
		-7	3								5		3								5	-7

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== 2;= = 1;== –1;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		-3	1		= –1;						2		1		= 0;						2	-3			= 2;
		-5	2								4		2								4	-5
3										3										3

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –1;= = 0;== 2;

Результаты вычислений: =1,=→=.

3) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
1					= –1;					1					= 1;					1					= 0,
		1	2							2	1		2							2	1	1
		1	1								1		1								1	1

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –1;= = 1;== 0;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		7	6		= –1;						9		6		= 3;						9	7			= –2,
2										2										2
		1	1								1		1								1	1

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –1;= = 3;== –2;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		7	6		= 8;						9		6		= –12;						9	7			= 2;
		1	2								1		2								1	1
3										3										3

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== 8;= = –12;== 2;

Результаты вычислений: =–2,=→=·.

4). Тогда: =···=. Умножение матриц проведём, применяя шаблон. Для удобства обозначим:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц = D.

Столбец	2	18	23	Столбец	Столбец	0	12	15	Столбец	Столбец	-2	9	11	Столбец
	-1	2	-1	11		-1	2	-1	9		-1	2	-1	9
	-2	1	0	14		-2	1	0	12		-2	1	0	13
	-3	-1	2	22		-3	-1	2	18		-3	-1	2	19

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц Y =.

Столбец	-1	1	0	Столбец	Столбец	-1	3	-2	Столбец	Столбец	8	-12	2	Столбец
	11	9	9	-2		11	9	9	-2		11	9	9	-2
	14	12	13	-2		14	12	13	-4		14	12	13	-6
	22	18	19	-4		22	18	19	-6		22	18	19	-2

Из таблицы читаем матрицу Y и записываем решение матричного уравнения в ответе.

Ответ:=.

Пример 9–871: Решить матричное уравнение: ·=.

Решение:

1). Решение ищем в виде: . Воспользуемся результатомЗадачи 846, в котором найдена обратная матрица, и запишем решение в матричной форме:

=·.

Замечание: выполнение умножения матриц используемой размерности без применения вычислительных шаблонов затруднительно для большинства студентов.

2). Умножение матриц проведём, применяя шаблон для произведения матриц: BR=X.

а) для столбцов матрицы:X:

R1	1	0		0		0			0		0	X1	R2	2	1		0		0			0		0	X2	R3	3	2	1	0	0	0	X3
	1		-1		0		0	0		0		1		1		-1		0		0	0		0		1		1	-1	0	0	0	0	1
	0		1		-1		0	0		0		0		0		1		-1		0	0		0		1		0	1	-1	0	0	0	1
	0		0		1		-1	0		0		0		0		0		1		-1	0		0		0		0	0	1	-1	0	0	1
	0		0		0		1	-1		0		0		0		0		0		1	-1		0		0		0	0	0	1	-1	0	0
	0		0		0		0	1		-1		0		0		0		0		0	1		-1		0		0	0	0	0	1	-1	0
	0		0		0		0	0		1		0		0		0		0		0	0		1		0		0	0	0	0	0	1	0

а) для столбцов матрицы:X:

R4	4	3		2		1			0		0	X4	R5	5	4		3		2			1		0	X5	R6	6	5	4	3	2	1	X6
	1		-1		0		0	0		0		1		1		-1		0		0	0		0		1		1	-1	0	0	0	0	1
	0		1		-1		0	0		0		1		0		1		-1		0	0		0		1		0	1	-1	0	0	0	1
	0		0		1		-1	0		0		1		0		0		1		-1	0		0		1		0	0	1	-1	0	0	1
	0		0		0		1	-1		0		1		0		0		0		1	-1		0		1		0	0	0	1	-1	0	1
	0		0		0		0	1		-1		0		0		0		0		0	1		-1		1		0	0	0	0	1	-1	1
	0		0		0		0	0		1		0		0		0		0		0	0		1		0		0	0	0	0	0	1	1

3). Представленный таблицами результат умножения матриц, очевиден: это матрица .

Ответ: матрица.

Пример 10–872: Как изменится обратная матрица, если в данной матрице:

1). Переставить строки истроки?

2). Умножить строку на число?

3). Прибавить к строке строку, умноженную на число, или совершить аналогичное преобразование столбцов?

Решение:

1). Из определения обратной матрицы следует: если в матрице переставить местами две строки, то в матрице поменяются местами столбцы с теми же номерами.

2). Если умножить строку матрицы на число , то:

а) определитель матрицы умножится на число ;

б) алгебраические дополнения к строке не изменятся (свойства определителя!), а все остальные умножатся на число ;

в) следует: столбец матрицы будет умножен на число , а остальные не изменятся.

3). Рассмотрим названное преобразование на примере матрицы 5-го порядка, причем показано преобразование с участием строк = 2 и = 4 (затем результат обобщается):

= → =,

а) определитель == ∆;

б) алгебраические дополнения элементов всех строк матриц и , кроме элементов строки , остаются равными: свойства определителей;

в) алгебраические дополнения элементов строки примут вид: =+··(–1); так как все миноры к строке преобразуется по единой схеме, то проследим это на примере элемента =1:

==+·=

=+ (–1)·= +(–1)·.

Это значит, что обратная матрица для матрицы Q может быть построена из матрицы , если вычесть из ее столбца столбец , умноженный на число .

Замечание: множитель (–1) отражает выполнение одной транспозиции строк в указанном миноре!

Ответ: подробно в тексте.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Всегда ли возможно применение матрицы (А|Е) для вычисления обратной матрицы А^-1?

2. Как проверить правильность вычисления матрицы А^-1?

3. Как изменится обратная матрица А^-1, если в матрице (А|Е) матрица A будет транспонирована?

4. Всегда ли возможна запись матричного уравнения AXB = C?

5. Какой вид имеет запись решения матричного уравнения AXB = C?

6. Какой порядок действий, выполняемых при решении матричного уравнения AXB = C?

7. Возможно ли решение матричного уравнения AXB = C в случае, когда матрицы A и B вырожденные?

< * * * * * >