§ 2. Определение обратной матрицы.

Учитывая определение обратного числа: ==1, где числоназываетсяобратнымчислу, потребуем выполнения условия:

·=. (3)

Можно было бы потребовать одновременно выполнения условия: ·=, но, учитывая, что умножение матриц не обладает переместительным свойством, не станем вводить дополнительное ограничение на матрицу.

Так как матрица – квадратная, то согласно (3) и матрицадолжна быть квадратной:

.

Учитывая правило умножения матриц, на основании равенства (3), получаем требование к размерности матрицы : она такая же, как и у матрицы, то есть .

Используя теорему умножения определителей, запишем: ||·||= 1. Это значит, что определители: ||≠0 и ||≠0. Известно, что матрица, определитель которой не равен нулю, называетсяневырожденной. Это значит, что обратная матрицаА^–1существует только для невырожденнойматрицыА. Такое требование вполне ожидаемо, по аналогии с требованием для чисел при построении обратного числа:.

Из равенства ||·||= 1 следует:, гдеd=||. Равенство:·=удобно толковать как преобразование матрицыпри помощи матрицыв скалярную матрицу. Если ещё вспомнить свойство определителя о его разложении по строке (или столбцу), то запись матрицывполне угадывается:

==·, (4)

где – алгебраическое дополнение к элементуматрицы.

Учитывая правило умножения матриц строка-столбец, а также формулы разложения определителя по элементам строки и столбца, получаем:

·== d·. (5)

Выражение (4) определяет правуюобратную матрицу, так как мы потребовали выполнения только условия:·=. Но, легко убедиться, что выполняется также:·=d·, то есть выполняется одновременно условие:·=→левая обратная матрица совпадает с правой обратной матрицей!

Возникает вопрос: не может ли матрица А^–1 иметь и другие выражения записи? Допустим, что некоторая матрица – тоже обратная. Легко доказываем, что матрица единственна. Действительно, пусть:·=·=. Тогда можем записать:

==	→ R =
==

Замечание: доказательство единственности обратной матрицы использует сочетательное свойство умножения матриц и определение равенства матриц как тождественных конструкций.

При рассмотрении операции произведения матриц: =была доказана полезная теорема о транспонировании матрицы:=. Возникает вопрос: нет ли подобного выражения для обратной матрицы? Этот решает следующая теорема.

Теорема: (5.3)

Если имеем матрицы ,,,, то: =.

►Так как матрица есть матрица обратная матрице , то, используя определение обратной матрицы, можем записать: ·=. Учитывая сочетательное свойство произведения матриц, перепишем последнее выражение: ·=.

Умножим полученное равенство слева на матрицу , получим: ·=, это равенство умножим слева на матрицу : =. Теорема доказана. ◄

Замечание: доказанная теорема будет использоваться при изучении ортогональных преобразований в евклидовом пространстве.

§ 3. Вычисление обратной матрицы.

Существует несколько способов вычисления обратной матрицы для заданной матрицы . Все они используют базовое определение: матрица должна удовлетворять условию: ·=.

Способ-1. Используя выражение (4), выполняют действия:

1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d = ||.

2) Если d =0, то поиск матрицы прекращается.

3) Если d ≠0, то матрица для заданной матрицы существует. Поиск матрицы продолжается.

4) Вычисляем матрицу , затем обратную матрицу =.

Способ-2. Используется связка двух матриц . К этой связке применяют элементарные преобразования с целью получить запись этой связки в виде: .

В качестве элементарных преобразований в этом случае принимаем такие преобразования:

▫ умножение строки связки матриц на число;

▫ прибавление к некоторой строке связки матриц другой строки, умноженной на число.

☺☺

Пример 5–01: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:

1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d =(1)= =(2)=1· –1.

Выполнены операции: (1): [R2]–[R3]; [R1]–[R2]. (2): применяем разложение по столбцу-1 и завершаем вычисление.

2) Так как d ≠0, то матрица для заданной матрицы существует. Поиск матрицы продолжается.

3) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

При построении матрицы для вычисления алгебраического дополнения , соответствующего элементу , будем выделять соответствующий минор при помощи полосок картона, закрывая элемент горизонтальной и вертикальной полосками. Это позволит видеть любой выделяемый минор и легко записывать для дальнейшего использования! Указанные действия рекомендуется выполнять на черновике!

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
1					= –1;					1					= 38;					1					=–27,
		3	4							2	6		4							2	6	3
		-2	-3								5		-3								5	-2

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –1;= = 38;== –27;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		5	7		= 1;						2		7		= –41;						2	5			= 29,
2										2										2
		-2	-3								5		-3								5	-2

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== 1;= = –41;== 29;

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

	1											2											3
		5	7		= –1;						2		7		= 34;						2	5			= –24;
		3	4								6		4								6	3
3										3										3

и вычислим алгебраические дополнения ,,выделенныхминоров:

== –1;= = 34;== –24;

4). Учитывая результаты вычислений, можем записать: =·.

Способ-2. Записываем связку двух матриц : =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

1). Выполним операции: (1): [R2] –[R3]; [R1] –[R2]: имеем =.

2). Выполним операции: (2): [R2] –[R1]; [R3] –[R1] ·5. (3): [R2]+[R3]·2. Имеем:

=(2)→ =(3) → =.

3). Выполним операции: (4): [R2]+[R3]. (5): [R3]·( –1), где R – строка. Имеем:

=(4) → =(5) →.

4). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: часто сравнивают применение Способа-1 и Способа-2 по трудоёмкости вычисления матрицы, после чего отдают предпочтение одному из них; сравнивают также по степени защищённости указанных способов от вычислительных ошибок; на самом деле оба способа играют важную роль в обучении предмету!

Ответ: = .

Пример 5–02: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Способ-2. Записываем связку матриц: =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

Выполним операции: [R2]+[R1]·(–); [R3]+[R2]·(–); [R4]+[R3]·(–);…; [R]+[R(–1)]·(–):

=.

Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости вычисления матрицызначительно проще, чем Способ-1, ошибки вычислений маловероятны!

Ответ: правая часть матрицы.

Пример 5–03: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:

1). Вычислим: d=(1)==(2)==(3)==(4)==–1 → матрица невырожденная: обратная матрица существует.

Операции: (1): [R1] –[R4]; [R3]–[R4]·2. (2): [R3] –[R1]; [R4]–[R1]·2. (3): применяем разложение определителя по столбцу-1. (3): [R3]–[R1]; [R1]+[R2]·2; [R3]–[R1]; и завершаем вычисление.

Замечания:1). Вычисления матрицы можнозащитить от ошибок, применяя моделирование миноров полосками картона!

2). Моделирование можно проводить, применяя черновики!

2) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы :

= = 7; =–= –3; == –41; =–= 59;

=–= –5; == 2;=–= 30; == –43;

= = –12; =–= 5; == 69; =–= –99;

=–=19; == –8; =–= –111;== 159.

3). С учетом вынесения общего множителя (–1)элементов матрицы, можем записать ответ.

Способ-2. Записываем связку матриц : =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

1). Выполним операции: (1): [R1]–[R4]; [R3]–[R4]·2: имеем =.

2). Выполним операции: (2): [R3] –[R1]; [R4] –[R1]·2. (3): [R2]+[R3]·3; [R4] +[R3]. Имеем:

=(2)→ =(3) → =.

3). Выполним операции: (4): транспозиция строк [R2], [R4]. (5): [R2]·2 –[R4]; [R3] +[R2]·2. Имеем:

=(4) →=(5) →=.

4). Выполним операции: (6): [R4]–[R3]; [R1]+[R4]. (7): [R4]–[R3]·2; [R3]–[R4]·3. Имеем:

=(6)→=(7)→=.

5). Выполним операции: (8): [R4]+[R3]. (9): транспозиция строк [R2], [R4]; [R4]·(-1). Имеем:

=(8) → =(9) →.

6). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости значительно превосходит Способ-1; кроме того в Способе-1 операции все однотипные и легко локально проверяемые, в Способе-2 в случае ошибки, необходимо всё пересчитать заново!

Ответ:= .

☻