109

ЛА: Глава 5

Глава 5. Обратная матрица.

В настоящей главе вводится понятие обратная матрица. В определенном смысле этоподражаниечислам: естьумножение, то почему бы не бытьделению? Для чисел деление вводится использованиемединицыиобратного числа, определяющими свойствами которых являются выражения:

▫ для любого числа существует такоечисло1, что; число 1 называют единицей;

▫ для любого числа существуеттакое, что=1, где числоназываетсяобратнымчислу.

Попробуем с матрицами поступить также! А именно: определить матрицу-единицуиобратную матрицу.

§ 1. Единичная матрица.

Для матрицы-единицы Eпотребуем: для произвольной матрицыAпусть будет выполнено требование:·=·=. (1)

Если оценивать выражение (1) формально, то может показаться, что это не более чем обозначение подражания числам. На самом деле, выражение (1) является определяющим при построении обратной матрицы для заданной матрицы A. Верна следующая теорема.

Теорема: (5.1)

Матрицы и , удовлетворяющие выражению: ·=·=, обе квадратные и имеют одинаковую размерность.

►Допустим, выражение ·=·= выполняется для произвольной матрицы . Пока не решён вопрос о матрице , можно считать, что матрица должна быть специально построена для каждой заданной матрицы .

Замечание: в алгебре матриц была определена операция умножения матрицы на число с выполнением переместительного свойства: ∙ =∙, которое при значении =1 совпадает с выражением (1); этот тривиальный случай не представляет интереса при решении задачи построения обратной матрицы.

Из выражения (1) следует:

F¹: матрица·= C₁существует, то есть умножение матрицынавыполнимо;

F²: матрица·= C₂существует, то есть умножение матрицынавыполнимо;

F³: матрицыC₁иC₂равны.

Замечание: предполагается, что умножение матриц определено по правилу строка – столбец: количество столбцов в матрице A равно количеству строк в матрице B.

F¹. Так как возможно составить произведение·, то число строк матрицыдолжно быть равным числу столбцов матрицыA, это отражено на схеме:

n

k

k

m

A

n

E

m

C1

•

═

F². Так как возможно составить произведение·, то число строк матрицыAдолжно быть равным числу столбцов матрицы, это отражено на схеме:

k

n

n

n

E

m

A

n

C2

•

═

Из представленной схемы следует: необходимо =, так как умножение матриц выполнимо, по условию.

F³. Из условия: следует→=. Имеем окончательно: условию (1) могут удовлетворять только квадратные матрицыи, имеющие одинаковый порядок: .◄

Вопрос об определении записи матрицы решает следующая теорема.

Теорема: (5.2)

Если матрицы и , удовлетворяют выражению: ·=·=, то матрица имеет вид: . Такая матрица называется единичной.

►Для уменьшения громоздкости оформления доказательства рассмотрим матрицы размерности (4,4): =, =.

1) Запишем условие ·=в виде выражения:

·=,

откуда следует:

+ + + =, или +++=0.

так как последнее равенство выполняется для любых чисел (матрица – произвольная), то необходимо:

=1, =0, =0, =0,

так как элементы матрицы – произвольные числа. Аналогично получим:

+ + + =, или +++=0,

=0, =1, =0, =0;

+ + + =, или +++=0,

=0, =0, =1, =0;

+ + + =, или + + + =0,

=0, =0, =0, =1.

2) Запишем условие ·=в виде выражения:

·=,

откуда следует:

+ + + =, или + + +=0.

так как последнее равенство выполняется для любых чисел (матрица – произвольная), то необходимо:

=1, =0, =0, =0,

так как элементы матрицы – произвольные числа. Аналогично получим:

+ + + =, или + + + =0.

=0, =1, =0, =0;

+ + + =, или + + +=0.

=0, =0, =1, =0;

+ + + =, или + + + =0.

=0, =0, =0, =1.

Замечание: хотя доказательство теоремы, определяющей матрицу , демонстрирует её единственность, часто проводят дополнительное доказательство единственности .

Допустим, что некоторая матрица E′тоже единичная. Тогда можем записать:

E′ E= E′	→ E′=
E′ E= E

В выражениях E′ E= E′иE′ E= Eсущественно используется то, что единичная матрица перестановочна с любой матрицей.◄

Используя операцию умножения матрицы на число, можно определить скалярнуюматрицу:

=. (2)

Для скалярной матрицы верно: ===, что легко проверяется непосредственно использованием свойств операций умножения матрицы на число и произведения матриц.

Замечание: если записано матричное выражение: =+2+5, то всегда имеют в виду, что используется не число 5, а квадратная матрица 5 той же размерности, что и у матриц и.