1. Представление сигналов во временной и частотной областях Преобразована Фурье, преобразование Лапласа.

Обобщенная синусоида может быть представлена в виде комплексной функции в показательной форме .

Сигнал произвольной формы обычно содержит непрерывный спектр частот. В качестве элементарной составляющей сигнала в этом случае принимается не синусоида , а ее приращение, где– бесконечно малое приращение частоты. Последнее выражение можно рассматривать как обычную синусоиду частоты, локализированную в полосе частот, с бесконечно малой комплексной амплитудой.Сумма достаточно большого числа таких синусоид различных частот позволяет аппроксимировать широкий класс функций времени (включающий все функции описывающие физические процессы). Заменяя сумму синусоид интегралом по всей совокупности частот, функция может быть представлена в виде(1.1) Для преобразования (1.1), которое называется обратным, существует единственное прямое преобразование, т.е. каждой функцииоднозначно соответствует функцияи наоборот. Полученные интегральные соотношения – пара преобразований Фурье.

называется комплексной спектральной плотностью или спектром сигнала . Таким образом, во временной области сигнал характеризуется функцией времени, а в частотной (или области изображений) – спектром.

Для анализа аналоговых цепей используется преобразование Лапласа. Его применение обусловлено просто­той решения линейных дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь описывают работу аналого­вых устройств. Одностороннее преобразование Лапласа определяется выраже­нием , где – комплексная переменная.

Обратное преобразование Лапласа определяется как: ,

где – контур на s–плоскости, охватывающей все особые точки Y(s).

Существует соответствие между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье. Если Y_B(s) – двустороннее преобразование Лапласа функции , то преобразованием ФурьеA() функции будет.

Передаточная функция H(s) системы, на вход которой подается сигнал x(t), вызывающий реакцию на выходе y(t), за­дается выражением

, где и– нули и полюсы системы;

Полюсы передаточной функции определяют собственные колебания системы. Расположение полюсов определяет устойчивость системы. Система устойчива, если полюсы передаточной функциирасполагаются в левой полуплоскости.

2. z - преобразование. Соотношение между комплексными переменными z и s.

Для анализа дискретных цепей используется z–преобразование, определяемое выражением (2.1), где представляет собой последовательность выборок сигнала, взятую в дискретные моменты времени 0, T, 2T, …, nT; .

Дискретная система, на вход которой подается воздействие и реакция которой (выходной сигнал), описывается передаточной функцией

, где – вещ. коэффициент;и– нули и полюсы.

Установленные формальные соотношения между z и s, как правило, соответствуют конкретным схемотехническим реализациям элементов дискретных аналоговых цепей.

При использовании обратной разности: или .

При использовании прямой разности: или .

Билинейное преобразование: или .

При высокой частоте дискретизации, все три вида преобразования приводят к одному результату, который соответствует методу прямой разности: . Отображения комплексных переменных с помощью билинейного преобразования показано на рис.

Ось плоскостиотображается в окружность единичного радиуса на плоскости.