Содержание

Из предисловия к первому изданию

6

Из предисловия ко второму изданию

7

Предисловие к четвертому изданию

8

Глава I. Основные понятия

9

§ 1. Комплексные числа

10

1. Комплексные числа (10). 2. Геометрическая иллюстрация (12).

§ 2. Функции комплексного переменного

16

3. Геометрические понятия (16). 4. Функции комплексного

переменного (17). 5. Дифференцируемость и аналитичность (19).

§ 3. Элементарные функции

24

6. Функции w = zn и w = z1/n (24). 7. Функция Жуковского w =

(z+1/z)/2 (29). 8. Показательная функция и логарифм (32). 9.

Тригонометрические и гиперболические функции (36). 10. Общая

степенная функция w = za (42).

§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного

43

11. Интеграл от функции комплексного переменного (43). 12. Теорема

Коши (45). 13. Распространение на многосвязные области (51). 14.

Формула Коши и теорема о среднем (54). 15. Принцип максимума и

лемма Шварца (56). 16. Равномерная сходимость (58). 17. Высшие

производные (63).

§ 5. Представление аналитических функций рядами

65

18. Ряды Тейлора (66). 19. Степенные ряды (68). 20. Теорема

единственности (72). 21. Ряды Лорана (74). 22. Особые точки (78). 23.

Теорема о вычетах. Принцип аргумента (84). 24. Бесконечно

удаленная точка (90). 25. Аналитическое продолжение. Обобщение

понятия аналитической функции (93). 26. Римановы поверхности (99).

Литература к главе I

104

Глава II. Конформные отображения

105

§ 1. Общие положения. Примеры

105

27. Понятие конформного отображения (106). 28. Основная задача

(112). 29. Соответствие границ (115). 30. Примеры (122).

§ 2. Простейшие конформные отображения

128

31.

Дробно-линейные отображения (128). 32. Частные случаи (135).

33.

Примеры (140). 34. Отображения круговых луночек (148).

§ 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников

158

35.

Принцип симметрии (158). 36. Примеры (164). 37. Отображение

многоугольников (170). 38. Дополнительные замечания (176). 39.

Примеры (183). 40. Скругление углов (192).

Литература к главе II

197

Глава III. Краевые задачи теории функций и их приложения

198

§ 1. Гармонические функции

199

41.

Свойства гармонических функций (200). 42. Свойства

гармонических функций (продолжение) (209). 43. Задача Дирихле

(215). 44. Примеры. Дополнения (223). 45. Метод сеток (232).

§ 2. Физические представления. Постановка краевых задач

235

46.

Плоское поле и комплексный потенциал (235). 47. Физические

представления (245). 48. Краевые задачи (254). 49. Примеры.

Приложения (261). 50. Плоская задача теории упругости (272). 51.

Краевые задачи теории упругости (279).

§ 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи

286

52.

Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого (286). 53. Краевая

задача Гильберта — Привалова (296). 54. Формула Келдыша —

Седова (304). 55. Другие краевые задачи (310).

§ 4. Приложения

315

56.

Уравнения с частными производными (315). 57. Задачи

гидродинамики и газовой динамики (330). 58. Теория кумулятивного

заряда (339). 59. Задачи теории упругости (349).

Литература к главе III

357

Глава IV. Вариационные принципы конформных отображений

358

§ 1. Основные вариационные принципы

358

60.

Основной вариационный принцип (358). 61. Распространение

принципа (365). 62. Граничные производные (370).

§ 2. Отображения близких областей

375

63.

Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к данной

(382). 65. Распространение результатов (385).

§ 3. Приложения

393

66.

Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидкости

(398). 68. Обтекание со срывом струй (404). 69. Движение грунтовых

вод (406).

Литература к главе IV

414

Глава V. Приложения теории функций к анализу

415

§ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения

415

70.

Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных

в бесконечные произведения (431).

§ 2. Приложения теории вычетов

438

73. Вычисление интегралов (438). 74. Вычисление интегралов

(продолжение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости

(454).

§ 3. Методы асимптотических оценок

470

76. Асимптотические разложения (470). 77. Метод перевала (477). 78.

Метод производящих функций (486).

Литература к главе V

491

Глава VI. Операционный метод и его приложения

492

§ 1. Основные понятия и методы

494

79. Преобразование Лапласа (494). 80. Свойство преобразования

Лапласа (504). 81. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы

разложения (515). 83. Примеры. Дополнения (520).

§ 2. Приложения

541

84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (541). 85.

Расчет электрических контуров (548). 86. Уравнения с частными

производными (557). 87. Расчет длинных линий (568). 88. Другие

интегральные преобразования (574).

Литература к главе VI

587

Глава VII. Специальные функции

588

§ 1. Гамма-функция Эйлера

588

89. Определение и основные свойства (588). 90. Примеры.

Дополнения (598).

§ 2. Ортогональные многочлены

604

91. Ортогональные системы функций (604). 92. Ортогональные

многочлены* (610). 93. Выражение через вес. Производящие функции

(616). 94. Примеры. Приложения (624).

§ 3. Цилиндрические функции

637

95. Цилиндрические функции первого рода (638). 96. Другие

цилиндрические функции (648). 97. Асимптотические выражения для

цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических

функций. Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложения

(670).

§ 4. Эллиптические функции

682

100. Периодические функции (682). 101. Общие свойства

эллиптических функций (688). 102. Эллиптические интегралы и

функции Якоби (694). 103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции

(703). 104. Примеры. Приложения (715).

Литература к главе VII

727

Предметный указатель

728

Предметный указатель

Абель Н. 70

Абеля теоремы 70, 684

Задача Дирихле 215

— типа Коши 287

— — обобщенная 215

— Френеля 447

— —, теорема единственности 216

— Шварца 223

— —, формула для решения 221

— — для полосы 227

— наклонной производной 311, 312

— — — полуплоскости 224

— Неймана 229

— Шварца — Кристоффеля 175, 226

— Трикоми 326

— Шлеффли 641

— о штампе 355

— Эйлера 417, 442, 443, 446

— Эйлера 678

— эллиптический 184, 600, 694

Закон Гука 274

— —, амплитуда 695

— Дарси 407

— —, модуль 695

Извлечение корня из комплексных

— — полный 600

чисел 12

Интегральная показательная функция

Изображение дробных степеней 522

473

— интегралов Френеля 524т

Интегральное преобразование 489

— функции (по Лапласу) 495, 536

Интегральный косинус 417

Изолированная особая точка 78, 98

— синус 417

Изотермическая линия 249

Интегрирование изображения 506

Изотропное тело 274

— оригинала 506

Иээнтропичн ости условие 334

Интенсивность вихря 241

Импеданц 548

— источника 240

Импульсные функции 529, 531, 532

Источник поля 237

Инверсия 15, 131

Кабель 569

Интеграл Бернулли 334

Карлеман Т. 316

— Бесселя 419

Карлемана система 316

— вероятности ошибок 473

Квадруполь 246

—, главное значение 289

Квазиконформное отображение 321

— Дюамеля 510

Келдыша — Седова теорема 304

— Лапласа 441, 496

— — формула 306, 309

— Лежандра 445

Келлога теорема 117

— Липшица 671

Колосов Г. В. 198

— несобственный 61

Колосова формула 278

— особый 289

Комплексная плоскость открытая 91

— от функции комплексного

— — полная 91

переменного 43

Комплексное представление

— псевдоэллиптический 694

напряжения 278

— —, модулярный угол 695

— — смещения 278

— — полный 695\

Комплексные числа 10

— Пуассона 219, 224, 416, 444

— — в показательной форме 33

— Раабе 602

— —, геометрическое изображение

— Сонина 639, 640, 673, 674

13

— Сонина — Шлеффли 640

Комплексный потенциал 239, 249,

—, сходящийся равномерно 62

252, 253

Компоненты смещения 274

— — — с выброшенной луночкой на

Конденсатор Роговского 267

полосу 153

Контур звездный 49

— — — с вырезом на полосу 145

— кусочно-гладкий 17

— — — с горизонтальным вырезом

Конформное отображение 109

185

— — верхней полуплоскости на себя

— — полуплоскости с выброшенным

140

отрезком на полуплоскость 142

— — — — — единичный круг 137

Конформное отображение

— — — — — прямоугольник 183

полуплоскости с выброшенным

— — — — с исключенными

сегментом на полуплоскость

отрезками на верхнюю

150

полуплоскость 166

— —, принцип соответствия границ

— — внешности дуги на внешность

117

круга 148

— —, свойство сохранения углов 109

— — — круга с исключенными

— —, теорема единственности 160

отрезками па внешность круга

— — эксцентричного кругового

165

кольца на концентрическое 147

— — — креста на внешность круга

Конформность в inf 118

164

Косинус амплитуды 699

— — второго рода 109

— интегральный 417

— — единичного круга на внешность

Коши О. 10

«звезды» 123, 124

Коши — Адамара формула 71

— — — — на себя 139

— неравенство 64, 77

— — круга на внешность

Коши — Римана условия 16, 21

пятиугольной звезды 191

— — — в полярных координатах 24

— — — — плоскость с

— — — обобщенные 23

исключенными лучами 123

— теорема 45, 49, 426

— — — с выброшенной луночкой на

— — для многосвязных областей 54

круг 152

— — о вычетах 85

— — — с выброшенным отрезком

— — обобщенная 49

радиуса на круг 143

— формула 54, 294

— —.круговое свойство 109

Коэффициент распространения

— — многоугольников 170, 724

волны 568

— — областей, ограниченных

—, усиления 462

кривыми второго порядка 168

— фильтрации 407

— —.основная задача 112

Краевая задача 255

— — плоскости с выброшенными

— — Гильберта — Привалова 296

лучами па полосу 144

— — Римана — Гильберта 310

— — — с исключенными отрезками

— — смешанная 260

на плоскость с исключенными

— — теории упругости 279

отрезками 168

Краевые задачи на обтекание 255—

— — полосы на единичный круг 140

265

— условия 215

Кратность точки 17

— теорема 77

Кривая кусочно-гладкая 17

Магнитное поле в зазоре

— простая 52

электрической машины 267

Кристоффель Э. 175

— — тока 253

Критерий (метод) Вышнеградского

Маклорен К. 67

— Найквиста 464

Массовые силы 273

— Гурвица 457

Меллина преобразование 489, 578

— Найквиста — Михайлова 463

— формула обращения 578

— устойчивости 461

Мероморфные функции 83, 425

Критические точки потока 247

Метод аналогий 234

Кумулятивный эффект 339 и ел.

— Вышнеградского — Найквиста

Лагранжа формула 401

464

Лаплас П. 494

— Дарбу 486

Лапласа интеграл 441, 496

— интегральных преобразований 489

— метод 477

— итераций 233

— преобразование 494

— Лапласа 477

— — двустороннее 578

— операционный 492 и ел.

— —,свойства 504—512

— перевала 477 и ел.

— уравнение 199

— последовательного отображения

— формулы обращения 499

412

Лежандра интеграл 445

— производящих функций 486

— многочлены 418, 613

— сеток 232

— формула 602

— фрагментов 409

Лемма Жордана 439

— Чаплыгина 337

— Шварца 57

— Янсена — Рэлея 335

Линделёфа принцип 359

Миттаг-Леффлер М. 429

Линейные эллиптические системы

Миттаг-Леффлера теорема 429

319

— — — обратная 429

— эллиптические системы 319

Мнимая единица 10

Линия изотермическая 249

Многочлены Лежандра 418, 613

— наибольшего ската 484

— —, асимптотические формулы 627

— тока 237

— —, интегральные представления

— уровня 205, 359

626

Липшица интеграл 671

— —, рекуррентные формулы 625

Лиувилль Ж. 64

— ортогональные 610—636

Лиувилля теорема 64, 92

Многочлены Чебышева 418, 613

Логарифм комплексного числа 35

— —, экстремальное свойство 633

Логарифмическая производная 87

— Чебышева — Лагерра 614

— функция 34

— Чебышева — Эрмита 614

Логарифмический вычет 86

— Якоби 614

Локальная вариация 384

Модуль дополнительный 697

Лоран П. 77

— комплексного числа 13

Лорана ряд 74

— производной 111

— эллиптического интеграла 695

Обращение контурного интеграла

Модулярный угол 695

583

Момент диполя 242

— степенных рядов 424

— квадруполя 246

Обтекание кругового цилиндра 261

Монтеля принцип 363

— отрезка 269

Морера Г. 65

— произвольного профиля 263

Мореры теорема 65

— профилей Жуковского 264

Мультиполь 247

— со срывом струй 260

Напряжение 273

— тел газовыми потоками 333

— касательное 273

Общая показательная функция 43

—, комплексное представление 278

— степенная функция 42

— нормальное 273

Окрестность 16

— операторное 548

— бесконечно удаленной точки 91

Нейман К. 229

Операторная система уравнений 545

Неймана задача 229

Операторное «напряжение» 548

Неопределенный интеграл 48

— решение 541

Непрерывность функции 20

— «сопротивление» 548

— — равномерная 20

— уравнение 541

Неравенство Буняковского 605

Операторный «закон

— Коши 64, 77

Ома» 548

Несобственный интеграл 61

— метод расчета электрических

Норма 604

контуров 548

Нормированная система функций 605

— — решения дифференциальных

Носитель обобщенной функции 533

уравнений 557

Нуль, порядок 73

— «ток» 548

— функции 73

Операционный метод 492 и сл.

Область 16

— —, предельные соотношения 521

— замкнутая 16

— —, свойства 504—512

— звездная 359

— —.теоремы разложения 515

— многосвязная 17

Оригинал-функция 494

— ограниченная 17

— — особый 523

— односвязная 17

Ортогональное преобразование 109

— существования аналитической

Ортогональности условия 109

функции 97

Ортогональные многочлены 610

— сходимости ряда 71, 77

— системы функций 605

Обобщенная задача Дирихле 213

— — —, единственность 609

— теорема Коши 49

— — —, нормировка 605

— функция класса A* 532

— — — с весом 609

— — класса B* 536

Основная теорема алгебры 455

Обобщенный оригинал 536

Основной вариационный принцип

— принцип экстремума 211

359

— ряд степенной 99

Основные функции 532

— — Фурье 604

— —, сходимость 532

Особая точка 98

— — безвихревое 238

— — ветвления, алгебраическая 98

— —, вихрь или ротор 238

— — — конечного порядка 98

— —, дивергенция или расхождение

— — — трансцендентная 99

236

— — гармонической функции 205,

— — соленоидальное 237

210

— магнитное 253

— — изолированная 78, 98

— скоростей 245

— — — в бесконечности 91

— — стационарное

— — многозначного характера 98

плоскопараллельное 235

— — однозначного характера 98

— — течения жидкости 245

— — существенно особая 78, 210

— тепловое 248

— — устранимая 78, 210

— электростатическое 251, 265

Остроградский М. В. 280

Полная аналитическая функция 97

Ось действительная 12

Полный эллиптический интеграл 600

— мнимая 12

Положительное направление обхода

Отображение 18,

17

— дробно-линейное 129

Полосной фильтр 556

— квазиконформное 321

Полюс 78, 210

Отображение конформное 109

Порядок нуля 73

— однолистное (взаимно

— полюса 80

однозначное) 18

— a-точки 90

— суперпозиция 18

— связности 17

Отображения, главная линейная

— целой функции 437

часть 105

Постоянная Эйлера 592

Палатини формула 227

Потенциал 200

Параллелограмм периодов 688

— двойного поля 244

Первообразная 48

— поля 239, 251

Перевала метод 477

— — комплексный 239

Период волны 401

— — плоского диска 584

— интеграла 53, 201

— простого слоя 243

— функции 683

Потенциальная функция поля 239

— — основной 685

Поток адиабатный 334

Периодические функции 682

— векторного поля 236

— —, полосы периодов 686

Правило дробных показателей 526

Плоскость годографа 537

Правильная система контуров 426

Поверхность модуля 38

Предельные соотношения

Подъемная сила крыла самолета 248,

преобразований Лапласа 521

393

Преобразование Лапласа 489, 499

Показатель роста 494

— — двустороннее 578

Показательная форма комплексного

— Меллина 489, 578

числа 33

— Фурье 574, 575

— функция 32

— Ханкеля 581

Поле векторное 235

Привалов И. И. 296