
Практ. по алгебре / Практикум по алгебре в среде MATLAB_Жаркова / Модуль 1 / Линал_бдз1_МП12_2012
.pdf
ÁÄÇ N1 |
|
|
Манилов Дмитрий, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
|
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
|||
¯ |
|
−1; 1), c¯ = (1; −1; 2). |
|
|
x¯ = (6; 12; −1), a¯ = (1; 3; 0), b = (2; |
|
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (1; 5; −7), B = (−3; 6; 3), C = (−2; 7; 3), D = (−4; 8; −12).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
3x1 + 5x2 + x3 = −6,
5x1 + x2 + 3x3 = 6,
x1 + 3x2 + 5x3 = 0.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(1; −1), B(−5; −9), C(−3; 2).
5. Даны координаты точки М и уравнения прямой. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно прямой.
M(0; 2; 1), |
2x − 3 |
= |
y |
|
= |
z − 2 |
. |
|
4 |
−1 |
1 |
||||||
|
|
|
|
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x − 2 |
= |
y − 3 |
= |
z − 4 |
, |
x + 2 |
= |
y + 3 |
= |
z + 4 |
. |
|
2 |
−3 |
|
|
2 |
−3 |
|
||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
7. Даны уравнения двух прямых. Показать, что один из образованных ими смежных углов - острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж.
5x + 12y + 24 = 0, 5x − 12y + 4 = 0.

ÁÄÇ N1 |
|
|
Николаев Олег, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
|
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
|||
¯ |
|
−1; −3), c¯ = (−1; 2; 1). |
|
|
x¯ = (−9; 5; 5), a¯ = (4; 1; 1), b = (2; |
|
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (4; −1; 3), B = (−2; 1; 0), C = (0; −5; 1), D = (3; 2; −6).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
x1 + 3x2 + 5x3 = 0,
3x1 + x2 + x3 = −6,
5x1 + x2 + 3x3 = −8.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(1; −1), B(4; 3), C(−7; 5).
5. Даны координаты точки М и уравнения прямой. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно прямой.
M(1; 0; |
− |
1), |
x − 3, 5 |
= |
y − 1, 5 |
= |
z |
. |
|
2 |
2 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x − 1 |
= |
y + 2 |
= |
z + 5 |
, |
x + 1 |
= |
y |
= |
z + 1 |
. |
−2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
1 |
3 |
|
3 |
0 |
|
7. Даны уравнения двух прямых. Показать, что один из образованных ими смежных углов - острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж.
x + 7y − 5 = 0, 5x − 5y − 3 = 0.

ÁÄÇ N1 |
|
Панкратов Илья, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
¯
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯.
¯ −
x¯ = (4; 1; 3), a¯ = (2; 1; 3), b = ( 1; 0; 4), c¯ = (3; 2; 4).
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (−3; 4; −7), B = (1; 5; −4), C = (−5; −2; 0), D = (2; 5; 4).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
|
2x1 + 2x2 + 3x3 |
= 13, |
|
|
|
|
x1 − x2 |
= −1, |
|
−1x1 + 2x2 + x3 = 5.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(3; 8), B(7; 5), C(−5; 2).
5. Даны координаты точки М и уравнение плоскости. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно плоскости. M(−1; 0; 1), 2x + 4y − 3 = 0.
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x − 1 |
= |
y + 2 |
= |
z − 3 |
, |
x − 3 |
= |
y + 5 |
= |
z + 1 |
. |
−2 |
|
|
−1 |
|
|
||||||
3 |
2 |
|
3 |
1 |
|
7. Даны уравнения двух прямых. Показать, что один из образованных ими смежных углов - острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж.
2x + 3y + 9 = 0, 3x + 2y − 10 = 0.

ÁÄÇ N1 |
|
Полетаев Эмиль, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
¯
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯.
− ¯ −
x¯ = ( 2; 4; 7), a¯ = (3; 1; 2), b = (1; 3; 1), c¯ = ( 1; 2; 4).
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (1; 2; −3), B = (1; 0; 1), C = (−2; −1; 6), D = (0; −5; −4). 3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
2x1 + 3x2 + 3x3 = 7,
x1 − 3x2 + x3 = −6,
3x1 + 3x2 − x3 = 2.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(−6; 1), B(−9; −3), C(2; −5).
5. Даны координаты точки М и уравнения прямой. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно прямой.
M(3; |
− |
3; |
− |
1), |
x − 6 |
= |
2y − 7 |
= |
2z + 1 |
. |
|
5 |
8 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x − 2 |
= |
y − 3 |
= |
z − 7 |
, |
x + 7 |
= |
y − 3 |
= |
z − 4 |
. |
|
5 |
−2 |
|
|
3 |
|
|
||||||
|
3 |
|
5 |
|
−2 |
7. Даны координаты вершин A и B треугольника АВС и точки М пересечения его высот. Найти координаты вершины С. Сделать чертеж. A(5; 2), B(5; −2), M( 176 ; 203 ).

ÁÄÇ N1 |
|
Розенштейн Борис, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
¯ |
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
¯ |
−1; 1), c¯ = (4; 1; 0). |
x¯ = (−5; 9; −13), a¯ = (2; 1; −2), b = (3; |
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (−1; 2; −3), B = (4; −1; 0), C = (2; 1; −2), D = (3; 4; 5).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
x1 + 2x2 + 3x3 = 11,
2x1 + x2 + 2x3 = 11,
3x1 + 2x2 + x3 = 11.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(1; 2), B(−5; −6), C(−3; 5).
5. Даны координаты точки М и уравнение плоскости. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно плоскости. M(1; 0; 1), 4x + 6y + 4z − 25 = 0.
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x − 2 |
= |
y − 1 |
= |
z + 1 |
, |
x − 2 |
= |
y + 4 |
= |
z − 8 |
. |
4 |
|
|
1 |
|
|
||||||
3 |
7 |
|
2 |
3 |
|
7. Даны координаты вершин A и B треугольника АВС и точки М пересечения его высот. Найти координаты вершины С. Сделать чертеж. A(6; −2), B(−2; 2), M(−1; −2).

ÁÄÇ N1 |
|
|
Солодовников Андрей, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
|
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
|||
¯ |
|
−2; 1), c¯ = (1; 3; 1). |
|
|
x¯ = (8; 9; 4), a¯ = (2; 2; −1), b = (0; |
|
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС?; в)объем тетраэдра ABCD. A = (−2; 0; −4), B = (−1; 7; 1), C = (4; −8; −4), D = (1; −4; 6).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
3x1 − 2x2 + 4x3 = 11,
2x1 − x2 − x3 = 3,
3x1 + 4x2 − 2x3 = −7.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(−3; 2), B(0; 6), C(−12; 8).
5. Даны координаты точки М и уравнение плоскости. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно плоскости. M(1; 2; 3), 2x + 10y + 10z − 1 = 0.
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x + 1 |
= |
y − 1 |
= |
z − 2 |
, |
x − 3 |
= |
y + 2 |
= |
z + 1 |
. |
−2 |
|
|
3 |
|
|
||||||
2 |
3 |
|
1 |
5 |
|
7. Даны координаты вершин A и B треугольника АВС и точки М пересечения его высот. Найти координаты вершины С. Сделать чертеж. A(−10; 2), B(6; 4), M(5; 2).

ÁÄÇ N1 |
|
Сохно Евгения, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
¯
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯.
¯
x¯ = (3; 1; 3), a¯ = (2; 1; 3), b = (3; 5; 3), c¯ = (4; 2; 1).
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (1; 1; 2), B = (−1; 1; 3), C = (2; −2; 4), D = (−1; 0; −2).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
x1 + 2x2 + 4x3 = 31,
5x1 + x2 + 2x3 = 29,
3x1 − x2 + x3 = 10.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(1; 3), B(5; 0), C(−7; −3).
5. Даны координаты точки М и уравнение плоскости. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно плоскости. M(0; −3; −2), 2x + 10y + 10z − 1 = 0.
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x + 1 |
= |
5y − 1 |
= |
z |
, |
x − 2 |
= |
y + 1 |
= |
z − 2 |
. |
|
2 |
|
2 |
|
10 |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
2 |
15 |
|
7. Даны координаты вершин A и B треугольника АВС и точки М пересечения его высот. Найти координаты вершины С. Сделать чертеж. A(−2; 1), B(2; 5), M(0, 5; 0, 5).

ÁÄÇ N1 |
|
Субачев Игорь, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
¯ |
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
¯ |
−1). |
x¯ = (−1; 7; 4), a¯ = (−1; 2; 1), b = (2; 1; 3), c¯ = (1; 1; |
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (2; −1; 2), B = (1; 2; −1), C = (3; 2; 1), D = (−4; 2; 5).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
4x1 |
1+ 5x2 |
+ 8x3 |
= 6, |
|
|
x + x2 |
+ 2x3 |
= 1, |
x1 + 3x2 + x3 = 6.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(1; 3), B(4; 7), C(5; 0).
5. Даны координаты точки М и уравнения прямой. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно прямой.
M(2; 3; 0), |
x − 0, 5 |
= |
y − 1, 5 |
= |
z − 0, 5 |
. |
|
1 |
0 |
1 |
|||||
|
|
|
|
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x − 5 |
= |
y − 2 |
= |
z + 1 |
, |
x − 1 |
= |
y − 1 |
= |
z − 1 |
. |
1 |
|
|
3 |
|
|
||||||
2 |
3 |
|
2 |
1 |
|
7. Даны уравнения двух прямых. Показать, что один из образованных ими смежных углов - острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж.
x − 7y + 5 = 0, 5x + 5y + 3 = 0.

ÁÄÇ N1 |
|
Ульянова Екатерина, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
¯ |
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
¯ |
−1; 4). |
x¯ = (3; −3; 4), a¯ = (3; 1; 2), b = (2; 1; 1), c¯ = (2; |
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (2; 1; 4), B = (−1; 5; −2), C = (−7; 3; 2), D = (−6; −3; 6).
3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
|
4x1 + 3x2 − x3 = 12, |
|
|
|
|
2x1 − 7x2 + 3x3 = 8,
3x1 − 2x2 + 4x3 = 19.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(−1; 1), B(2; 3), C(−9; 5).
5. Даны координаты точки М и уравнения прямой. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно прямой.
M(2; 1; 0), |
x − 2 |
= |
y + 1, 5 |
= |
z + 0, 5 |
. |
|
0 |
|
−1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x + 2 |
= |
y + 1 |
= |
z − 1 |
, |
x − 1 |
= |
y − 2 |
= |
z − 6 |
. |
−1 |
|
|
−2 |
|
|
||||||
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
7. Даны уравнения двух прямых. Показать, что один из образованных ими смежных углов - острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж.
3x − 4y − 2 = 0, 8x − 6y + 15 = 0.

ÁÄÇ N1 |
|
|
Федотова Наталия, группа МП-12 |
|
1. Даны координаты векторов |
|
¯ |
в правом ортонормированном базисе ¯ ¯ ¯. Показать, что векторы |
¯ |
|
a,¯ b, c,¯ x¯ |
i, j, k |
a,¯ b, c¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
тоже образуют базис и найти координаты вектора x¯ в базисе a,¯ b, c¯. |
|
|||
¯ |
|
−2; 0), c¯ = (−3; 2; 5). |
|
|
x¯ = (3; −4; 0), a¯ = (2; 2; 1), b = (1; |
|
2. Äàíû êîîрдинаты то÷åê A, B, C, D в правой прямоугольной системе координат. Вычислить: а)проекцию вектора AB на вектор AD; б)площадь треугольника ABC;как векторное произведение связано с площадью
треугольника АВС? в)объем тетраэдра ABCD. A = (2; 4; −2), B = (0; 1; −3), C = (1; 4; 7), D = (−3; 0; 5). 3. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера. Сделать проверку.
x1 |
+ 5x2 +−3x3 |
= |
−7, |
|||
|
2x1 |
+ x2 |
x3 |
= |
1, |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 + 2x2 + x3 = 0.
4.Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти уравнение стороны ВС, а так же уравнения биссектрисы, медианы и высоты, проведенных из вершины А. Все уравнения прямых дать в канонической
форме. A(−1; −2), B(5; 6), C(3; −5).
5. Даны координаты точки М и уравнение плоскости. Найти координаты точки, симметричной точке М относительно плоскости. M(3; −3; −1), 2x − 4y − 4z − 13 = 0.
6. Даны уравнения двух прямых. Установить, скрещиваются, пересекаются или параллельны эти прямые; если прямые пересекаются или параллельны, написать уравнение содержащей их плоскости; если скрещивающиеся, написать уравнение плоскости, содержащей первую прямую и параллельной второй прямой.
x + 3 |
= |
y − 3 |
= |
z + 3 |
, |
x − 9 |
= |
y − 2 |
= |
z − 1 |
. |
2 |
|
|
−2 |
|
|
||||||
3 |
0 |
|
1 |
2 |
|
7. Даны уравнения двух прямых. Показать, что один из образованных ими смежных углов - острый, и найти уравнение биссектрисы этого угла. Сделать чертеж.
3x + 2y − 10 = 0, 3x − 2y − 9 = 0.