§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

причем предполагается, что среди чисел есть хотя бы одно ненулевое.

Существует система координат (называемая канонической), в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид, приведенный в таблице (канонический вид).

	эллипс
	гипербола
	парабола
	мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)
	на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку
	две пересекающиеся прямые
	две параллельные прямые
	две совпадающие прямые
	две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Задача 1. Изобразить кривую, найти ее характеристики:

Р

ешение. Надо привести это уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты по и поСледовательно, данная кривая является эллипсом. Его центр:Полуоси:Для нахождения координат фокусов находим параметр(половину расстояния между фокусами):Отсюда получаем фокусы:Эксцентриситет:

Задача 2. Составить уравнение гиперболы с асимптотами касающейся оси

Р

ешение. Уравнения асимптот гиперболы с центром имеют видСледовательно, центр гиперболы имеет координаты

и Нарисуем гиперболу, учитывая, что она касается оси абсцисс.

Из рисунка видно, что Так кактоТак как действительная ось гиперболы параллельна осито в правой части уравнения будетвместоОтсюда получаем уравнение:

Задача 3. Найти площадь области, ограниченной кривой

Решение. В случае, когда коэффициенты при иравны друг другу, то поворотом системы координат на угол вможно избавиться от произведенияв уравнении кривой. Напишем формулы поворота на угол

(здесь – координаты точки в исходной системе координат, а– координаты той же точки в системе координат, повернутой на угол. Приполучаем прямые и обратные формулы:

Подставим обратные формулы в уравнение кривой:

Следовательно, . Отсюда

)

Рис. 5.30

. Рисуем оси эллипса, находим отрезкии(его полуоси). Далее строим отрезок(рис. 5.34) и фокусыэллипса.

Задача 4. Установить, что уравнение

определяет эллипс, найти его центр и полуоси.

Решение. Преобразуем это уравнение:

, или

, или

.

Положим и уравнение примет видЭто уравнение эллипса с полуосямии.

Задача 5. Установить, что уравнение определяет гиперболу, найти ее центр и полуоси.

Подберём угол , после поворота на который уравнение кривой не будет содержать произведения переменныхи. Подставим формулы поворота в заданное уравнение, которое лучше переписать в виде:

,

,

.

Найдём такой угол , чтобы в последнем уравнении не содержалось слагаемое. Достаточно положить,, то есть,.

Тогда преобразование примет вид

- поворот против часовой стрелки вокруг точки , а уравнение кривой (5.28) в новой системе координат:

- это уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке (рис. 5.16).