§ 6. Применение теории квадратичных форм к кривым и поверхностям второго порядка

Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис ,и точка О – начало координат). Рассмотрим общее уравнение второго порядка:

. (11)

Обозначим через сумму старших слагаемых:

и рассмотрим квадратичную форму . Её матрица симметрическая.

Задача 9. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом собственных векторов.

Матрица квадратичной формы имеет вид. Найдём её собственные векторы. Характеристическое уравнение:,, его корни:,.

Имеем для :, иДля:и

В базисе матрица оператора диагональная:. Нормируем векторыМатрица перехода от базисак базисуВернёмся к квадратичной форме. Положимто есть

(12)

Тогда .

Замечание. Формулы (12) – формулы поворота осей координат на угол против хода часовой стрелки. Уголопределяется соотношениями

, ().

В общем случае преобразование поворота осей координат

(13)

приведёт линию (11) к виду

. (14)

Эта процедура называется приведением линии второго порядка к главным осям (из дальнейшего изложения будет ясно, что, если (11) – эллипс или гипербола, то новые оси ипараллельны главным осям кривой).

Коэффициенты ив уравнении (14) – характеристические числа матрицыи могут быть найдены как корни уравненияили

(15)

Обозначим ,.

Имеем: (действительно, из (15) находим, или, и по теореме Виета).

Случай 1. (криваяэллиптического типа).

Преобразуем (14) следующим образом:

обозначив придём к равенству

.

Положим

(16)

и в новой системе координат получим:

. (17)

Формулы (16) – формулы параллельного переноса начала координат в точку .

Случай 1. а) Знак противоположен знаку(и, следовательно, знаку). Тогда (17) определяет эллипс:

.

Случай 1. б) , - уравнение (17) определяет одну точку:.

Случай 1. в) Знаки исовпадают, – нет точек (мнимый эллипс).

Случай 2. (криваягиперболического типа).

В этом случае знаки ипротивоположены.

Случай 2. а) - уравнение (14.33) определяет гиперболу:

.

Случай 2. б) - уравнение (17) принимает вид:

.

Пусть , тогдаи уравнение (17) можно переписать в следующем виде

. (18)

Уравнение (18) определя5ет пару пересекающихся прямых: .

Случай 3. (криваяпараболического типа).

Пусть для определённости (тогда). Уравнение (11) преобразованием (13) приводится к виду

. (19)

Пусть , тогда (19) можно переписать следующим образом

.

Получим:

. (20)

Уравнение (20) определяет параболу.

Если же , то уравнение (14.35) перепишем в виде

.

Обозначив и полагаяприходим к уравнению

. (21)

Случай 3. а) , - уравнение (21) определяет пару параллельных прямых:.

Случай 3. б) , - уравнение (21) определяет пару совпадающих прямых:.

Случай 3. в) , - нет точек (пара мнимых прямых).

Сведём полученные результаты в таблицу.

кривая эллиптического типа		и разных знаков	эллипс
		и одного знака	мнимый эллипс
			точка
кривая гиперболического типа			гипербола
			пара пересекающихся прямых
кривая параболического типа		и одного знака	пара мнимых параллельных прямых
		и разных знаков	пара параллельных прямых
			пара совпадающих прямых
			парабола

Задача 10. Определить вид и расположение кривой второго порядка

. (22)

Решение. Слагаемые второго порядка в (22) составляют квадратичную форму

,

которую преобразование неизвестных по формулам

(23)

приводит к сумме квадратов (см. задачу 9).

Тогда уравнение кривой (22) преобразованием (23) приведётся к виду

.

Здесь ,и, следовательно,, – кривая эллиптического типа.

Как при рассмотрении выше случая 1, соберём слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими:

, или

Полагаем и получим. Это уравнение эллипса с полуосямии центром в точке(см. рисунок).

Задача 11. Определить вид поверхности второго порядка, заданной уравнением

Решение. Левая часть уравнения – квадратичная форма. Её матрица: Характеристическое уравнениепринимает вид

Корни характеристического уравнения: Следовательно, каноническое уравнение поверхности таково:Оно определяетдвуполостный гиперболоид.