Численные методы / Введение в численные методы

для уравнений в частных производных.

Для студентов факультетов и отделений прикладной математики вузов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Консервативные разностные схемы

152

Предисловие

§ 4. Однородные схемы на

159

Введение

7

неравномерных сетках

Глава I. Разностные уравнения

23

§ 5. Методы построения разностных

167

§ 1. Сеточные функции

23

схем

§ 2. Разностные уравнения

26

Глава V. Задача Коши для

174

§ 3. Решение разностных краевых задач

34

обыкновенных дифференциальных

для уравнений второго порядка

уравнений

§ 4. Разностные уравнения как

38

§ 1. Методы Рунге — Кутта

174

операторные уравнения

§ 2. Многошаговые схемы. Методы

184

§ 5. Принцип максимума для

55

Адамса

разностных уравнений

§ 3. Аппроксимация задачи Коши для

195

Глава II. Интерполяция и численное

61

системы линейных обыкновенных

интегрирование

дифференциальных уравнении первого

§ 1. Интерполяция и приближение

61

порядка

функций

§ 4. Устойчивость двухслойной схемы

200

§ 2. Численное интегрирование

70

Глава VI. Разностные методы для

211

Глава III. Численное решение систем

85

эллиптических уравнений

линейных алгебраических уравнений

§ 1. Разностные схемы для уравнения

211

§ 1. Системы линейных алгебраических

85

Пуассона § 2. Решение разностных

221

уравнений

уравнений

§ 2. Прямые методы

91

Глава VII. Разностные методы решения

232

§ 3. Итерационные методы

96

уравнения теплопроводности

§ 4. Двухслойная итерационная схема с

110

§ 1. Уравнение теплопроводности с

232

чебышевскими параметрами

постоянными коэффициентами

§ 5. Попеременно-треугольный метод

120

§ 2. Многомерные задачи

243

§ 6. Вариационно-итерационные методы

126

теплопроводности

§ 7. Решение нелинейных уравнений

130

§ 3. Экономичные схемы

250

Глава IV. Разностные методы решения

137

Дополнение

260

краевых задач для обыкновенных

Литература

266

дифференциальных уравнений

Предметный указатель

267

§ 1. Основные понятия теории

137

Список обозначений

270

разностных схем

§ 2. Однородные трехточечные

149

разностные схемы

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Жесткие системы уравнений 192

Алгоритм неустойчивый 13

Задача Дирихле 211

— условно устойчивый 13

— корректная 14

— экономичный 11

— Коши 32

Аппроксимация разностная (на сотке) 138

— краевая 32

— суммарная 254

— некорректная 15

Весовые множители 70

— о собственных значениях 42

Вычислительная неустойчивость 115

Интерполянта 61

Интерполяционный полином 62

— — левой 37

— — Лагранжа 64

— — правой 37

— — Ньютона 64

Метод простой итерации 98

Интерполяция эрмитова 65

— прямой 89

Итерационные методы 90

— прямых 234

Итерационный метод двухшаговый

— разделения переменных 222

(трехслойный) 97

— Ритца 172

— — неявный 97

— Ричардсона 115

— — одношаговый (двухслойный) 97

— Рунге 82, 165, 178

— — явный 97

— Рунге — Кутта 174

Квадратурная формула 70

— секущих 136

— — Гаусса 82

— скорейшего спуска 128

— — Котеса 74

— сопряженных градиентов 129

— — прямоугольника 71

— стационарный

итерационный 102

— — Симпсона 72

— сумматорных тождеств 171

— — трапеции 71

— Штёрмера 189

— — Чебышева 83

— энергетических неравенств 144, 207

Коэффициенты Лагранжа 62

Минимизирующий квадратичный функционал

Краевые условия 33

171

— — 1-го рода 33

Наилучшее среднеквадратичное приближение

— — 2-го рода 33

68

Краевые условия 3-го рода 33

Невязка для разностной схемы на решении 146

Кубическая сплайн-интерполяция 65

Норма оператора 40

Линейно независимые векторы 39

Обратное интерполирование 67

— — решения 27

Однородная разностная схема 150

Линейное пространство 38

Оператор единичный 41

— — действительное 38

— линейный 40

— — комплексное 38

— неотрицательный 41

Мажорантная функция (мажоранта) 55

— обратный 40

Матрица верхняя треугольная 87

— ограниченный 40

— диагональная 86

— положительный 41

— ленточная 88

— разрешающий 111

— нижняя треугольная 86

— самосопряженный 41

— разреженная 87

— сопряженный 41

Мера обусловленности 89

— факторизованный 129, 252

Метод Адамса — Штёрмера 191

— экономичный

(экономичность оператора)

— баланса (интегро-интерполяционный) 167

119

— Бубнова — Галеркина 173

Операторное уравнение первого рода 88

— вариационно-разностный 171

Операторы перестановочные 41

— вариационного типа 126

Ошибка округления 10

— верхней релаксации 101

Погрешность аппроксимации для краевого

— дихотомии 130

условия 146

— Зейделя 99

— — в точке, m-й порядок 139

— касательных 133

— — для уравнения 146

— конечных элементов 173

— — на решении 147

— линеаризации 133

— — па сетке 140, 185

— минимальных невязок 127

— — оператора 139

— Ньютона 133

— квадратурной формулы 70

— переменных направлений 251

— метода 10

— Пикара (последовательных приближении)

Погрешность неустранимая 10

175

Полином обобщенный 68

— попеременно-треугольный 120

— Чебышева 112, 114

— поправок 128

Принцип максимума 55

— прогонки 34

Пространство евклидово (унитарное) 39

— — встречной 37

— нормированное 39

— сеточных функций 46

— — Рунге — Кутта 179

— энергетическое 45

— — с весами 198

Процесс Эйткена 81

— — с опережением 198

Равенство Парсеваля — Стеклова 69

— — симметричная 198

Равномерное приближение 69

— — условно устойчивая схема (пример) 182

Разделенные разности 1-го порядка 64

— — устойчивая 142, 143

— — 2-го порядка 64

Разностная схема чебышевская итерационная

Размерность линейного пространства 39

112

Разностная производная 139

— — чисто неявная 198

— — левая 139

— — Эйлера 141, 176

— — правая 139

— — экономичная 250

— — центральная 139

— — явная 198

— схема 141

Разностное уравнение линейное с постоянными

— — Адамса 188

коэффициентами 26

— — аддитивная 256

— — m-го порядка (т >= 1) 26

— — безусловно устойчивая (пример) 182

— — однородное 28

— — двухслойная 181, 197

Разностные неравенства 27

— — Дугласа — Рекфорда 254

— формулы Грина 50

— — квазиустойчивая 145

Сетка квадратная 212

— — консервативная 152

— неравномерная 16

— — корректная 142

— равномерная 16

— — Кранка — Николсона 230

Сеточная функция 16, 138

— — крест 212

Сплайн порядка т 66

— — локально-одномерная 258

Среднеквадратичное уклонение 68

— — многошаговая 184

Сходимость разностной схемы 146

— — m-го порядка точности 146

— с квадратичной скоростью 134

— — m-шаговая (т >= 1) 185

Уравнение теплопроводности 232

— — неустойчивая 142

Устойчивость разностной схемы с весами 182

— — неявная 198

Формула Тейлора 74

— — одношаговая 181

Формулы бегущего счета 125

— — Писмена — Рекфорда 251

Численное интегрирование 70

— — предиктор — корректор (счет —

Число обусловленности 89

пересчет) 180

Шаблон 139

— — расщепления 258

— квадратурной формулы 71

— — р-устойчивая 201