Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЧМ / Вычислительные методы и компьютерная алгебра.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

665.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

При обращении к функции solver без указания выходных параметров по умолчанию вызывается функция odeplot для построения графика вычисленного решения.

6.3. Порядок выполнения работы

Написать m-файл-сценарий для решения дифференциального уравнения первого порядка изложенными выше методами. Дифференциальное уравнение взять из табл. 6.1 в соответствии с номером своей бригады и кодом подгруппы. Получить также решение уравнения с помощью функций ode34 и ode45. Все

решения вывести в виде графиков в одно графическое окно.

Таблица 6.1

Дифференциальные уравнения первого порядка

№ ва-

ри-

Уравнение

ри-

Уравнение

анта

1а

y′ = x + 2 y, y(0) =1

1б

y′ = e−x ,

y(0) = 5

2а

y′ =

xy − y2

, y(1) =1

2б

y′ =

x + y

y(1) = 0

x − y

x2 −2xy

3а

y′

2 y

y(1) = 0

3б

y′ =

x − y

y(1) = 0

x + y

4а

′

y(0) = 5

4б

y′ = 2 y +3,

y(0) = 3

= − y ,

Окончание табл. 6.1

1	2

5а	y′ = 2 y2 + y,	y(0) = 3

6а	y′ = x +2 y2 ,	y(0) = 0

3	4

5б	y′ = ex +1, y(0) = 0

6б	y′ = x2 y + x3 , y(1) = 0

7а

′

7б

y 2

= x + x2 +1

, y(0) =1

y ′ = x − 1 + x − 1 , y (0) = 1

8а

y′

y(1) =1

8б

′

cos x

y(1) =1

y2 + x

9а

y′ = x2 + y2 ,

y(0) = −1

9б

y′ = x3 + y2 ,

y(0) =1

10а

y′ = x3 − y2 ,

y(0) = −1

10б

y′ = x2 + y3 ,

y(0) = 0

11а

y′ = x3 + y3 ,

y(0) = 0

11б

y′ = x3 − y3 ,

y(0) =1

12а

′

12б

y′ =1 + x

2xy

= x + x ,

y(1) = 0

+ x2 +1, y(0) =1

13а

y′

y(2) =1

13б

y′ =

, y(0) = −1

ln x

x + y

14а

y′ = e−x2 ,

y(0) =1

14б

y′ = y − x4 ,

y(0) =1

15а

y′ = 3x2 − y2 , y(1) =1

15б

y′ = x3 + 2 y2 , y(0) =1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

7.1.Цель работы

7.1.1.Изучение методов численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

7.1.2.Приобретение навыков программирования методов численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

7.1.3.Приобретение навыков использования стандартных средств Matlab для численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

7.2.Теоретические положения

7.2.1.Постановка задачи

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется совокупность дифференциальных уравнений следующего вида:

y′	(x) =	f	1	(x,	y	, y	2	,Κ , y	n	) ,
1			1		1		2		n
y2′	(x) = f2 (x, y1 , y2 ,Κ , yn ) ,										(7.1)
	Κ		Κ		Κ	Κ					(7.1)
	Κ		Κ		Κ	Κ

yn′ (x) = fn (x, y1 , y2 ,Κ , yn ).
Неизвестными здесь являются функции								y1 (x) ,		y2 (x) , …, yn (x) независимой
переменной x , а y1′(x) ,	y2′ (x) , …, yn′ (x) – их производные. Задача Коши для

данной системы дифференциальных уравнений формулируется следующим образом: найти функции y1 (x) , y2 (x) , …, yn (x) , удовлетворяющие равенствам

(7.1) и начальным условиям

y1(x0 ) = y1,0 ,
y2	(x0 ) = y2,0	,	(7.2)
	Κ Κ		(7.2)
	Κ Κ

yn (x0 ) = yn,0 .

Обычно для записи системы дифференциальных уравнений (7.1) используется векторная форма, для чего данные организуются в виде векторов. Введем в рассмотрение векторную функцию – вектор-столбец

y1(x)
y	2	(x)
y(x) =			.
	Κ

yn		(x)

Тогда можно рассматривать также вектор-столбец производной

	y′	(x)
	1
′	y2′	(x)
′
y (x) = Κ

	yn′	(x)

и вектор-столбец функций правой части системы (7.1)

	f1	(x, y)

	(x, y) = f2	(x, y) .
f	(x, y) = f2	(x, y) .
	Κ

	fn	(x, y)

С использованием этих векторных обозначений система дифференциальных уравнений (7.1) запишется в виде

′	(7.3)
y (x) = f (x, y) ,

а начальные условия (7.2) – в виде

y(x0 ) =

где

y1,0

y0 = y2Κ,0

yn,0

y0 ,

(7.4)

Мы видим, что векторная запись (7.3), (7.4) системы дифференциальных уравнений первого порядка (7.1), (7.2) имеет тот же вид, что и дифференциальное уравнение 1-го порядка (6.1), (6.2). Это внешнее сходство позволяет предположить, что методы решения дифференциального уравнения 1-го порядка (см. лабораторную работу № 6), можно распространить (обобщить) и на систему диф-

ференциальных уравнений 1-го порядка вида (7.1), (7.2). Это предположение оказывается справедливым.

7.2.2. Приведение дифференциального уравнения n -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения n -го поряд-

ка

′ ′′	(n)	) = 0	,	(7.5)
Φ(x,u,u ,u ,Κ ,u		) = 0	,	(7.5)
удовлетворяющее начальным условиям
u(x0 ) = u0 , u′(x0 ) = u0′ , …, u(n) (x0 ) = u0(n) ,				(7.6)

где u0 ,u0′,Κ ,u0(n) – некоторые числа. Если уравнение (7.5) можно разрешить относительно старшей производной u(n) (x) , то его можно представить в виде системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка. Покажем, как это сделать. Пусть уравнение (7.5) представлено в виде

u	(n)	′	′′	(n−1)	(x)) .	(7.7)
u		(x) = F(x,u(x),u (x),u	(x),Κ ,u		(x)) .	(7.7)

Для функции u(x) и ее производных до (n −1) -го порядка введем обозначения y1(x) = u(x) ,

y2 (x) = u′(x) , y3 (x) = u′′(x) ,

…………….

yn (x) = u(n−1) (x) .

Дифференцирование этих равенств с учетом выражения (7.7) дает нам следующую систему дифференциальных уравнений первого порядка

y1′(x) = y2 (x) ,
y2′ (x) = y3 (x) ,
y3′(x) = y4 (x) ,	(7.8)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЧМ

#
05.06.2015753.38 Кб29matlab1.pdf
#
05.06.2015512.85 Кб32matlab2.pdf
#
05.06.20151.1 Mб30Введение в методы численного анализа.pdf
#
05.06.201518.56 Mб78Введение в теорию разностных схем.pdf
#
05.06.201526.67 Mб42Введение в численные методы.PDF
#
05.06.2015665.99 Кб77Вычислительные методы и компьютерная алгебра.pdf
#
05.06.201580.2 Кб26Задание по ЧМ Магистры ЭКТ.docx