ЗАНЯТИЕ 2. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Эллиптический и гиперболический параболоиды. Однополостный и двуполостный гиперболоиды. Конус. Цилиндрические поверхности. Приведение уравнений к каноническому виду. Построение эскизов поверхностей.
|
Ауд. |
Л-3. Гл. 1 |
№ 372-377, 393-396. |
10 |
☺ ☻ ☺
Пример
1–372:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано каноническое уравнение трёхосного эллипсоида.
2). Центр
фигуры находится в точке (0,0,0), причём:
=3,
=2,
=5.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 27 в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: трёхосный
эллипсоид с центром в точке (0,0,0), при:
=3,
=2,
=5.
Пример
2–373:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
2). Центр
фигуры находится в точке (0,0,0), причём:
=4,
=2,
=6.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: однополостный
гиперболоид с центром в точке (0,0,0), при:
=3,
=2,
=6.
Пример
3–374:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано
каноническое уравнение двуполостного
гиперболоида вращения, ось вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0). При этом:
=
=
=1.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: двуполостный
гиперболоид вращения с центром (0,0,0),
при
=
=
=1.
Пример
4–375:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано
каноническое уравнение конуса вращения
второго порядка, ось вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0). При этом:
=
=
=1.
3).
Выполнение рисунка заменить рассматриванием
рисунка 29 в ответах задачника (внимательно
посмотрите!).
Учесть, что ось вращения
.
Ответ: конуса
вращения второго порядка (ось вращения
),
центр (0,0,0), при
=
=
=1.
Пример
5–376:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано
каноническое уравнение параболоида
вращения, ось вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0), причём:
.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: параболоид
вращения: центр в точке (0,0,0);
,
не определено.
Пример
6–377:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0), причём:
=
=1,
=
.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: гиперболический
параболоид: центр в точке (0,0,0);
,
не определено.
☺☺
Пример
7–393:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндр, направляющей
которого является окружность радиуса
2, а образующая параллельна оси
.
2).
Выполнение рисунка заменить рассматриванием
рисунка 31 а) в ответах задачника
(внимательно посмотрите!),
учитывая, что образующая параллельна
оси
.
Ответ: в тексте.
Пример
8–394:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндр, направляющей
которого является гипербола
=4,
=3,
а образующая параллельна оси
.
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 б) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: в тексте.
Пример
9–395:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндр, направляющая
которого:
− окружность, а образующая параллельна
оси
.
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.
Ответ: в тексте.
Пример
10–396:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндр, направляющая
которого:
− парабола, а образующая параллельна
оси
.
2).
Выполнение рисунка заменить рассматриванием
рисунка 31 в) в ответах задачника
(внимательно посмотрите!),
учитывая, что образующая параллельна
оси
.
Ответ: в тексте.
☺☺
* * * * * * * * * *
Домашнее задание
|
Дома |
Л-3. Гл. 1 |
№ 378-383, 397-402. |
12 |
Пример
1–378:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Имеем
каноническое уравнение эллиптического
параболоида, ось вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры в точке (0,0,0), При
этом:
=1,
=
и
=1.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: эллиптический
параболоид, центр в точке (0,0,0), при:
=1,
=
и
=1.
Пример
2–379:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано
каноническое уравнение параболического
цилиндра, образующая параллельна
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0), При этом:
не определено.
3).
Выполнение рисунка заменить рассматриванием
рисунка 31 в) с соответствующей заменой
оси
на ось
(только по-честному!).
Ответ: параболический
цилиндр, образующая параллельна
,
не определено.
Пример
3–380:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано
уравнение параболоида вращения, ось
вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры в точке (0,0,2), при
этом:
=
=1
и
=
.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: параболоид
вращения с центром в точке (0,0,2), при:
=
=1
и
=
.
Пример
4–381:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Задано каноническое уравнение гиперболического параболоида.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,2), При этом:
=
,
=2
и
=3.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 30 а) (только по-честному!).
Ответ: параболоид
гиперболический с центром (0,0,0), при:
=
,
=2
и
=3.
Пример
5–382:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Перепишем
уравнение:
– это каноническое уравнение однополостного
гиперболоида вращения, ось вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0), При этом:
=
=
=2.
3). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 28 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!).
Ответ: однополостный
гиперболоид вращения с центром (0,0,0),
при:
=
=
=2.
Пример
6–383:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1). Перепишем
уравнение:
–
это каноническое уравнение двуполостного
гиперболоида вращения, ось вращения
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,0), При этом:
=
=
=2.
3).
Выполнение рисунка заменить рассматриванием
рисунка 28 б) с
соответствующей заменой оси
на ось
(только по-честному!).
Ответ: двуполостный
гиперболоид вращения с центром в точке
(0,0,0), при:
=
=
=2.
☺☺
Пример
7–397:
Установить, какой геометрический образ
определяется заданным уравнением:
.
Сделать рисунок.
Решение:
1).
Перепишем уравнение:
Задано уравнение параболического
цилиндра, образующая параллельна
.
2). Центр
геометрической фигуры находится в точке
(0,0,4), При этом: При этом:
=–
.
3).
Выполнение рисунка заменить рассматриванием
рисунка 31 в) с
соответствующей заменой оси
на ось
и учётом
=–
(только по-честному!).
Ответ: параболический
цилиндр, образующая параллельна
,
=–
.
Пример
8–398:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндрическую
поверхность, направляющие которой могут
быть заданы прямыми:
и
,
а образующая параллельна оси
.
2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.
Ответ: в тексте.
Пример
9–399:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндрическую
поверхность, направляющие которой могут
быть заданы прямыми:
и
,
а образующая параллельна оси
.
2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.
Ответ: в тексте.
Пример
10–400:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет вырожденную
поверхность: ось
.
2). Выполнение рисунка не представляет труда.
Ответ: в тексте.
Пример
11–401:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндрическую
поверхность, направляющая которой −
гипербола, расположенная в плоскости
,
а образующая параллельна оси
.
2). Выполнение рисунка не представляет труда, учитывая образующую цилиндра.
Ответ: в тексте.
Пример
12–402:
Построить цилиндрическую поверхность:
.
Решение:
1).
Уравнение определяет цилиндр, направляющая
которого:
− окружность, а образующая параллельна
оси
.
2). Выполнение рисунка заменить рассматриванием рисунка 31 а) в ответах задачника (внимательно посмотрите!), учитывая найденную образующую цилиндра.
Ответ: в тексте.
☺☺
Вопросы для самопроверки:
-
Как получают поверхности вращения 2-го порядка?
-
Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?
-
Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?
-
Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?
-
Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?
-
Чем примечательна конструкция Останкинской телебашни?
< * * * * * >