Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Лекция_9

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

437.76 Кб

Скачать

☆

Лекция 9

Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений

Правило Крамера. Исследование произвольной системы

линейных алгебраических уравнений.

Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений

9.1. Правило Крамера

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

(9.1)

Обозначим , . будем называть определителем системы (9.1).

Обозначим , . Система (9.1) равносильна матричному уравнению

. (9.2)

Теорема 1. Если , то система (9.1) имеет, притом единственное, решение.

Доказательство. Так как , то . Умножим обе части (9.2) на слева:

Итак, решением матричного уравнения (9.2) является матрица - матричное уравнение (9.2) имеет решение, следовательно, система (9.1) совместна.

(9.3)

Решение системы (9.1) дается формулами (9.3), и так как , , вполне определенные числа, единственно.

Теорема доказана.

Правило Крамера: если , то решение системы (9.1) может быть найдено по формулам , , где - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при заменить столбцом свободных членов.

Пример 1. По правилу Крамера, если оно применимо, решить систему

Решение. Имеем

следовательно, правило Крамера применимо.

По формулам (9.3) находим

, , .

9.2. Исследование произвольной системы

линейных уравнений

Пусть дана система уравнений с неизвестными:

(9.4)

Обозначим матрицу из коэффициентов

Матрица содержит матрицу и еще столбец свободных членов, она называется расширенной матрицей по отношению к :

Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. Пусть система (9.4) совместна и - решение (9.4), следовательно, справедливы тождества

(9.5)

В матрице к последнему столбцу прибавим первый, умноженный на , второй, умноженный на ,…, -й, умноженный на Получим, учитывая (9.5),

Поскольку выполнялись элементарные преобразования, то , но (добавление столбца из нулей не может изменить ранга), отсюда

Достаточность. Пусть . Это означает, что существует минор порядка , а все миноры порядка , окаймляющие , равны нулю.

Пусть расположен в левом верхнем углу матрицы (это предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что будет расположен в первых строках и первых столбцах матрицы ):

Тогда первые строк матрицы линейно независимы, а остальные строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые уравнений линейно выражаются остальные уравнений. Таким образом, вся система (9.4) эквивалентна первым уравнениям:

(9.6)

Случай 1: . Система (9.6) имеет единственное решение (определитель системы (9.6) , - применяем теорему 1). Его можно найти, например, по правилу Крамера.

Случай 2: . Перепишем (9.6) в виде

(9.7)

Неизвестные назовем главными, - свободными.

Присвоим свободным неизвестным произвольные числовые значения, положим . Тогда согласно теореме 1 из системы (9.7) определится единственный набор главных неизвестных. Таким образом, набор чисел , является решением системы (9.4).

Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система (9.4) имеет бесчисленное множество решений.

И в случае 1, и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана.

Определение 1. Формула, выражающая решение системы (9.4) в виде вектор-функции свободных неизвестных, называется общим решением системы (9.4):

Пример 2. Исследовать совместность системы и, если система совместна, найти общее решение и одно частное:

Решение. Найдем ранг матриц и :

Итак, (минор второго порядка , все миноры, его окаймляющие, равны нулю и в , и в ). Следовательно, согласно теореме 2 система совместна.

Так как , система имеет бесчисленное множество решений.

Вся система эквивалентна системе первых двух уравнений:

В качестве главных неизвестных возьмем и (), свободных - и и перепишем систему в виде

"укороченная" система.

Отсюда

и .

Общее решение

Частное решение получим, присвоив конкретные числовые значения свободным неизвестным, например, , тогда

9.3. Системы линейных однородных

алгебраических уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

(9.8)

Система (9.8) всегда совместна (решение всегда присутствует среди решений).

Если , то это решение - единственное, если , система (9.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от ).

Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).

Доказательство. Пусть и - произвольные решения системы (9.8).

Пусть - некоторое число, . Подставим

в -е уравнение системы (9.8):

удовлетворяет -му уравнению системы (9.8) при произвольном , , т.е. является решением (9.8).

Пусть - произвольное вещественное число, .

Подставим в -е уравнение системы (9.8), :

- решение (9.8).

Итак, сумма любых двух решений системы (9.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (9.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (9.8) является решением.

Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.

Обозначим через , , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному присвоить значение , а остальным свободным неизвестным - значение .

Система решений называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений.

Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .