5.3. Парабола

Определение 6. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Обозначим фокус параболы через , директрису – через. Тогда

параболе.

Введем систему координат. Проведем черезпрямую, точку пересечения обозначим, осьнаправим по векторучерез точкии, ось– через середину отрезкаперпендикулярно оси(рис. 5.9).

Обозначим ,.

Точка параболе. (5.15)

Замечание. Точек параболы нет в области .

Действительно (рис. 5.10), если точкапринадлежит полосе междуи, то

.

Если точка лежит левее директрисы, т.е. в полуплоскости, то.

Из (5.15) получим, возведя в квадрат:

, или

. (5.16)

Пусть такова, чтоиудовлетворяют уравнению (5.16). Тогда

.

Следовательно, уравнение (5.16) – уравнение параболы.

Уравнение (5.16) называется каноническим уравнением параболы, -параметром параболы.

Утверждение 5. Парабола имеет ось симметрии.

В самом деле, если принадлежит параболе, тотоже принадлежит параболе (так как переменнаявходит в уравнение (5.16) в четной степени), - это и означает, что парабола симметрична относительно оси.

Определение 7. Ось симметрии параболы называется осью параболы, точка пересечения параболы с осью – вершиной параболы (на Рис. 5.11 – т. ).

Замечание. Фокус параболы расположен на ее оси.

Из уравнения (5.16) имеем.

Рассмотрим ветвь параболы, расположенную в I четверти, она задается уравнением .

При возрастании отдопеременнаявозрастает отдо.

«Эскиз» параболы изображен на рис. 5.11.

Замечание. Пусть - декартова система координат. Алгебраическое уравнение 2-го порядка

(5.17)

определяет относительно алгебраическую линию 2-го порядка (определение 2 в лекции 3).

В соответствии с этим эллипс, гипербола и парабола – алгебраические линии 2-го порядка. Ими не исчерпываются все частные случаи уравнения (5.17).

Пример 1. Уравнение

(5.18)

определяет пару пересекающихся прямых.

Действительно, из (5.18) получим (рис. 5.12).

Упражнение. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка, определяемой уравнениями:

1) ; 2).

5.4. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

Пусть на плоскости заданы две произвольные декартовы системы координат(декартов базиси точка– начало координат) и(декартов базиси точка– начало координат) – обе правые (рис. 5.13).

Пусть точка имеет относительно системыкоординатыи, а относительно–и. Выясним, как связаны числа,и,.

Имеем ,,.

Пусть точка имеет в системекоординаты, следовательно,.

Таким образом,

. (5.19)

Так как – базис, найдутся числаитакие, что

(5.20)

Тогда (5.19) перепишется в виде

,

или

.

Отсюда в силу доказанной в лекции 1 теоремы 6 (о единственности разложения вектора по базису) получим

(5.21)

В равенствах (5.20) числа ,, – декартовы координаты векторовив базисе, т.е. проекции векторовина оси векторови.

Обозначим , тогда

, ,

,

(на рис. 5.14 одной дугой отмечены углы с соответственно перпендикулярными сторонами).

Формулы (5.21) примут вид

(5.22)

Формулы (5.22) – формулы преобразования декартовых координат.

В частности, при

–(5.23)

формулы параллельного переноса осей на вектор , а если, то формулы (5.22) примут вид

–(5.24)

формулы поворота осей на угол против хода часовой стрелки.

Замечание. Каковы бы ни были две правые системы координат и, первая из них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса и последующего поворота вокруг начала координат, или наоборот.

Пример 2. Установить, что уравнение

(5.25)

определяет эллипс, найти его центр и полуоси.

В самом деле, преобразуем (5.25):

, или

, или

. (5.26)

Положим

(5.27)

иуравнение (5.26) примет вид– уравнение эллипса с полуосямии.

Формулы (5.27) – формулы параллельного переноса осей в точку . Следовательно, центр эллипса находится в точке(рис. 5.15).

Пример 3. Установить, что уравнение определяет гиперболу, найти ее центр и полуоси.

Подберем угол , после поворота на который уравнение кривой не будет содержать произведения переменныхи. Подставим равенства (5.24) в заданное уравнение, или:

, или

, или

. (5.28)

Найдем такой угол , чтобы в последнем уравнении не содержалось слагаемое. Достаточно положить, т.е.,. При этом преобразование (5.24) имеет вид

–

поворот против часовой стрелки вокруг точки , а уравнение кривой (5.28) в новой системе координат:

–

это уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке(рис. 5.16).