Методы оптимизации / Контр вопрос к главе 4
.pdfВопросы и задания для самоконтроля к Главе 4
1.Что такое градиент и антиградиент функции многих переменных и каков их геометрический смысл?
2.Что такое матрица Гессе функции многих переменных?
3. |
Записать приращение функции f (x) C 2 (En ) |
в точке |
x через градиент и |
||||||
матрицу Гессе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить и нарисовать градиенты, а также вычислить матрицу Гессе |
||||||||
функции |
f (x) = x2 |
− x2 |
в точках x |
= (1, 1)T ; x |
2 |
=(1, |
−1)T . |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5. |
Классифицировать квадратичные формы и соответствующие им матрицы |
||||||||
|
2 |
−1 |
1 |
−1 |
|
2 |
1 |
1 1 |
|
Гессе H (x) = |
; |
H (x) = |
; H (x) |
= |
; |
H (x) = |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
−1 |
1 |
|
1 |
2 |
1 1 |
|
6.Почему в этой главе и далее в книге рассматриваются, в основном, выпуклые функции?
7.Дать определение выпуклого множества. Сформулировать его геометрический смысл.
8.Дать определение выпуклой функции. Сформулировать геометрическую интерпретацию этого свойства, свойство матрицы Гессе выпуклой функции.
9.Дать определение строго выпуклой функции. Сформулировать геометрическую интерпретацию этого свойства, свойство матрицы Гессе строго выпуклой функции.
10.Дать определение сильно выпуклой функции. Сформулировать свойство матрицы Гессе сильно выпуклой функции.
11. Исследовать на выпуклость f (x) = x2 , x [−1, 1]; f (x) = x, x [0, 1];
f (x) = x12 + x22 , x E2 .
12. Какие свойства выпуклых функций Вы знаете?
13.Сформулировать необходимое условие первого порядка для безусловного экстремума функции многих переменных.
14.Сформулировать необходимое условие второго порядка для безусловного экстремума функции многих переменных.
15.Сформулировать достаточное условие безусловного экстремума функции многих переменных.
16.Что такое угловые миноры и главные миноры квадратной матрицы?
17.Сформулировать критерий Сильвестра проверки достаточных условий безусловного экстремума функции многих переменных.
18.Сформулировать критерий проверки необходимых условий экстремума второго порядка функции многих переменных.
19.Сформулировать второй способ проверки условий экстремума функции многих переменных (через собственные значения матрицы Гессе).
20.Сформулировать необходимые и достаточные условия безусловного экстремума функции f (x) одной переменной.