Лабораторная работа № 25 колебания струны

Цель работы:

Изучение колебательного движения струны. Исследование зависимости частоты колебаний струны от силы натяжения, длины и линейной плотности материала струны.

Оборудование:

Установка, включающая в себя устройство для натяжения струны с динамометром, измерительную линейку с подвижными порожками, электрическую лампочку с держателем, фотоэлемент, низкочастотный усилитель, осциллограф и универсальный счетчик; резиновый молоток; набор струн.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Упругие волны

Упругой волнойназывается процесс распространения возмущения в упругой среде, сопровождающийся переносом энергии. Особую роль в теории волн играютгармонические волны, в которых изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса.

Волновой поверхностьюназывается геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Вплоской волневолновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей.

Рассмотрим гармоническую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси x. Введём обозначение:– отклонение от положения равновесия точки среды с координатойxв момент времениt. На Рис.1 показан график функциидля некоторого фиксированного моментаt.

Рис.1 – Вид функции для фиксированного моментаt.

Длиной волны λназывается расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

,

где V– скорость распространения волны, аT– период колебаний. Как видно на Рис.1, длину волны можно также определить как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз 2π. Учитывая соотношение между периодом и частотой, получим:

(1)

Пусть источник колебаний, находящийся в точке x=0 колеблется по закону, гдеa– амплитуда смещения;ω– циклическая частота. Тогда колебания в точке с координатойxбудут запаздывать на время, необходимое для прохождения волны от источника до данной точки:

Учитывая соотношение (1), получим:

Величина называетсяволновым числом. С учетом этого обозначения:

(2)

Это выражение называется уравнением плоской волны. Если волна распространяется в направлении отрицательных значений осиx, то её уравнение примет вид:

(3)

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением. Для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль осиx, волновое уравнение имеет вид:

(4)

В справедливости этого утверждения легко убедиться путём простой подстановки в волновое уравнение (4) уравнения плоской волны (2).

2. Стоячие волны

Стоячей волнойназывается колебательный процесс, возникающий в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение стоячей волны. Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях:

При наложении этих волн возникает колебательный процесс:

Преобразовав это выражение по формуле для суммы косинусов, получим:

(5)

Это и есть уравнение стоячей волны. Сомножительописывает гармонические колебания. Однако, как видно из формулы (5), амплитуда этих колебаний зависит от координатыxпо закону. На Рис.2 (а) приведен вид функциистоячей волны для нескольких фиксированных последовательных моментов времениt. На Рис.2 (б) также показан вид аналогичной функции для обычной бегущей волны. Сравнив эти рисунки, можно заключить, что стоячая волна представляет собой особый вид колебательного движения и, несмотря на название, в строгом смысле слова волной не является, так как стоячая волна не переносит энергию в пространстве.

Рис. 2 – Вид функции стоячей (а) и бегущей (б) волн для нескольких фиксированных последовательных моментов времениt.

Точки, в которых амплитуда колебаний стоячей волны обращается в ноль, называются узлами. В узлах точки среды колебаний не совершают (см. Рис. 2, а). Координаты узлов должны удовлетворять условию:

(6)

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (см. Рис. 2, а) называются пучностями. Соответственно, координаты пучностей удовлетворяют условию:

(7)

3. Колебания струны как пример стоячей волны

На практике стоячие волны возникают при отражении волн от преград: падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отражённая волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Ещё одним примером стоячих волн являются колебания закреплённой с обоих концов натянутой струны. Концы струны колебаться не могут, а значит, в этих точках стоячая волна должна иметь узлы. Следовательно, возбуждаться могут только такие колебания, длина волны которых позволяет реализовать это условие. Другими словами, половина длины волны должна укладываться на длине струны целое число раз, как это показано на Рис. 3. Пронумеруем эти колебания, начиная с самой большой длины волны, и запишем соотношение между длиной струны и длиной волны колебания с номером n(см. Рис. 3). В общем виде это соотношение имеет вид:

или(8)

Длинам волн (8) соответствуют частоты:

где V–фазовая скоростьволны – скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны. Эти частоты называютсобственными частотами. Гармонические колебания с собственными частотами – этособственные (нормальные) колебания или гармоники. Частотаν, соответствующаяn=1 называется основной частотой:

(9)

Рис. 3 – Собственные колебания струны

Фазовая скорость волны постоянна во времени и определяется плотностью ρматериала струны и силой её натяженияF (см. Приложение):

(10)

Подставим в выражение для основной частоты (9):

(11)

Экспериментальная проверка этого соотношения и является основным содержанием данной лабораторной работы.