Упражнение 3.18.

Вычислить площадь треугольника с вершинами иИзобразить плоскость треугольника. Как соотносятся площадь треугольника и векторное произведение. Изобразить это соответствие по аналогии с предыдущим упражнением.

A=[1 3 -1];B=[2 -1 4];C=[5 0 3];

>> M1=A;M2=B;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],[M1(3) M2(3)],'LINEWIDTH',4)

>> M1=B;M2=C;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],[M1(3) M2(3)],'LINEWIDTH',4)

>> M1=A;M2=C;

>> line([M1(1) M2(1)],[M1(2) M2(2)],[M1(3) M2(3)],'LINEWIDTH',4)

>> text(4.5,-0.5,0.8,'X')

>> text(-0.5,4.5,0.8,'Y')

>> text(-0.5,-1,4.5,'Z')

>> AB=B-A

AB =

1 -4 5

>> AC=C-A

AC =

4 -3 4

>> acl=length(AC);

>> abl=length(AB);

>> z=cross(AB,AC)

z =

-1 16 13

>> text(0.5,2.5,-0.5,'A(1;3;-1)','Color','blue')

>> text(1.5,-0.5,3.5,'B(2;-1;4)','Color','blue')

>> text(4.5,0.5,2.5,'C(5;0;3)','Color','blue')

>> text(4.5,-0.5,2.5,'C(5;0;3)','Color','blue')

>> zl=sqrt(z(1)^2+z(2)^2+z(3)^2)

zl =

20.6398

>> S=1/2*zl

S =

10.3199

Упражнение 3.19.

Найти смешанное произведение векторов , где векторыиперемножаются векторно, а их результат на векторскалярно, см формулу (10). Затем найти смешанное произведение по формуле (16).

Проверить свойства (11) и (12) смешанного произведения по формуле (10).

>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

>> a=[a1 a2 a3]; b=[b1 b2 b3]; c=[c1 c2 c3];

>> cross(a,b)

ans =

[ a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1]

>> rez=ans(1)*c(1)+ans(2)*c(2)*ans(3)*c(3)

rez =

c1*(a2*b3 - a3*b2) - c2*c3*(a1*b2 - a2*b1)*(a1*b3 - a3*b1)

Упражнение 3.20.

С помощью смешанного произведения доказать, что векторы ,икомпланарны, определить ориентацию этой тройки. Ответьте на вопрос: как это связано понятие компланарность с понятиями базис и линейная зависимость для этих векторов. Построить эти векторы. Векторизобразить синим, векторзеленым, векторкрасным.

>> a=[1 -2 0];

>> b=[0 1 1];

>> c=[1 2 2];

>> det([a;b;c])

ans =

-2

>> %так как мы получили отриц ответ следовательно тройка abcлевая

>> plot3(1,-2,0,'^b')

>> grid on

>> box on

>> hold on

>> line([0 1],[0 -2],[0 0],'Color','blue')

>> line([0 0],[0 1],[0 1],'Color','green')

>> plot3(0,1,1,'^g')

>> line([0 1],[0 2],[0 2],'Color','red')

>> plot3(1,2,2,'^r')

>> xlabel('X')

>> ylabel('Y')

>> zlabel('Z')

Упражнение 3.21.

Исследовать с помощью смешанного произведения векторы на компланарность , векторы-некомпланарны, их смешанное произведение равно +1.

>> syms a b c

>> det([a -b c;-a b -c;0 b -c])

ans =

0

>> det([2*a b c;a b 0;0 b -c])

ans =

0

>> det([a -b c;a b 0;0 b -c])

ans =

-a*b*c

>>ans=-1

Упражнение 3.22.

Вычислить если =А.

>> B=[a 2*b -c; a -b 0; 2*a 2*b c]

B =

[ a, 2*b, -c]

[ a, -b, 0]

[ 2*a, 2*b, c]

>> det(B)

ans =

-7*a*b*c

Т.к. a*b*c=A, то

_>>=-7*A;

Упражнение 3.23.

Пусть – некомпланарные векторы. Найти значениепри котором следующие векторы компланарны:

_{>> p=[a -2*b z*c], q=[3*a b -c], r=[a 0 -z*c]}

_{p =}

_{[ a, -2*b, c*z]}

_{q =}

_{[ 3*a, b, -c]}

_{r =}

_{[ a, 0, -c*z]}

_{>> B=[p;q;r]}

_{B =}

_{[ a, -2*b, c*z]}

_{[ 3*a, b, -c]}

_{[ a, 0, -c*z]}

_{>> det(B)}

_{ans =}

_{2*a*b*c - 8*a*b*c*z}

_{Т.о. чтобы a, b, c были компланарными, то 2*a*b*c - 8*a*b*c*z=0, т.о.}

_Z=1/4;