Лекция 2
Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов
|
Скалярное, векторное и смешанное произведения. Определения, свойства, выражения в координатной форме |
2.1. Скалярное произведение двух векторов и
его свойства
Определение 1. Скалярным произведением
векторов
и
называется число
.
(2.1)
Заметим, что в формуле (2.1)
и
,
поэтому можно дать определение скалярного
произведения
и
в иной, равносильной форме, иногда более
удобной.
Определение
.
Скалярным произведением векторов
и
называется число
.
(2.2)
Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.
Теорема 1. Два вектора
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
нулю.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
.
Достаточность.
Пусть
.
Случай 1.
(либо
,
либо
).
Так как направление
не определено, считаем в этом случае,
что
.
Случай 2.
,
.
В равенстве (2.1), определяющем
,
,
,
а
.
Теорема 2. Для любых двух векторов
и
,
если
,
,
угол
является острым тогда и только тогда,
когда
,
и тупым – тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. Отметим, что,
так как
и
,
знак скалярного произведения совпадает
со знаком
.
Следовательно,
.
Обратно,
.
Аналогично,
.
Обратно,
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
,
если
;
,
если
.
Доказательство свойства 1.
Так как
и
,
то из формулы (2.1), определяющей скалярное
произведение, непосредственно следует,
что
.
Доказательство свойства 2.
Применяем определение
(и формулу (2.2)):
.
Доказательство свойства 3. Опять
привлекаем определение
и формулу (2.2):
.
Доказательство свойства 4.
Заметим, что
,
поэтому
.
Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:
)
;
)
.
Действительно, например, для
имеем:
.
Аналогично обосновывается
).
Доказанные алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.
Пример. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
.
Найти
.
Имеем
.
Теорема 3. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
.
Тогда
.
Доказательство. Имеем
.
Следствие. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
,
,
.
Тогда
.
(2.3)
В самом деле, из формулы (2.1), определяющей скалярное произведение, находим
,
и соотношение (2.3) доказано.
В частности,
.
2.2. Векторное произведение двух векторов и его свойства
Определение 2. Векторы
,
,
называются упорядоченной тройкой или
просто тройкой, если указано, какой из
них является первым, какой – вторым,
какой – третьим.
Запись
,
,
будем понимать так, что
– первый,
– второй,
– третий вектор.
Определение 3. Пусть
,
,
не компланарны. Тройка
,
,
называется правой (левой), если после
приведения векторов
,
и
к одному началу, вектор
располагается по ту сторону от плоскости,
определяемой
и
,
откуда кратчайший поворот от
к
(от первого вектора ко второму) кажется
совершающимся против часовой стрелки
(для левой – по часовой стрелке) (рис.2.1).
Если
две тройки обе правые или обе левые, они
называются тройками одной ориентации,
в противном случае – противоположной
ориентации.
Из векторов
,
и
можно составить шесть троек:
,
,
;
,
,
;
,
,
;
(2.4)
,
,
;
,
,
;
,
,
.
(2.5)
Все тройки (2.4) – одной ориентации, и все тройки (2.5) – тоже одной ориентации, но каждая из троек (2.4) с любой тройкой (2.5) имеет противоположную ориентацию.
Упражнение.
Показать, что тройки
,
,
и
,
,
имеют противоположную ориентацию.
Определение 4. Декартова система
координат называется правой (левой),
если базисные векторы
,
,
составляют правую (левую) тройку.
Для определенности будем далее считать, что декартова система координат – правая (рис.2.2).
Определение 5. Векторным произведением
вектора
на вектор
называется вектор
,
который удовлетворяет следующим трем
условиям:
1)
;
2)
,
;
3) тройка
,
,
правая.
Векторное произведение будем далее
обозначать
.
Замечание 1.
Длина
равна площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
,
приведенных к одному началу (рис.2.3).
Определение 6. Ортом вектора
,
,
называется вектор
,
имеющий с
одинаковое направление и такой, что
.
Замечание
2.
Из определения орта следует равенство
.
(В самом деле,
и векторы
и
имеют одинаковое направление.)
Замечание 3.
Если
– орт векторного произведения
,
а
– площадь параллелограмма, построенного
на
и
,
приведенных к одному началу, то
.
(Доказательство следует из определения 6.)
Теорема 4. Векторы
и
коллинеарны тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. Необходимость.
Пусть
и
коллинеарны. Тогда
.
Достаточность.
Пусть
.
Случай 1.
(либо
,
либо
).
Так как направление нулевого вектора
не определено, можем считать, что
коллинеарен
.
Случай 2.
,
.
Так как
,
а
и
,
то
и
коллинеарен
(угол
,
либо
).